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Emanuele Borgonovo 1 Metodi Quantitativi per il Management Emanuele Borgonovo Metodi Quantitativi per il Management Prima Edizione Decision Market Return.

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Presentazione sul tema: "Emanuele Borgonovo 1 Metodi Quantitativi per il Management Emanuele Borgonovo Metodi Quantitativi per il Management Prima Edizione Decision Market Return."— Transcript della presentazione:

1 Emanuele Borgonovo 1 Metodi Quantitativi per il Management Emanuele Borgonovo Metodi Quantitativi per il Management Prima Edizione Decision Market Return Structural

2 Emanuele Borgonovo 2 Metodi Quantitativi per il Management Capitolo I: Modelli

3 Emanuele Borgonovo 3 Metodi Quantitativi per il Management Modelli Un modello è uno strumento matematico-logico che lanalista, il manager, lo scienziato, lingegnere sviluppa per: –Predire il comportamento della realtà –Predire landamento di un mercato –Prendere una decisione relativa ad un investimento Elementi comuni ai modelli: –Incertezza iniziale –Una serie di ipotesi –Una serie di input –Eventi –Risultato (output) del modello

4 Emanuele Borgonovo 4 Metodi Quantitativi per il Management Costruzione del modello Richiede una conoscenza approfondita di: –Problema –Eventi rilevanti rispetto al problema –Fattori che influenzano il comportamento delle quantità di interesse –Raccolta dei dati e delle informazioni –Statement e calcolo delle incertezze –Verifica della coerenza del modello mediante verifica empirica, se possibile, e analisi di sensitività

5 Emanuele Borgonovo 5 Metodi Quantitativi per il Management Esempio: la legge di gravità Vogliamo descrivere la caduta verticale di un corpo sulla superficie della terra. Adottiamo il modello: F=mg per la caduta dei corpi Ipotesi (?): –Corpo puntiforme (niente rotazioni) –Niente attrito –Niente correnti atmosferiche Funziona per la caduta di un corpo posto a grande distanza dalla superficie terrestre?

6 Emanuele Borgonovo 6 Metodi Quantitativi per il Management Capitolo II Elementi introduttivi di Teoria della Probabilità

7 Emanuele Borgonovo 7 Metodi Quantitativi per il Management Probabilità E possibile definire la Probabilità? Sì, ma ci sono due scuole La prima dice che la probabiltà è una proprietà oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista) La seconda dice che la Probabilità è una misura soggettivadella verosimiglianza degli eventi (De Finetti)

8 Emanuele Borgonovo 8 Metodi Quantitativi per il Management Kolmogorov Axioms U B A

9 Emanuele Borgonovo 9 Metodi Quantitativi per il Management Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilità di saltare in A. Quanto vale? Sarà larea di A diviso larea di U: P(A)=A/U In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E) Aree e rettangoli? U C ABDE

10 Emanuele Borgonovo 10 Metodi Quantitativi per il Management Probabilità Condizionata Prendete due eventi A e B. La probabilità condizionale di A dato B, è la probabilità di avere A dato che si è verificato B. Si scrive: P(A|B) U B A AB

11 Emanuele Borgonovo 11 Metodi Quantitativi per il Management Probabilità Condizionale Supponete ora che B è avvenuto. Quindi siete saltati dentro larea B. B A AB Ora non protrete che concordare che: P(A|B)=P(AB)/P(B) Quindi: P(AB)=P(A|B) *P(B)

12 Emanuele Borgonovo 12 Metodi Quantitativi per il Management Eventi Indipendenti Due eventi, A e B, sono indipendenti se laccadere di A non influenza la Probabilità di B e viceversa. Se due eventi sono indipendenti: P(AB)=P(A)*P(B)

13 Emanuele Borgonovo 13 Metodi Quantitativi per il Management Probabilità e Informazione Problema: vi è data una scatola contenente due gioielli. La scatola è costruita in modo tale che con la stessa probabilità (1/2) i due gioielli sono tutti e due doro (evento A) o uno è doro e uno dargento (evento B). Per sapere il contenuto della scatola vi è permesso di estrarre uno dei due gioielli dalla scatola. Supponete che sia doro. –Secondo voi avete guadagnato informazioni dallestrazione? –La probabilità che laltro sia doro è ancora del 50%? –Sareste disposti a pagare per estrarre?

14 Emanuele Borgonovo 14 Metodi Quantitativi per il Management La probabilità di un evento cambia con linformazione

15 Emanuele Borgonovo 15 Metodi Quantitativi per il Management Il Teorema di Bayes Ipotesi: A e B sono due eventi. Levento A è accaduto. Tesi: la probabilità di B dato che A è avvenuto cambia come segue: P(B) prima che A avvenisse Prob. di B ora che A è avvenuto Prob. che A avvenisse Probabilità di A dato B

16 Emanuele Borgonovo 16 Metodi Quantitativi per il Management Applichiamolo al problema Eventi: A: tutti e due i gioielli sono doro o: lanello estratto è doro Il teorema dice: P(A)=probabilità che tutti e due siano doro prima dellestrazione=1/2 P(o)=probabilità che un anello sia doro=3/4 P(o|A)=probabilità che lanello sia doro dato A=1 (tutti e due gli anelli sono doro) Quindi:

17 Emanuele Borgonovo 17 Metodi Quantitativi per il Management Dimostrazione del Teorema Punto di Partenza Formula della probabilità condizionale Tesi

18 Emanuele Borgonovo 18 Metodi Quantitativi per il Management U Estensione al caso di più eventi Teorema probabilità totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A 1, A 2,…,A N ) e esaustivi, la probabilità di un altro evento E in U è data da: Teorema di Bayes : B A C D E

19 Emanuele Borgonovo 19 Metodi Quantitativi per il Management Distribuzioni di Probabilità Fino ad ora abbiamo parlato di eventi discreti. Ci sono eventi il cui spazio è continuo. Ad esempio il tempo di rottura di un componente o lintervallo di tempo tra i terremoti. In questo caso la variabile aleatoria tempo spazia da 0 a +. Per descrivere questi eventi si utilizzano distribuzioni continue di probabilità. La variabile caratterizzata da una distribuzione di probabilità prende il nome di variable aleatoria.

20 Emanuele Borgonovo 20 Metodi Quantitativi per il Management Densità di Probabilità Una funzione è una densità di probabilità se: –E integrabile –e–e –se il suo integrale tra - e + è pari a 1. Significato: f(x 0 ) è la probabilità che x sia in un intervallo dx attorno ad x 0.

