RELATIVITÀ Teoria della Introduzione alla a cura di Sandro Ronca

Presentazione sul tema: "RELATIVITÀ Teoria della Introduzione alla a cura di Sandro Ronca"— Transcript della presentazione:

1 RELATIVITÀ Teoria della Introduzione alla a cura di Sandro Ronca
ITIS “Silvio De Pretto” Settimana intensiva 21-25/01/13

2 Albert Einstein Ulm, 1879- Princeton, 1955
Uno dei più grandi scienziati di tutti i tempi. Diede il maggior contributo individuale alla Fisica di ogni altro scienziato. Nel 1905 scrisse articoli sul moto browniano, sull’effetto fotoelettrico e sulla teoria della relatività ristretta ognuno dei quali valeva da solo un premio Nobel. La teoria della relatività ristretta e la nuova teoria della gravitazione nota come Relatività generale, hanno definitivamente cambiato il modo di vedere e rapportarsi alla realtà fisica. Fu insignito del premio Nobel nel 1921, ma per l’effetto fotoelettrico e non per la teoria della Relatività

3 Ci occuperemo di: Lunghezze che si accorciano Orologi che rallentano Raggi luminosi che “pesano” Spazi che si incurvano Gemelli che non invecchiano Cioè di cose che accadono in uno strano universo: quello in cui viviamo

4 Che succede se mi muovo alla stessa velocità della luce?
Un pensiero ricorrente assillava il giovane Albert Che succede se mi muovo alla stessa velocità della luce?

5 Potrò vedere la mia immagine
riflessa allo specchio?

6 Oppure… Lo specchio resterà nero?

7 Beh, non era affatto una domanda banale!

8 la luce non si propaga istantaneamente
1675 Osservando le eclissi di Io Ole Rømer dedusse che: la luce non si propaga istantaneamente Cette seconde inégalité paraît venir de ce que la lumière emploie quelques temps à venir du satellite jusqu'à nous, et qu'elle met environ dix à onze minutes à parcourir un espace égal au demi-diamètre de l'orbite terrestre.

9 Io è il più interno dei satelliti di Giove
Io è il più interno dei satelliti di Giove. Orbita ad una distanza di  km dal centro del pianeta e il suo periodo orbitale è di 42,5 ore.

10 Rømer si accorse che il satellite di Giove, Io sembrava rallentare
il suo moto di rivoluzione quando la terra si allontanava da Giove e accelerarlo quando si avvicinava Io L’unica spiegazione possibile era che la luce impiegasse un certo tempo a percorrere il diametro dell’orbita terrestre. a cura di Sandro Ronca

11 Nel 1670 Cassini calcolò la distanza Terra-Sole ottenendo 140·106 km
Quindi il diametro dell’orbita terrestre doveva essere allora di circa 280 milioni di km Giovanni Domenico Cassini a cura di Sandro Ronca

12 La luce allora avrebbe dovuto percorrere
Rømer valutò un ritardo di circa 22 minuti su 40 orbite di Io osservate tra il punto di maggiore e minore distanza della Terra da Giove La luce allora avrebbe dovuto percorrere 280 milioni di km in 22 minuti Con questi dati Rømer avrebbe calcolato: Con un errore del 30 % sul valore attualmente accettato a cura di Sandro Ronca

13 la luce si propaga con una velocità finita Rømer però introdusse
un’idea molto importante la luce si propaga con una velocità finita Ole Rømer a cura di Sandro Ronca

14 Poi c’erano le questioni legate all’elettromagnetismo
a cura di Sandro Ronca

15 indipendenti ed estranei l’uno all’altro
Ambra (elektron) Magnetite Per secoli i fenomeni elettrici e magnetici sono stati considerati come indipendenti ed estranei l’uno all’altro a cura di Sandro Ronca

16 ma nell’anno 1820 a Copenaghen…

17 Il Prof. Hans Christian Øersted esegue un esperimento
a cura di Sandro Ronca

18 Ne deduco che una corrente elettrica genera un effetto magnetico
Hans Christian Ørsted ( )

19 Qualcuno poi lo chiamerà campo magnetico
a cura di Sandro Ronca

20 E un campo magnetico non potrebbe a sua volta generare una corrente?
Michael Faraday ( ) a cura di Sandro Ronca

21 E con gli avvolgimenti di molte spire pensavo di amplificare
a sufficienza gli effetti La pila di Volta genera una corrente continua a cura di Sandro Ronca

