CALCOLO COMBINATORIO.

Presentazione sul tema: "CALCOLO COMBINATORIO."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO COMBINATORIO

2 Che cos’è il calcolo combinatorio?
Concetto di raggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizione Disposizioni Permutazioni Combinazioni

3 PROBLEMI In quanti modi diversi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici si possono sedere su 4 poltrone libere di un cinema? Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6? Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse?

4 CHE COS’E’? Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti diversi che si possono comporre prendendo una determinata quantità di elementi in un assegnato insieme, in modo che siano rispettate determinate regole.

5 I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE:
SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti sono presenti una o più volte

6 COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE:
ESEMPIO 1 Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ab ac bc 1° modo: si parla di DISPOSIZIONI ° modo: si parla di COMBINAZIONI

7 COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE:
ESEMPIO 2 Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: aa ab ac bb bc cc

8 I DIVERSI TIPI DI RAGGRUPPAMENTI
DISPOSIZIONI: si tiene conto dell’ordine degli elementi COMBINAZIONI: non si tiene conto dell’ordine degli elementi

9 COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?

10 Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono sedersi su 4 poltrone libere di un cinema?

11 Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono sedersi su 4 poltrone libere di un cinema? 9 8 7 6 9x8x7x6 = 3024 … wow!

12 Il numero di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è
Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k (cioè il prodotto di k numeri naturali consecutivi, in ordine decrescente, a partire da n)

13 il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è

14 il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è
D’n,k= nk

15 CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?

16 PERMUTAZIONI SEMPLICI
ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA «APE» P E A P E A E P A E P A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A

17 Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine Pn = Dn,n Pn = n!

18 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE:
se tra gli n oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro e β uguali tra loro, il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta: Pn(α, β ) = n! α! * β!

19 COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?

20 Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?
La situazione è simile a quella del problema degli amici al cinema, ma stavolta l’ordine non conta, quindi bisogna dividere le disposizioni di 90 oggetti presi 3 per volta per il numero delle permutazioni di tre oggetti

21 Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?

22 Il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è
Cn,k = Dn,k / k! = ( ) n k

23 Il numero delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è
C’n,k= (cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso per k! ) n(n+1)….. (n+k-1) k ! n(n+1)….. (n+k-1) k !