21 Emanuele Borgonovo 21 Metodi Quantitativi per il Management Distribuzione Cumulativa Quando una variabile x è casuale, la probabilità che essa assuma un valore inferiore od uguale ad un valore X è data da: Se f(x) è continua, allora: Notiamo:

22 Emanuele Borgonovo 22 Metodi Quantitativi per il Management La distribuzione esponenziale Fenomeni per cui gli eventi sono: –Indipendenti –Caratterizzati da ratei costanti sono caratterizzati dalla cumulativa esponenziale: e dalla densità esponenziale:

23 Emanuele Borgonovo 23 Metodi Quantitativi per il Management La distribuzione esponenziale Supponiamo di avere a che fare con un problema di affidabilità e ci interessa caratterizzare il tempo di rottura di componenti industriali (Chiamiamolo t). t non è noto a priori (non sappiamo quando si romperà il prossimo componente). Tutto quello che possiamo dire è che puù variare con continuità tra 0 e (diciamo) inifinto. Quindi, è una variable casuale con distribuzione continua. Assumiamo intervalli di rottura indipendenti. Ciò funziona se, quando il componente si rompe, lo sostituiamo con uno nuovo o lo ripariamo perfettamente. Se valgono queste ipotesi, gli intervalli di rottura sono indipendenti e caratterizzati da tasso di rottura costante per ogni intervallo dt. Quale è la distribuzione di probabilità di t? Supponiamo di avere una popolazione di N(t) componenti al tempo t. Se è il tasso di rottura del singolo componente, allora N(t) dt è il numero di rotture nel tempo dt.

24 Emanuele Borgonovo 24 Metodi Quantitativi per il Management La distribuzione esponenziale Quindi: -N(t) dt=N(t+dt)-N(t)=dN(t) Il segno meno sta ad indicare che il numero di componenti funzionanti è diminuito. Quindi: Risolvendo: N(T) è il numero di componenti che è sopravvissuto fino al tempo T e N(0) è il numero di componenti di partenza. Ponete N(0)=1. Allora N(T)/N(0) vi dà la probabilità che un componente sopravviva fino a T.

25 Emanuele Borgonovo 25 Metodi Quantitativi per il Management T/t Illustrazione grafica P(t

26 Emanuele Borgonovo 26 Metodi Quantitativi per il Management Valore atteso, varianza e percentili Percentile p: è il valore X p di x tale che la probabilità che x sia minore di X p pari a p/100

27 Emanuele Borgonovo 27 Metodi Quantitativi per il Management La Distribuzione di Gauss Distribuzione simmetrica attorno al valor medio Densità: Cumulativa:

28 Emanuele Borgonovo 28 Metodi Quantitativi per il Management Grafici Cumulative Gaussian Distribution x

29 Emanuele Borgonovo 29 Metodi Quantitativi per il Management Distribuzione Lognormale Funzione densità Funzione distribuzione cumulativa

30 Emanuele Borgonovo 30 Metodi Quantitativi per il Management Grafici della distribuzione lognormale

31 Emanuele Borgonovo 31 Metodi Quantitativi per il Management Problema II-1 La frequenza di rottura del cambio di unautomobile è pari a 1/5 anni (densità esponenziale). Quale è il tempo medio di rottura del cambio? Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio sia ancora integro?

32 Emanuele Borgonovo 32 Metodi Quantitativi per il Management Problema II-2 State esaminando un test per selezionare lingresso degli studenti ad un corso particolarmente selettivo di un Università. Il test, come tutti i test, non è perfetto. Supponete che la classe prima del test (la vera distribuzione della classe) veda il 10% di adatti e il 90% di non adatti. Poi fate il test. Se lo studente è adatto,il test lo ammette al 90%. Se lo studente non è adatto lo ammette al 10%. Ora, supponete di prendere uno studente che ha passato il test. –Quale è la probabilità che lo studente sia effettivamente adatto? –Secondo voi il test funziona? Come lo usereste? –(Suggerimento: utilizzate il teorema della probailità totale per la probailità di passare il test.)

33 Emanuele Borgonovo 33 Metodi Quantitativi per il Management Problema II-3 Per il problema dei due anelli, calcolare: –La probabilità di essere nello stato B dato che lanello estratto è doro –La probabilità di essere nello stato B dato che lanello estratto è dargento –La probabilità di essere in A dato che lanello estratto sia doro in due estrazioni consecutive –La probabilità di essere in B dato che che lanello estratto sia doro in due estrazioni consecutive

34 Emanuele Borgonovo 34 Metodi Quantitativi per il Management Soluz. Prob. II-1 La frequenza di rottura del cambio di unautomobile è pari a 1/5 anni. Quale è il tempo medio di rottura del cambio? Quale è la probabilità che in 9 anni il cambio sia ancora integro?

35 Emanuele Borgonovo 35 Metodi Quantitativi per il Management Soluz. Prob. II-3 3 Per il problema dei due anelli, calcolare: –La probabilità di essere nello stato B dato che lanello estratto è doro Soluzione: ci sono solo due casi, A o B. Dunque P(B o)=1-P(A o)=1/3 –La probabilità di essere nello stato B dato che lanello estratto è dargento P(B a)=1, dal testo del problema, dato che B è lunico stato in cui lanello può essere dargento. Si può anche dimostrare con Bayes: P(B a)=P(a B)*P(B)/[P(a B)* P(B)+P(a A)*P(A)]. Siccome P(a A)=0, ottneniamo subito 1. –La probabilità di essere in A dato che lanello estratto sia doro in due estrazioni consecutive Il teorema di Bayes si scrive:

36 Emanuele Borgonovo 36 Metodi Quantitativi per il Management Sol. II-3 Dove, nella formula il pedice 1 indica le probabilità aggiornate dopo una estrazione, ovvero: P 1 (B)=P(B o)=1/3 e P 1 (A)=P(A o)=2/3. A questo punto occorre notare che P(2o A)=1, e P(2o B)=1/2. P(2o B) è la probabilità che otteniamo oro al secondo tentativo, dato che siamo in B. Abbiamo quindi tutti I numeri da sostituire nella formula del teorema: In pratica, è lo stesso problema dellesempio ma con le probabilità a priori aggiornate in base alla evidenza della prima estrazione –La probabilità di essere in B dato che che lanello estratto sia doro in due estrazioni consecutive Soluzione: 1-P(A 2o)=0.2

37 Emanuele Borgonovo 37 Metodi Quantitativi per il Management Capitolo III: Elementi di Analisi delle Decisioni

38 Emanuele Borgonovo 38 Metodi Quantitativi per il Management An Investment Decision At time T, you have to decide whether, and how, to invest $1000. You face three mutually exclusive options: –(1) A risky investment that gives you $500 PV in one year if the market is up or a loss of $400 if the market is down –(2) A less risky investment that gives you $200 in one year or a loss of $160 –(3) The safe investment: a bond that gives you $20 in one year independently of the market

39 Emanuele Borgonovo 39 Metodi Quantitativi per il Management Decision Theory According to Laplace The theory leaves nothing arbitrary in choosing options or in making decisions and we can always select, with the help of the theory, the most advantageous choice on our own. It is a refreshing supplement to the ignorance and feebleness of the human mind. Pierre-Simon Laplace (March Beaumont-en-Auge - March Paris)

40 Emanuele Borgonovo 40 Metodi Quantitativi per il Management Decision-Making Process Steps Problem identification Alternatives identification Model implementation Alternatives evaluation Sensitivity Analysis Further Analysis? Yes Best alternative implementation No

41 Emanuele Borgonovo 41 Metodi Quantitativi per il Management Decision-Making Problem Elements Values and Objectives Attributes Decision Alternatives Uncertain Events Consequences

42 Emanuele Borgonovo 42 Metodi Quantitativi per il Management Gli Elementi del Problema Obiettivi: –Massimizzare il guadagno Attributi: – Money Alternative: –Invesitmento Rischioso (Risky) –Invesitmento Rischioso (Less Risky) –Investimento Sicuro (Safe) Eventi Casuali: –Il mercato Conseguenze: –Guadagno o perdita