22 Ho provato in tutti i modi, ma… NIENTE! Michael Faraday (1791-1867)
a cura di Sandro Ronca

23 Ma nel 1831 Faraday scopre qualcosa di molto importante
a cura di Sandro Ronca

24 Impulsi di corrente alla chiusura e apertura del circuito
a cura di Sandro Ronca

25 Ci sono! Il campo magnetico deve variare nel tempo.
Ho giusto in mente una certa legge … Michael Faraday ( ) a cura di Sandro Ronca

26 2 1 Penso che l’energia impieghi un certo tempo per passare dalla
bobina 1 alla 2 2 1 a cura di Sandro Ronca

27 “Equazioni di Maxwell”
Nel J. C. Maxwell portò a termine l’unificazione teorica di elettricità e magnetismo “Equazioni di Maxwell” James Clerk Maxwell ( ) a cura di Sandro Ronca

28 Le prime due equazioni: legge di Gauss elettrica e magnetica
Legge di Gauss: le sorgenti del campo elettrico E sono le cariche elettriche. ρ è la densità di carica elettrica Q/Volume Non esiste la carica magnetica. Il campo magnetico B è solenoidale: le sue linee di campo sono sempre anelli chiusi. Il flusso attraverso unasuperficie chiusa è sempre nullo. È anche detta “legge di Gauss Magnetica” ma le più interessanti sono le altre due… a cura di Sandro Ronca

29 La legge di Faraday L’induzione elettromagnetica
Un campo elettrico E può essere generato dalla variazione di un campo magnetico B Thank you, sir a cura di Sandro Ronca

30 La legge della circuitazione del Signor Ampère
Mais, non l’avevo scritta comme ça, moi! a cura di Sandro Ronca André-Marie Ampère ( )

31 Pardon Monsieur, mi sono permesso di aggiungere la
corrente di spostamento Ah, bon! La legge di Ampére: a cura di Sandro Ronca a cura di Sandro Ronca

32 La corrente di spostamento è un termine
importante: ha a che fare con le onde elettromagnetiche Un campo magnetico B può essere creato da una (densità di) corrente J, ma anche dalla variazione di un campo elettrico E. a cura di Sandro Ronca

33 Maxwell trovò una soluzione di queste due equazioni
che prevedeva la possibilità di propagazione nello spazio dei campi elettrici e magnetici sotto forma di onde con velocità: a cura di Sandro Ronca

34 c = 310 740 km/s Con i dati di allora (1865) trovò
“così vicina alla velocità della luce che ho ragione di credere che la luce stessa sia un’onda elettromagnetica” Con i dati di allora (1865) trovò c = km/s a cura di Sandro Ronca

35 Aveva ragione! permettività dielettrica del vuoto
permeabilità magnetica del vuoto a cura di Sandro Ronca

36 Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894)
Nel 1887 verificò sperimentalmente l’esistenza delle onde elettromagnetiche grazie ad un famoso esperimento a cura di Sandro Ronca

37 c = 299792,458 km/s La velocità della luce è:
La luce è un’onda elettromagnetica a cura di Sandro Ronca

38 Si pensava che la luce avesse bisogno di un mezzo per
propagarsi: l’ “etere”, come le onde sonore, che si propagano nell’aria. Una sostanza piuttosto strana … doveva essere trasparente per tutti i corpi, ma infinitamente rigida per consentire la propagazione della luce a cura di Sandro Ronca

39 1887. Michelson e Morley tentano di evidenziare gli effetti dell’etere sulla propagazione della luce. Usano un particolare interferometro. a cura di Sandro Ronca

40 A causa del moto dell’apparecchiatura i raggi impiegano tempi diversi per completare i due percorsi di andata e ritorno. a cura di Sandro Ronca

41 La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere
B S La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere v è la velocità della Terra nell’orbita attorno al sole: circa 30 km/s km/h I bracci dell’interferometro hanno eguale lunghezza L Lungo la direzione e il verso della velocità v il raggio di luce, rispetto all’apparato si muove con velocità c – v perché lo specchio A si allontana con velocità v. Per percorrere L impiega il tempo: a cura di Sandro Ronca

42 La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere
B S La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere v è la velocità della Terra nell’orbita attorno al sole: circa 30 km/s km/h I bracci dell’interferometro hanno eguale lunghezza L Al ritorno, il raggio di luce, rispetto all’apparato si muove con velocità c + v perché lo specchio S si avvicina con velocità v. Per percorrere L impiega il tempo: a cura di Sandro Ronca

43 La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere
B S La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere v è la velocità della Terra nell’orbita attorno al sole: circa 30 km/s km/h I bracci dell’interferometro hanno eguale lunghezza L Il tempo totale del percorso longitudinale è a cura di Sandro Ronca