43 Emanuele Borgonovo 43 Metodi Quantitativi per il Management Rappresentazione del Problema Diagrammi di Influenza Alberi delle Decisioni Decision Market Return Structural Market up prob_up Market down 1-prob_up Less Risky Market up prob_up Market down Risky Safe How should I invest $1000? 1-prob_up

44 Emanuele Borgonovo 44 Metodi Quantitativi per il Management Influence Diagrams Influence diagrams (IDs) are… a graphical representation of decisions and uncertain quantities that explicitly reveals probabilistic dependence and the flow of information ID formal definition: –ID = a network consisting of a directed graph G=(N,A) and associated node sets and functions ( Schachter, 1986 )

45 Emanuele Borgonovo 45 Metodi Quantitativi per il Management ID Elements NODES = Decision = Random Event = Utility ARCS Informational Arcs Probabilistic Dependency Arcs Structural Arcs

46 Emanuele Borgonovo 46 Metodi Quantitativi per il Management ID Elements Decision Node Chance NodeValue NodeChance Node Decision Node Conditional Arc Probabilistic Dependency Informational Arc Sequential Decisions Structural

47 Emanuele Borgonovo 47 Metodi Quantitativi per il Management Influence Diagram Levels 1. Physical Phenomena and Dependencies 2. Function level: node output states probabilistic relations (models) 3. Number level: tables of node probabilities

48 Emanuele Borgonovo 48 Metodi Quantitativi per il Management Case Study 2 - Leaking SG tube Influence Diagram for Case Study 2

49 Emanuele Borgonovo 49 Metodi Quantitativi per il Management Il Diagramma di Influenza Decision Market Return Structural

50 Emanuele Borgonovo 50 Metodi Quantitativi per il Management Alberi delle Decisioni Sono costituiti dal medesimo tipo di nodi dei diagrammi di influenza, ma mettono in evidenza tutte le possibili combinazioni degli eventi. Al posto degli archi ci sono rami o branches che emanano dai nodi in numero pari al numero di alternative o outcomes del nodo Rispetto ai diagrammi di influenza hanno il vantaggio di evidenziare I possibili patterns, ma lo svantaggio del ridursi della loro intelligibilità al crescere della complessità del problema.

51 Emanuele Borgonovo 51 Metodi Quantitativi per il Management The Decision Tree (DT) Market up Market down 1-prob_up Less Risky Market up Market down Risky Safe How should I invest $1000?

52 Emanuele Borgonovo 52 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione degli alberi delle decisioni Equazione del payoff o della utilità di una alternativa: j=1…m i è lindice di tutte le conseguenze associate alla scelta i U j è lutilità o il payoff della conseguenza j P i (C j ) è la probabilità che la conseguenza C j accada dato che si è scelta lalternativa i In generale, sarà: P(C j ) =P(E 1 E 2 … E N ), dove E 1 E 2 … E N sono gli eventi che devono accadere affinchè la conseguenza C j si realizzi. Utilizzando le probabilità condizionali: P(C j ) =P(E 1 E 2 … E N )=P(E N | E 1 E 2 … )*…*P(E 2 | E 1 )*P(E 1 )

53 Emanuele Borgonovo 53 Metodi Quantitativi per il Management Esempio Market up P.up C1 Market down 1-P.up C2 Blue Chip Stock Market up P.up C3 Market down 1-P.up C4 Risky investment CD paying 5% C5 How should I invest $1000?

54 Emanuele Borgonovo 54 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione del Problema Utilizzando la formula precedente:

55 Emanuele Borgonovo 55 Metodi Quantitativi per il Management The Best Investment for a Risk Neutral Decision-Maker Market up $200 Market down ($160) Blue Chip Stock $56 Market up $500; P = Market down ($600); P = Risky investment $60 CD paying 5% return = $50 How should I invest $1000?

56 Emanuele Borgonovo 56 Metodi Quantitativi per il Management Run or Withdraw? You are the owner of a racing team. It is the last race of the season, and it has been a very good season for you. Your old sponsor will remain with you for the next season offering an amount of $50000, no matter what happens in the last race. However, the race is important and transmitted on television. If you win or end the race in the first five positions, you will gain a new sponsor who is offering you $100000, besides $10000 or $5000 praise. However there are unfavorable running conditions and an engine failure is likely, based on your previous data. It would be very bad for the image of you racing team to have an engine failure in such a public race. You estimate the damage to a total of -$ What to do? Run or withdraw? A) Elements of the problem: –What are your objectives –What are the decision alternatives –What are the attributes of the decision –What are the uncertain events –What are the alternatives

57 Emanuele Borgonovo 57 Metodi Quantitativi per il Management Example of a simple ID Decision Engine Failure Profit Final Classification

58 Emanuele Borgonovo 58 Metodi Quantitativi per il Management From IDs to Decision Trees Out of first five $20,000; P = Failure Engine Failure $20,000 Win $110,000; P = In first five $105,000; P = Out of first five $50,000; P = No Failure $94,500 Run Decision $57,250 Old sponsor $50,000 Withdraw Engine_Failure=0 $50,000 Decision pfailure=0.5 pfive=0.30 pout=0.2 pwin=0.5 Run : $57,250

59 Emanuele Borgonovo 59 Metodi Quantitativi per il Management Decisioni Sequenziali Sono problemi decisionali in cui una o più decisioni appaiono nel modello. State decidendo a proporsito di un macchinario da acquistare. Avete a disposizione tre modelli, A B e C. Il costo dei tre macchinari è pari a 150, 175 e 200 rispettivamente. Se acquistate il modello A, potete poi scegliere lassicurazione A1, che ha un costo pari al 5% di A, e copre tutti i possibili guasti di A. Oppure potete scegliere lassicurazione A2, che ha un costo pari al 3%, ma copre solo il trasporto. Se acquistate il modello B, lassicurazione B1 ha un costo pari al 3% di B e copre tutti i guasti di B. Lassicurazione B2 costa il 2% e copre il trasporto. Per C, ritenuto il più affidabile, le assicurazioni costano il 2% e 1.5% rispettivamente. In base a queste informazioni e supponendo che la produttività dei macchinari sia la stessa, cosa decidete? (A: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =5%) (B: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =3%) (C: Probabilità di rottura nel periodo di interesse =2%

60 Emanuele Borgonovo 60 Metodi Quantitativi per il Management Diagramma di Influenza

61 Emanuele Borgonovo 61 Metodi Quantitativi per il Management Albero delle decisioni

62 Emanuele Borgonovo 62 Metodi Quantitativi per il Management Valore dellInformazione Abbiamo visto come la raccolta di informazioni sia essenziale nel prendere decisioni. Potremmo essere disposti a pagare per avere informazioni? Quanto? Allinformazione può essere attribuito un valore in quanto contribuisce alla selezione delle alternative Il valore dellinformazione è il valore aggiunto che consegue dalla stessa (expected value of perfect information =EVPI): La definizione si legge: quanto vale la decisione dato che sappiamo linformazione meno il valore della decisione senza linformazione N.B.: ci riferiremo solo allincertezza aleatoria

63 Emanuele Borgonovo 63 Metodi Quantitativi per il Management Esempio: linvestimento

64 Emanuele Borgonovo 64 Metodi Quantitativi per il Management Valore dellinformazione sullandamento mercato

65 Emanuele Borgonovo 65 Metodi Quantitativi per il Management EVPI Result

66 Emanuele Borgonovo 66 Metodi Quantitativi per il Management Problemi

67 Emanuele Borgonovo 67 Metodi Quantitativi per il Management Quanto offrire? Voi lavorate per una compagnia nel settore della produzione di energia. La vostra compagnia si trova a fronteggiare la decisione su quanto offrire nella gara per il recupero del relitto di una SS.Kuniang, nave da trasporto per carbone. Se vinceste, la nave potrebbe essere riparata e destinata allo stoccaggio e trasporto di carbone. La vittoria e anche il risultato della decisione dipendono dal giudizio del tribunale della Guardia Costiera, che sarà noto solo dopo lapertura delle buste di gara. Infatti, se la guardia costiera si pronuncerà per un basso valore della nave, significa che la nave è considerata recuperabile. Altrimenti, la nave sarà giudicata inservibile. Se non doveste vincere, la compagnia sarebbe costretta a comperare una nuova imbarcazione. Elencate gli elementi della decisione Strutturate un diagramma di infuenza e lalbero delle decisioni corrispondenti

68 Emanuele Borgonovo 68 Metodi Quantitativi per il Management Diagramma di influenza con tre eventi Dati i seguenti elementi: –Decisione con alternative 1 e 2 –Eventi: A=(up, down); (B=high, low);(C=good, bad); –Conseguenze C i (una conseguenza per ciascuna delle combinazioni di eventi che si realizzano) Inoltere sapete che se si realizza A=Down, allora si realizza direttamente la condizione C Adown Disegnate il diagramma di influenza corrispondente al problema Disegnate lalbero delle decisioni corrispondente Se ora levento C dipende da A, come cambia il diagramma di influenza? Come cambia labero delle decisioni?

69 Emanuele Borgonovo 69 Metodi Quantitativi per il Management Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3, stimare la migliore decisione. Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare: P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2 Vendite_costi Alte Vendite P_Alte|Alto 0 Basse 1- P_Alte|Alto -10 Alto Costo P_alto Alte P_ P_Alte|Alto 20 Basse 1- P_Alte|Alto 0 Basso 1-P_alto Investo Decisione Non-Investo 5 alto=0.5 P_Alte=0.3 P_alto=0.5

70 Emanuele Borgonovo 70 Metodi Quantitativi per il Management Guasto in produzione Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di Per ogni giorno di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a al giorno (il valore giornaliero della produzione è di 50000). Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g. Nel caso in cui la riparazione non sia perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di Con probabilità P_10g la linea sarà come prima del guasto. Secondo voi la vita residua dellimpianto è importante per la decisione? Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per limpianto. Quale intervento conviene effettuare? –Individuate gli elementi della decisione –Realizzate il diagramma di influenza e lalbero delle decisioni corrispondente –Trovate il o i valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che laltro –Cosa consigliereste al direttore dellimpianto?

71 Emanuele Borgonovo 71 Metodi Quantitativi per il Management Valore dellinformazione Determinate il valore dellinformazione relativa a ciascuno degli eventi casuali nei seguenti problemi decisionali: Vendite_Costi (lez. 2) Guasto in Produzione (lez.2) Ripetete la prova utilizzando, anzichè lattributo profitto, la vostra funzione utilità per il denaro, determinata nel problema 2.

72 Emanuele Borgonovo 72 Metodi Quantitativi per il Management Soluzioni

73 Emanuele Borgonovo 73 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione Diagr. 3 Eventi Diagramma di Influenza I

74 Emanuele Borgonovo 74 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione Corrispondente Albero delle Decisioni

75 Emanuele Borgonovo 75 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione Diagramma di Influenza II

76 Emanuele Borgonovo 76 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione Albero delle Decisioni II:

77 Emanuele Borgonovo 77 Metodi Quantitativi per il Management Dati i seguenti diagrammi di influenza e albero delle decisioni, date P_Alto e P_Alte|Alto, P_Alte|Basso, esprimere il valore delle alternative come funzione delle probabilità assegnate. Supponendo P_alto=0.5 e P_Alte|alto=P_Alte|basso=0.3, stimare la migliore decisione. Quale sarebbe la migliore decisione se, invence, ad un più alto costo di investimento corrispondesse un migliore risultato nelle vendite? Usare: P_Alte|Alto=0.6 e P_Alte|Basso=0.2 Vendite_costi Alte Vendite P_Alte|Alto 0 Basse 1- P_Alte|Alto -10 Alto Costo P_alto Alte P_ P_Alte|Alto 20 Basse 1- P_Alte|Alto 0 Basso 1-P_alto Investo Decisione Non-Investo 5 alto=0.5 P_Alte=0.3 P_alto=0.5

78 Emanuele Borgonovo 78 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione Vendite_Costi

79 Emanuele Borgonovo 79 Metodi Quantitativi per il Management Guasto in produzione Un sistema industriale composto da due linee ha subito un guasto ad una linea. La capacità produttiva è quindi ridotta al 50%. Il management si trova di fronte alla seguente decisione e vi chiede una collaborazione. Vi viene spiegato che si può procedere a: 1) una riparazione intermedia, della durata di due giorni, con un costo di riparazione di Per ogni giorno di produzione perso si ha una perdita di incassi pari a al giorno (il valore giornaliero della produzione è di Dalle stime degli ingegneri, la probabilità di riparare perfettamente la linea rotta in due giorni è pari a P_2g. Nel caso in cui la riparazione non sia perfetta, la linea perderà il 15% della capacità produttiva; 2) un intervento più incisivo, della durata di 10 giorni, con un costo di riparazione di Con probabilità P_10g la linea sarà come prima del guasto. Secondo voi la vita residua dellimpianto è importante per la decisione? Supponete che vi siano ancora tre anni di vita per limpianto. Quale intervento conviene effettuare? –Individuate gli elementi della decisioni –Realizzate in diagramma di influenza corrispondente –Trovate I valori delle probabilità per cui conviene un intervento piuttosto che laltro –Cosa consigliereste al direttore dellimpianto? –Cosa succederebbe se la vita dellimpianto fosse di due anni o quattro anni?