44 Qualche passaggio algebrico:
Il tempo totale del percorso longitudinale è a cura di Sandro Ronca

45 Il tempo totale del percorso trasversale è allora:
B S Il raggio trasversale deve percorrere una distanza più lunga di L sia all’andata che al ritorno, perché lo specchio B si sta spostando con velocità v. Se per andare da S a B il raggio impiega il tempo T3, avrà percorso una distanza c T3 tale che: v T3 c T3 L S B Il tempo totale del percorso trasversale è allora: a cura di Sandro Ronca

46 Qual è il tempo maggiore?
il raggio longitudinale impiega più tempo a cura di Sandro Ronca

47 Non si rivelò mai alcun effetto sulla velocità della luce dovuto alla
Così si poteva prevedere quale fosse la figura di interferenza, ma… Non si rivelò mai alcun effetto sulla velocità della luce dovuto alla presenza dell’etere. a cura di Sandro Ronca

48 A questo punto si poteva anche rinunciare all’etere, dato che non
si poteva scoprirne gli effetti. Ma c’era di più … a cura di Sandro Ronca

49 L’esperimento sembrava indicare che la velocità della luce doveva
essere sempre la stessa, indipendentemente dal moto della sorgente a cura di Sandro Ronca

50 Una costante universale
c = ,458 km/s Una costante universale a cura di Sandro Ronca

51 Ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali
c = ,458 km/s Ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

52 Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti a cura di Sandro Ronca

53 e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza a cura di Sandro Ronca

54 e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose a cura di Sandro Ronca

55 fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur
che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma a cura di Sandro Ronca

56 Principio d’inerzia Codesta cosa la scrissi nel
“Dialogo”. S’era nel 1624, ma si pubblicò nel1632 Galileo Galilei enunciò così il Principio d’inerzia a cura di Sandro Ronca

57 fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur
che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma Non esiste alcun esperimento che permetta di decidere se un sistema di riferimento è in moto rettilineo uniforme o è fermo Le leggi della fisica, per esempio le forze, sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

58 Achtung! Questo è il nocciolo
della questione. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

59 treno imprime alla palla anche una componente orizzontale di velocità.
Se la pantera rosa lancia una palla verso l’alto, questa le ritornerà in mano, e dal suo punto di vista seguirà una traiettoria rettilinea verso l’alto e verso il basso. Le leggi della Fisica sono le stesse che in un riferimento fermo. Vista dal binario però la palla seguirà un percorso ad arco di parabola perché il treno imprime alla palla anche una componente orizzontale di velocità. a cura di Sandro Ronca

60 Cos’è un sistema di riferimento?
Un sistema di riferimento è un corpo rigido rispetto al quale prendiamo tutte le nostre misure, di lunghezza, di tempo, ecc. Un sistema di riferimento è inerziale se è fermo oppure si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro sistema a sua volta inerziale. x y z S Un sistema di riferimento può essere rappresentato da un sistema di assi cartesiani perpendicolari S (x,y,z) a cura di Sandro Ronca

61 Le trasformazioni di Galileo delle coordinate
x y y' x' V y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

62 Le trasformazioni di Galileo delle coordinate
x y V y' x' Ovviamente vale la trasformazione inversa: y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

63 Le trasformazioni di Galileo delle velocità
Lungo l’asse x y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

64 Le trasformazioni di Galileo delle velocità
Lungo l’asse x y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

65 Le trasformazioni di Galileo delle Forze (accelerazioni)
y' x' V x y Vt P F Nel sistema S esiste una forza F = ma Trasformiamo le velocità secondo Galilei a cura di Sandro Ronca

66 Riassumendo … a cura di Sandro Ronca

67 La luce è un’onda elettromagnetica
prodotta dall’oscillazione di un campo elettrico e di un campo magnetico che si auto-sostengono propagandosi nello spazio con velocità finita (*) pari a: (*) l’opposto di velocità infinita e quindi effetto istantaneo a cura di Sandro Ronca

68 Dall’esperimento di Michelson e Morley ci si aspettava, almeno in qualche momento dell’anno, di rilevare una differenza nei tempi di percorrenza del raggio parallelo alla velocità della Terra rispetto a quello trasversale a cura di Sandro Ronca

69 velocità rispetto all’etere
Infatti almeno in qualche momento la terra con l’interferometro doveva avere una velocità rispetto all’etere a cura di Sandro Ronca

70 In tal caso ci si aspettava che il raggio longitudinale impiegasse più tempo rispetto a quello trasversale alla velocità v è minore di 1 Quindi: a cura di Sandro Ronca