80 Emanuele Borgonovo 80 Metodi Quantitativi per il Management Diagramma di Influenza

81 Emanuele Borgonovo 81 Metodi Quantitativi per il Management Albero delle Decisioni

82 Emanuele Borgonovo 82 Metodi Quantitativi per il Management Valori delle probabilità Tre anni

83 Emanuele Borgonovo 83 Metodi Quantitativi per il Management 2 anni e 4 anni 2 anni 4 anni

84 Emanuele Borgonovo 84 Metodi Quantitativi per il Management Capitolo IV Elementi di Analisi di Sensibilità

85 Emanuele Borgonovo 85 Metodi Quantitativi per il Management Sensitivity Analysis and Parameter Importance Parameter importance: –Relevance of parameter in a model with respect to a certain criterion Sensitivity Analysis used to Determine Parameter Importance Concept of importance not formalized, but extensively used –Risk-Informed Decision Making –Resource allocation Need for a formal definition

86 Emanuele Borgonovo 86 Metodi Quantitativi per il Management Process Identify how sensitivity analysis techniques work through analysis of several examples Formulate a definition Classify sensitivity analysis techniques accordingly

87 Emanuele Borgonovo 87 Metodi Quantitativi per il Management Sensitivity Analysis Types Model Output: Local Sensitivity Analysis: – Determines model parameter (x i ) relevance with all the x i fixed at nominal value Global Sensitivity Analysis: –Determines x i relevance of x i s epistemic/uncertainty distribution

88 Emanuele Borgonovo 88 Metodi Quantitativi per il Management The Differential Importance Measure Nominal Model output: –No uncertainty in the model parameters –and/or parameters fixed at nominal value Local Decomposition: Local importance measured by fraction of the differential attributable to each parameter

89 Emanuele Borgonovo 89 Metodi Quantitativi per il Management Global Sensitivity Indices Uncertainty in U and parameters is considered Sobols decomposition theorem: SobolIndices

90 Emanuele Borgonovo 90 Metodi Quantitativi per il Management Formal Definition of Sensitivity Analysis (SA) Techniques SA technique are Operators on U: x1x1 x2x2 xnxn I(x 1 )I(x n ) I(x 2 ) or

91 Emanuele Borgonovo 91 Metodi Quantitativi per il Management Importance Relations Importance relations: –X the set of the model parameters; – Binary relation x i x j iff I(x i x j ) x i ~ x j iff I(x i x j ) x i x j iff I(x i x j ) Importance relations induced by importance measures are complete preorder

92 Emanuele Borgonovo 92 Metodi Quantitativi per il Management Additivity Property In many situation decision-maker interested in joint importance: An Importance measure is additive if: DIM is additive always S i are additive iff f(x) additive and x j s are uncorrelated

93 Emanuele Borgonovo 93 Metodi Quantitativi per il Management Techniques that fall under the definition of Local SA techniques

94 Emanuele Borgonovo 94 Metodi Quantitativi per il Management Global Importance Measures

95 Emanuele Borgonovo 95 Metodi Quantitativi per il Management Sensitivity Analysis in Risk-Informed Decision-Making and Regulation Risk Metric: x i is undesired event probability Fussell-Vesely fractional Importance: Tells us on which events regulator has to focus attention

96 Emanuele Borgonovo 96 Metodi Quantitativi per il Management Summary of the previous concepts Formal Definition of Sensitivity Analysis Techniques Definition of Importance Relations Definition enables to: –Formalize use of Sensitivity Analysis –Understand role of Sensitivity Analysis in Risk- informed Decision-making and in the use of model information

97 Emanuele Borgonovo 97 Metodi Quantitativi per il Management Sensitivity Analysis Various Types of SA –One Way SA –Two Way SA –Tornado Diagrams –(Differential Importance Measure) Uncertainty Analysis –Monte Carlo –(Global SA)

98 Emanuele Borgonovo 98 Metodi Quantitativi per il Management How do we use SA? a) To check model correctness and robustness b) To Further interrogate the model –Questions: What is the most influential parameter with respect to changes? What is the most influential parameter on the uncertainty (data collection)

99 Emanuele Borgonovo 99 Metodi Quantitativi per il Management Underline the critical dependencies of the outcome Sensitivity Analysis (Run or withdraw)

100 Emanuele Borgonovo 100 Metodi Quantitativi per il Management Contenuti Analisi di Sensitività –One way sensitivity –Two way sensitivity –Tornado Diagrams Analisi di Incertezza –Incertezza Aleatoria –Incertezza Epistemica –Teorema di Bayes per distribuzioni continue –Metodo Monte Carlo

101 Emanuele Borgonovo 101 Metodi Quantitativi per il Management Analisi di Sensitività Per sensitività o sensibilità si intende il cambiamento del risultato (output) in funzione del cambiamento di uno dei parametri del modello (input) Tipi più semplici di analisi di sensitività: –one way sensitivity –two way sensitivity –Tornado diagrams

102 Emanuele Borgonovo 102 Metodi Quantitativi per il Management Analisi di sensitività ad un modo Alterando una alla volta le variabili del modello, una si analizza come cambia la decisione. Permette di analizzare il variare del valore di ciascuna delle alternative al variare del parametro su cui stiamo degli eventi

103 Emanuele Borgonovo 103 Metodi Quantitativi per il Management Analisi di sensitività Bi-variata In questo caso si variano due parametri. Anzichè una linea si ottiene il piano delle combinazioni, in cui ogni regione coincide con la decisione preferenziale dati i valori dei due parametri

104 Emanuele Borgonovo 104 Metodi Quantitativi per il Management Tornado Diagrams Si focalizza lanalisi sulla decisione principale Si sceglie un intervallo di variazione per ciascuno dei parametri Si alterano una alla volta tutti i parametri Si registra il cambiamento delloutput Si mostra il cambiamento delloutput con una barra orizzontale La variabile che incide di più è quella corrispondente alla barra più larga

105 Emanuele Borgonovo 105 Metodi Quantitativi per il Management Esempio di Tornado Diagram

106 Emanuele Borgonovo 106 Metodi Quantitativi per il Management Pregi e Difetti Pregi –Semplicità di calcolo –Immediatezza nella lettura dei risultati Difetti –Range di variazione delle variabili arbitrario, non consente una interpretazione dellimportanza (non si dovrebbero classificare) –Una o al massimo due parametri possono essere cambiati contemporaneamente

107 Emanuele Borgonovo 107 Metodi Quantitativi per il Management Capitolo V Analisi di Incertezza

108 Emanuele Borgonovo 108 Metodi Quantitativi per il Management Analisi di Incertezza

109 Emanuele Borgonovo 109 Metodi Quantitativi per il Management Contenuti Distinzione tra Incertezza Aleatoria ed Incertezza Epistemica Il teorema di Bayes nel continuo come rappresentazione dellincertezza epistemica Il metodo Monte Carlo per la propagazione dellincertezza

110 Emanuele Borgonovo 110 Metodi Quantitativi per il Management Incertezze Incertezza Aleatoria: –Da Alea dadi: Alea jacta est si riferisce all accadimento di un determinato evento casuale. –Esempio: laccadere di un terremoto Incertezza Epistemica: –Dal Greco, Conoscenza riflette la nostra mancanza di conoscenza del valore dei parametri del modello che si riferisce allevento

111 Emanuele Borgonovo 111 Metodi Quantitativi per il Management Esempio: modello aleatorio La probabilità di un terremoto è di solito modellizzato da una distribuzione di Poisson: che rappresenta la probabilità che il numero di terremoti che avviene nel tempo t sia n. La distribuzione di Poisson si ottiene per eventi indipendenti in cui laccadere dellevento non influenza laccadere degli eventi successivi e la probabilità dellevento in ogni intervallo di tempo è la stessa AL MODELLO scelto per descrivere come si comportano i terremoti viene dato il nome di modello aleatorio [in inglese, con un po meno di modestia model of the world (MOW).]

112 Emanuele Borgonovo 112 Metodi Quantitativi per il Management Informazioni utili sulla Poisson –è la probabilità che nel tempo t si verifichino n eventi La somma per n=0... di P(n,t) è 1. La probabilità di avere k>N eventi è data da: E[n]= t

113 Emanuele Borgonovo 113 Metodi Quantitativi per il Management Il corrispondente modello epistemico Ora, nonostante gli studi, è ben difficile che uno scienziato sappia con esattezza il valore del parametro della distribuzione. Più probabilitmente è descritto da una serie di valori. Per esempio può stare tra 1/5 e 1/50 anni. Supponiamo che lo scienziato decida di esprimere il suo stato di conoscenza su tramite una distribuzione uniforme u( ):

114 Emanuele Borgonovo 114 Metodi Quantitativi per il Management A questo punto... Ci ritroviamo con due modelli: Il modello aleatorio: eventi avvengono secondo distribuzione di Poisson Il modello espitemico: distribuzione uniforme dellincertezza Allora, qual è la probabilità di avere un terremoto nei prossimi due anni? Risposta: non cè Una probabilità, ma cè una p(n,t, ) per ogni valore di. Quindi dobbiamo riscrivere:

115 Emanuele Borgonovo 115 Metodi Quantitativi per il Management …. Questa espressione ci dice che non tutte le distribuzioni di Poisson pesano (in genere) allo stesso modo. Quindi: Nel nostro caso: u( )=c; quindi:

116 Emanuele Borgonovo 116 Metodi Quantitativi per il Management In Generale Il MOW dipenderà da m parametri,,…: La probabilità dellevento (indichiamolo ancora con t) sarà:

117 Emanuele Borgonovo 117 Metodi Quantitativi per il Management Un problema La probabilità di rottura di una serie di componenti attorno al tempo dt è data dalla densità esponenziale: Dai dati a vostra disposizione emerge che: Qual è il tempo medio di rottura?

118 Emanuele Borgonovo 118 Metodi Quantitativi per il Management Soluzione E[t]=

119 Emanuele Borgonovo 119 Metodi Quantitativi per il Management Teorema di Bayes nel continuo Incertezza eistemica e teorema di Bayes sono collegati in quanto sappiamo che possiamo usare levidenza per aggiornare le probabilità. Ad esempio, supponete di avere una moneta e di voler sapere se la probabilità che esca testa o croce sia del 50%. Come fate? Tirate la moneta….

120 Emanuele Borgonovo 120 Metodi Quantitativi per il Management Formula La densità di probabilità di un parametro, dopo aver raccolto levidenza (E) cambia come segue: L(E )=MOW likelihood o verosimiglianza 0 =( ) è la densità di probabilità di prima dellevidenza detta distribuzione a priori =( ) è la densità di probabilità di prima dopo levidenza detta distribuzione a posteriori

121 Emanuele Borgonovo 121 Metodi Quantitativi per il Management Deriviamolo Prendiamo la formula del teorema di Bayes nel discreto: Passiamo al continuo: in questo caso vogliamo sapere la probabilità che un parametro nella distribuzione assuma un determinato valore dato che un certo evento si è verificato Quindi levento A j è: assume il valore * Da cui: P(A j ) 0 ( )d 0 ( )=densità a priori Quindi: P(E A j ) ha il significato di probabilità che levidenza E si realizzi dato che sia pari a *. Si scrive L(E, ) ed è chiamata funzione verosimiglianza: ma è anche il MOW!!!

122 Emanuele Borgonovo 122 Metodi Quantitativi per il Management Deriviamolo Il denominatore esprime la somma delle probabilità dellevidenza dati tutti i possibili eventi. Nel caso dellncertezza epistemica i possibili eventi sono i valori del parametro. Quindi: Sostituendo i vari termini si trova la formula del teorema di Bayes per stribuzioni continue che abbiamo mostrato prima

123 Emanuele Borgonovo 123 Metodi Quantitativi per il Management E una moneta onesta? Quale è il modello aleatorio? E una binomiale: 2) Quale è il valore di p? Supponiamo di non sapere nulla su p e allora scegliamo una distribuzione a priori non informativa: la uniforme Raccogliamo levidenza. Al primo lancio esce testa Al secondo croce Al terzo testa

124 Emanuele Borgonovo 124 Metodi Quantitativi per il Management Ristulato Primo lancio –Evidenza t. –MOW: L(t p)=p –Priori: 0 Secondo lancio: –Evidenza è c –MOW: L(c p)=(1-p) –Priori: 1 Terzo lancio: –Evidenza t –MOW: L(t p)=p –Priori: 2 Equivalentemente: –Evidenza: t,c,t –L(tct p)=p 2 (1-p) –Priori: 0

125 Emanuele Borgonovo 125 Metodi Quantitativi per il Management Grafico

126 Emanuele Borgonovo 126 Metodi Quantitativi per il Management Distribuzioni Coniugate Likelihood –Poisson Distr. a Posteriori Distr. A Priori –Gamma dove:

127 Emanuele Borgonovo 127 Metodi Quantitativi per il Management Distribuzioni Coniugate Likelihood – Normale Distr. a Posteriori: Normale Distr. A Priori di : –Normale dove:

128 Emanuele Borgonovo 128 Metodi Quantitativi per il Management Distribuzioni Coniugate Likelihood – Binomiale Distr. a Posteriori: Beta Distr. A Priori di : –Beta dove:

129 Emanuele Borgonovo 129 Metodi Quantitativi per il Management Riassunto delle Distribuzioni Coniugate Modello AleatorioDistribuzio ne a Priori Distribuzione a Posteriori BinomialeBeta PoissonGamma Normale Gamma Negative binominalBeta N

130 Emanuele Borgonovo 130 Metodi Quantitativi per il Management Incertezza nei Problemi decisionali Investimento: Supponiamo che P.up sia distribuita secondo una uniforme tra 0.3 e 0.7 Come varia la decisione? Occorre propagare lincertezza nel modello

131 Emanuele Borgonovo 131 Metodi Quantitativi per il Management Propagazione analitica E lo stesso problema del MOW … Ripetendo per le altre decisioni e confrontando i valori attesi si ottiene la decisione ottimale Ricordiamo:

132 Emanuele Borgonovo 132 Metodi Quantitativi per il Management Metodo Monte Carlo Campionamento di un valore di P.up Per ogni valore di P.up si valuta il modello. 2 informazioni: –Frequenza della decisione migliore –Distribuzione di ciascuna delle alternative

133 Emanuele Borgonovo 133 Metodi Quantitativi per il Management Campionamento: il cuore del Monte Carlo 1) Generatore di numeri casuali u tra 0 e 1 (I numeri sono generati con distribuzione uniforme) 3) Supponiamo che il parametro incerto sia caratterizzato dalla distribuzione cumulativa in figura: 0 1 u

134 Emanuele Borgonovo 134 Metodi Quantitativi per il Management Campionamento Inversione: I valori di così ottenuti seguono la densità/cumulativa da cui abbiamo invertito 1 0

135 Emanuele Borgonovo 135 Metodi Quantitativi per il Management Esempio Valutare il volume del solido mediante metodo Monte Carlo. V V0V0

136 Emanuele Borgonovo 136 Metodi Quantitativi per il Management Applicazione ID e DT Per ognuna delle variabili del modello si crea la corrispondente distribuzione epistemica Storia 1: Si generano n numeri casuali tanti quanti sono le variabili incerte Si campiona il valore di ciascuna variabile invertendo la distribuzione comulativa corrispondente Si valuta il modello Si registra per ciascuna storia il valore di ciascuna delle alternativa Si registra lalternativa preferita Si ripete il procedimento per N storie

137 Emanuele Borgonovo 137 Metodi Quantitativi per il Management Risultato Frequenza della decisione Incertezza della decisione più frequente

138 Emanuele Borgonovo 138 Metodi Quantitativi per il Management Problema V-1 Il tempo medio di rottura di una serie di componenti in funzionamento è descritto da una distribuzione esponenziale con parametro. Supponete che sia caratterizzato da una distribuzione uniforme tra 1/100 e 1/10. –Qual è il MOW? Quale il modello epistemico? –Qual è il tempo medio di rottura? Supponete di avere registrato I seguenti tempi di rottura: t=15, 22, 25. –Aggiornate la distribuzione epistemica in base ai nuovi dati –Qual è il nuovo tempo medio di rottura?