71 Non si trovò alcuna differenza. I due raggi impiegavano lo stesso
tempo, come se la terra fosse sempre ferma rispetto all’etere. a cura di Sandro Ronca

72 Sembrava che la luce non obbedisse alla trasformazione
Il risultato era decisamente sconcertante. Non sapevamo proprio come spiegarlo Michelson Morley Sembrava che la luce non obbedisse alla trasformazione galileiana delle velocità a cura di Sandro Ronca

73 Ricordiamo y' x' V x y Vt P v’ V a cura di Sandro Ronca

74 la velocità della luce deve essere la stessa in ogni sistema di
La mia conclusione: la velocità della luce deve essere la stessa in ogni sistema di riferimento a cura di Sandro Ronca

75 Le onde luminose si propagano secondo sfere concentriche
a cura di Sandro Ronca

76 OP = distanza percorsa dal raggio di luce in S
x y y' x' V P OP = distanza percorsa dal raggio di luce in S Fronte d’onda con centro in O OP’ = distanza percorsa dal raggio di luce in S’ O O’ Fronte d’onda con centro in O’ a cura di Sandro Ronca

77 Poiché la velocità della luce deve essere la stessa
in tutti i sistemi di riferimento, nonostante il moto sarò sempre al centro della sfera costituita dal fronte d’onda y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

78 O P = ct O P’ = ct’ t ≠ t’ x y y' x' V P O O’
a) le leggi della fisica devono essere le stesse nei due sistemi di riferimento, b) la velocità della luce deve essere la stessa nei due sistemi di riferimento Spazio = velocità x tempo O P = ct O P’ = ct’ I tempi nei due sistemi di riferimento potrebbero non essere gli stessi t ≠ t’ a cura di Sandro Ronca

79 Il TEMPO a cura di Sandro Ronca

80 si misura con un orologio.
Il tempo è qualcosa che si misura con un orologio. a cura di Sandro Ronca

81 nella molecola di ammoniaca l’atomo di azoto passa da una
Beh, non necessariamente questo: nella molecola di ammoniaca l’atomo di azoto passa da una posizione alla sua simmetrica rispetto al piano individuato dagli atomi di idrogeno . Fu utilizzato in uno dei primi orologi atomici Anche questo può andar bene: O questo: Qualsiasi cosa che riproduca ciclicamente e periodicamente una certa situazione a cura di Sandro Ronca

82 Eventi simultanei eventi che avvengono nello stesso istante di tempo Sul treno il sistema di comando apre simultaneamente le porte Smile Se il vagone è fermo Smile giudicherà che gli eventi sono simultanei a cura di Sandro Ronca

83 Ma se la carrozza si muove …
B Smile Smile vedrà aprirsi prima la porta A e dopo la porta B, perché? a cura di Sandro Ronca

84 Eventi simultanei in un sistema di riferimento non lo sono
necessariamente in un altro, in moto relativo rispetto al primo V A B Smile Più velocemente si muove il vagone più tardi si aprirà la porta B rispetto ad A a cura di Sandro Ronca

85 ct ct’ Considero il caso particolare in cui P si trova sull’asse x, x’
y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

86 ct ct’ y' y Proviamo con la trasformazione di Galileo V P x x' O O’
Qui abbiamo: dove supponiamo che t’ sia il tempo misurato nel sistema S’ dove supponiamo che t sia il tempo misurato nel sistema S ma comunque nella trasformazione di Galileo: a cura di Sandro Ronca

87 y' x' V x y P ct ct’ O O’ diviene: diviene: a cura di Sandro Ronca

88 La trasformazione di Galileo NON funziona
y' x' V x y P ct ct’ O O’ moltiplichiamole membro a membro si ottiene l’assurdo: La trasformazione di Galileo NON funziona a cura di Sandro Ronca

89 ct ct’ y' y Proviamo con la trasformazione : V P x x' O O’
Qui però immaginiamo che i tempi possano essere diversi La costante non può dipendere dal tempo né dalla coordinate x o x’ altrimenti la trasformazione non sarebbe lineare deve essere la stessa nelle due trasformazioni perché altrimenti, potrei decidere quale sistema si muove. a cura di Sandro Ronca

90 ct ct’ y' y V P x x' O O’ Come prima moltiplichiamo membro a membro
a cura di Sandro Ronca

91 ct ct’ y' y V P x x' O O’ Così possiamo ricavare
raccogliamo c2 al denominatore: a cura di Sandro Ronca

92 ct ct’ Trasformazioni di Lorentz delle coordinate spaziali y' y V P x
a cura di Sandro Ronca