139 Emanuele Borgonovo 139 Metodi Quantitativi per il Management Problema V-2: Investire Siamo di nuovo alle prese con il problema dellinvestimento (lezione 2 per il diagramma di influenza). In realtà, fino ad oggi non avete raccolto dati per la P_up. Dopo aver saputo del teorema di Bayes, cominciate a raccogliere dati. Dopo 15 giorni lavorativi avete: up,down, down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up. Assumendo che le giornate siano indipendenti: a) Quale è il modello aleatorio e quale quello epistemico? b) Senza i dati qual è la decisione migliore? c) Qual è la distribuzione probabilità che il mercato sia up dopo i dati? d) Cosa decidete ora? Soluzione: a) Stabilire un modello aleatorio ed uno epistemico –Il modello aleatorio consta del modello degli eventi che caratterizzano la decisione. In questo caso abbiamo un solo evento, landamento del mercato. Il modello aleatorio di questo evento è una binomiale, dato che ci sono solo due eventi possibili, up e down, se assumiamo indipendenza tra le giornate. La probabilità corrispondente è P_up. –Il modello epistemico: è linsieme delle distribuzioni che descrive la nostra conoscenza dei parametri del modello aleatorio. In questo caso è la dstribuzione di P_up. La distribuzione a priori: partiamo da una uniforme tra 0 e 1 per P_up, dato che non abbiamo dati b) Dobbiamo riprendere le espressioni del valore delle tre alternative in funzione di P_up

140 Emanuele Borgonovo 140 Metodi Quantitativi per il Management Prob. 5-2 Per sapere qual è la decisione migliore, dobbiamo ottenere il valore atteso delle tre alternative sulla distribuzione a priori di P_up, quindi sulla uniforme Sostituendo i valori: E[U Risky ]=50, E[U Safe ]= 20, E[U Less Risky ]= 20

141 Emanuele Borgonovo 141 Metodi Quantitativi per il Management Investire c) Usiamo Bayes per aggiornare luniforme –Evidenza: up,down, down,down,down,up,down,up,down,up,down,up,up,up –L(E|P_up): –Priori: 0 uniforme tra 0 e 1 Teorema di Bayes: Distribuzione a posteriori E[p_up]=0.47 d) Decisione dopo i dati: E[U Risky ]=23, E[U Safe ]= 20, E[U Less Risky ]= 9.2

142 Emanuele Borgonovo 142 Metodi Quantitativi per il Management Problemi Per gli esempi e gli esercizi della scorsa lezione, sottoponete i modelli ad analisi di sensitività: –One way –Two way –Tornado diagrams Discutete i risultati

143 Emanuele Borgonovo 143 Metodi Quantitativi per il Management Decisione Bayesiana Siete i direttori di una libreria. Per migliorare le vendite state pensando di assumere ulteriore personale. Assumendo più persone, pensate, dovrebbe migliorare il servizio. Se il servizio migliora, vi aspettate un aumento del numero dei clienti e il conseguente aumento del fatturato. Supponete che il numero di persone che entrano nel negozio ogni giorno sia distribuito secondo una Poisson, con tasso non noto con certezza. Dai dati a vostra disposizione sul numero di clienti ad oggi vi aspettate in media 50 persone al giorno. I dati fittano una distribuzione gamma con valore atteso 55 e deviazione standard 15. Laumento di costi dovuto al servizio è 5000EUR al mese. Se il servizio è efficace e ricevete più di 50 visite al giorno, ricavate 15000EUR, per un guadagno operativo di medio sul numero di visite. Se non riuscite a superare le 50 persone al giorno, allora perdete i 5000EUR. In base ad un sondaggio, stimate la probabilità che il servizio aumenti di qualità pari p. Cosa decidete? Dopo 6 giorni, avete a disposizione I seguenti dati sul numero di clienti: 75,45,30,80,72,41. Riaggiornate le probabilità. Cosa decidereste adesso? Quanto vi aspettate di guadagnare adesso? Sottoponete I risultati ad analisi di sensitività sulle probabilità. Cosa vi suggerisce?

144 Emanuele Borgonovo 144 Metodi Quantitativi per il Management Diagramma di influenza Più di 500 Clienti P_500_up Meno di P_500_up Migliora Servizio Pmigl Non Migliora 1-Pmigl Investo Decisione Non Investo Clienti=0 Servizio=0 0 P=0.1 Pmigl=0.5 P_500=0.5 P_500_down=0.5 P_500_up=0.7

145 Emanuele Borgonovo 145 Metodi Quantitativi per il Management Capitolo VI Elementi di Teoria delle Decisioni

146 Emanuele Borgonovo 146 Metodi Quantitativi per il Management Contenuti Preferenze nella Certezza –Curve di indifferenza –Funzione Valore [V(x)]: proprietà –Indipendenza preferenziale Preferenze nellincertezza –Assiomi delle scelta razionale –Funzione Utilità [U(x)] ad una dimensione –Avversione al rischio Preferenze in presenza di obiettivi molteplici –Funzioni Utilità a multiattributi

147 Emanuele Borgonovo 147 Metodi Quantitativi per il Management Preferenze nella certezza Esempio: dovete sceglire il primo lavoro. Stabilite che gli attributi sono: località (misurata in distanza dal vostro luogo di origine), salario di base e prospettive di carriera. Chiamate gli attributi x1, x2, x3. Avete a disposizione 5 scelte o opzioni a1, a2,…,a5. Ad ogni scelta corrisponde con certezza un livello di x1, x2, x3. Ovvero: le conseguenze di ogni scelta sono note con certezza. Come decidete? Si tratta di un problema di scelta a più attributi, in cui le conseguenze di una decisione sono note con certezza. In questo caso dovete solamente stabilire quanto rinunciare di un attributo a favore di un altro.

148 Emanuele Borgonovo 148 Metodi Quantitativi per il Management 1 Opzione X1 2 X2 3 X3 4 X4 5 X5 X1=0.0 X2=0.0 X3=0.0 X4=0.0 X5=0.0 Preferenze nella Certezza La scelta è tra alternative le cui conseguenze sono certe

149 Emanuele Borgonovo 149 Metodi Quantitativi per il Management E possibile strutturare le preferenze? Per un determinato problema, potete creare le curve di indifferenza o di isopreferenza: Punti che giacciono sulla stessa curva vi lasciano indifferente x1x1 x2x2

150 Emanuele Borgonovo 150 Metodi Quantitativi per il Management La funzione Valore Supponete di poter associare un valore ad ogni curva di indifferenza: V(x) è la funzione che ci dice quanto sono disposto a scambiare di x j a fronte di un aumento di x k x1x1 x2x2

151 Emanuele Borgonovo 151 Metodi Quantitativi per il Management V(x) V(x) è una funzione valore se soddisfa le seguenti proprietà: a) b) Dovete sempre supporre una corrispondenza tra opzioni (a i ) e attributi x

152 Emanuele Borgonovo 152 Metodi Quantitativi per il Management Esempio Per la scelta del lavoro, supponete di essere giunti alla seguente funzione preferenza: dove x1 è la distanza misurata in centinaia di chilometri, x2 è la prospettiva di carriera misurata in una scala da 0 a 10 e x3 è lo stipendio misurato in k EUR Supponete di avere le seguenti 5 offerte: –(1, 5, 20), (5, 4, 10), (8,3,60), (10, 5, 20), (10,2,40) Quale scegliete?

153 Emanuele Borgonovo 153 Metodi Quantitativi per il Management Preferenze nellIncertezza P11 U1 P12 U2 P13 U3 P14 U P41 U1 P42 U2 P43 U3 P44 U4 4 Scelta Ora ho una miscela delle conseguenze di prima: per scegliere non uso più la funzione Valore (V(x)) ma lUtilità (U(x))

154 Emanuele Borgonovo 154 Metodi Quantitativi per il Management Funzione Utilità Utilità è una funzione che dà la preferenza sulle distribuzioni degli attributi. Date le distribuzioni 1 e 2 sulle conseguenze x, la distribuzione 1 è tanto desiderabile quanto la 2 se e solo se:

155 Emanuele Borgonovo 155 Metodi Quantitativi per il Management Utilità vs. Valore –Problema ad 1 attributo x. Supponiamo che se lalternativa 1 produce x 1 e la 2 x 2, allora 1 2 se x 1 >x 2 –Prendiamo due alternative 1 e 2, con x 1 >x 2, dati con certezza. –La funzione valore ci dirà: v(x 1 )>v(x 2 ) –Adesso prendete il seguente problema: –Per decidere avete bisogno di u(1) e u(2) P1 X1 1-P1 XN XI 1 2

156 Emanuele Borgonovo 156 Metodi Quantitativi per il Management Dominanza stocastica x probability distributions over x Distributions over attribute x 1 2 La distribuzione 1 è dominata dalla 2, se ottenere più x è preferibile. Viceversa, se ottenere meno x è preferibile, allora la distribuzione 2 è dominata dalla 1

157 Emanuele Borgonovo 157 Metodi Quantitativi per il Management Utilità in una Dimensione

158 Emanuele Borgonovo 158 Metodi Quantitativi per il Management Equivalente Certo Data la lotteria: il valore di x tale che siete indifferenti tra x* per certo e giocare la lotteria. In equazioni: N.B.: se siete neutrali rispetto al rischio, allora x*=E[x] P1 X1 1-P1 XN X3 1 2 P1 X1 1-P1 X2 X* 1 2

159 Emanuele Borgonovo 159 Metodi Quantitativi per il Management Definizione di Avversione al Rischio Un decisore è avverso al rischio se preferisce sempre il valore atteso di una lotteria alla lotteria Hp: funzione di utilità crescente. Th: Sitete avversi al rischio se lequivalente certo di una lotteria è sempre inferiore al valore atteso della lotteria Siete avversi al rischio se e solo se la vostra funzione utilità è concava (£20) £ £ 20 1 £10 2 £10; P = : £10

160 Emanuele Borgonovo 160 Metodi Quantitativi per il Management Premio per il Rischio e Premio di Assicurazione Il premio per il rischio (RP) di una lotteria è la differenza tra il valore atteso della lotteria e il vostro equivalente certo per la stessa: Intuitivamente, il premio per il rischio è la quantità di attributo a cui siete disposti a rinunciare per evitare i rischi connessi alla lotteria. Supponete ora di trovarvi di fronte ad una lotteria che abbia solo esiti negativi rispetto allo status quo. (una tale lotteria non è altro che un insieme di incidenti). In pratica E[x]=0. A questo punto: Quindi siete disposti a pagare x* pur di coprirvi dalla lotteria. RP in questo caso è il Premio di Assicurazione (PA)! Quindi:

161 Emanuele Borgonovo 161 Metodi Quantitativi per il Management Definizione Matematica La funzione avversione al rischio è definita da: che si può anche scrivere: Supponiamo di avere una avversione al rischio costante, otteniamo una funzione utilità esponenziale:

162 Emanuele Borgonovo 162 Metodi Quantitativi per il Management Risk Preferences Constant Risk Aversion Compute constant through Certainty Equivalent (CE):

163 Emanuele Borgonovo 163 Metodi Quantitativi per il Management Investment Results with Risk Aversion Market up Market exp(-200/70) = 1 Market Down exp(-(-160)/70) = -9 Blue Chip Stock Decision -3 Market up exp(-500/70) = 1 Market Down exp(-(-600/70)) = -5,278 -2,110 Bond=1 1-exp(-50/70) = 1; P = TwoStock prob_up=0.6 Risky Investment

164 Emanuele Borgonovo 164 Metodi Quantitativi per il Management A quale valore accetterei linvestimento rischioso

165 Emanuele Borgonovo 165 Metodi Quantitativi per il Management Esempi di funzioni Utilità Lineare: u=ax –Proprietà: Neutrale rispetto al rischio Esponenziale: –Proprietà: Segno - Avversione al rischio costante, + propensione al rischio costante Logaritmica: –Proprietà: Avversione al rischio decrescente con x

166 Emanuele Borgonovo 166 Metodi Quantitativi per il Management Problemi

167 Emanuele Borgonovo 167 Metodi Quantitativi per il Management Problema VI-1 Per le seguenti tre funzioni utilità, calcolate: –La funzione di rischio r(x) –Il premio di rischio per lotterie 50/50 –Il premio di assicurazione

168 Emanuele Borgonovo 168 Metodi Quantitativi per il Management Problema VI-2 Considerate una lotteria 50/50. Determinate la vostra costante di avversione al rischio, assumendo una funzione esponenziale. Con la costante trovata nellesercizio precedente, risolvete i problemi e i diagrammi di influenza assegnagi nella lezione 2. Come cambiano le decisioni?

169 Emanuele Borgonovo 169 Metodi Quantitativi per il Management Problema VI-3 State analizzando alternative per le vostre vacanze: –Un tour per le città culturali dItalia, durata 10 giorni, costo 500EUR, per un totale di 1500km percorsi in macchina. –Un viaggio ai Caraibi, durata 1 settimana, costo 2000EUR, viaggio in aereo. –15 giorni in una località Trentino, per un costo di 2000EUR, con 500km di passeggiate a piedi. In questo caso, per decidere vi serve una funzione utilità o valore? Ragionate sull assegnazione di una funzione valore a tre attributi, e provate a decidere. Provate la seguente funzione: dove x 1 è il costo in migliaia di EUR, x 2 è la distanza e x 3 è un coefficiente di merito riposo/divertimento da assegnare tra 1 e 10. Cosa scegliete?


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