93 ct ct’ y' y Ora cerchiamo una trasformazione per il tempo: V P x x' O
a cura di Sandro Ronca

94 y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

95 y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

96 ct ct’ y' y V Trasformazione del tempo P x x' O O’
a cura di Sandro Ronca

97 Le trasformazioni di Lorentz
y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

98 Le trasformazioni di Lorentz
Il rapporto: è quasi nullo per le normali velocità di cui abbiamo esperienza. Alla velocità della luce: la radice: è chiamata contrazione di Ftzgerald si annulla alla velocità della luce: Il fattore: è sempre >1 diviene infinito alla velocità della luce:

99 La velocità della luce è una velocità limite in questo universo
c = ,458 km/s La velocità della luce è una velocità limite in questo universo a cura di Sandro Ronca

100 Le lunghezze si contraggono
x y z y' x' z' x'1 x'2 V x1 x2 L’ L x1 e x2 devono essere rilevate allo stesso tempo a cura di Sandro Ronca

101 Le lunghezze si contraggono
x y z y' x' z' x'1 x'2 V x1 x2 L’ L Contrazione di Fitzgerald a cura di Sandro Ronca

102 I tempi si dilatano Un intervallo di tempo in S’ in cui
l’orologio è fermo x y z y' x' z' V L’intervallo di tempo in S: L’orologio è fermo in S’ quindi x’1=x’2 a cura di Sandro Ronca

103 I tempi si dilatano Un intervallo di tempo in S’ in cui
l’orologio è fermo x y z y' x' z' V L’intervallo di tempo in S: a cura di Sandro Ronca

104 Comporre le velocità y’ S’ sistema di riferimento del treno V u’ y
x’=u’t’ V x=u t x a cura di Sandro Ronca

105 Comporre le velocità x’=u’t’ x=u t y’
S’ sistema di riferimento del treno V u’ y x’=u’t’ V x=u t x a cura di Sandro Ronca

106 Trasformazione delle velocità
S’ sistema di riferimento del treno y’ V u’ y x’=u’t’ V x=u t x Relativistica Galileiana a cura di Sandro Ronca

107 Raggio di luce c S’ sistema di riferimento del treno y’ V y V x
Relativistica Galileiana a cura di Sandro Ronca

108 Trasformazione delle velocità
S’ sistema di riferimento del treno y’ V c y V x Relativistica Galileiana a cura di Sandro Ronca

109 Trasformazione delle velocità
S’ sistema di riferimento del treno y’ V c y V x Conferma che la velocità della luce è la stressa in ogni sistema di riferimento. a cura di Sandro Ronca

110 Comporre le velocità dirette lungo y’ y’
S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x a cura di Sandro Ronca

111 Comporre le velocità dirette lungo y’ y’
S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x a cura di Sandro Ronca

112 Comporre le velocità dirette lungo y’ y’
S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x e l’inversa: a cura di Sandro Ronca

113 Comporre le velocità dirette lungo y’ y’
S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x Ma u’x= 0 Proviene dalla dilatazione del tempo a cura di Sandro Ronca

114 La massa e la conservazione della quantità di moto

115 Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte
vA1 Siamo nel sistema di riferimento del laboratorio La quantità di moto totale si conserva Le particelle hanno velocità uguali ed opposte v B1 x y laboratorio m a cura di Sandro Ronca

116 Well, la quantità di moto è data
dal prodotto della massa per la velocità: La mia 2a legge dice che: Cioè che una forza F imprime ad una massa m un’accelerazione a Sir Isaac Newton ( ) a cura di Sandro Ronca

117 However, l’accelerazione è una variazione
di velocità in un dato intervallo di tempo So, my law diventa: O meglio: Sir Isaac Newton ( ) a cura di Sandro Ronca

118 La quantità di moto si conserva:
Ma se la forza è nulla: La quantità di moto si conserva: Sir Isaac Newton ( ) a cura di Sandro Ronca

119 Per esempio la quantità di moto totale prima dell’urto mv1 sarà uguale
a quella dopo l’urto mv2 Sir Isaac Newton ( ) a cura di Sandro Ronca

120 Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte
vA2 m vA1 Siamo nel sistema di riferimento del laboratorio Le particelle hanno velocità uguali ed opposte v B1 x y laboratorio m v B2 La quantità di moto totale si conserva a cura di Sandro Ronca

121 Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte
vA2x vA2y vA2 m vA1 vA1y vA1x Ma si devono conservare anche le singole componenti della quantità di moto v B1 v B1x v B1y x y laboratorio m v B2x v B2y v B2 a cura di Sandro Ronca

122 Quantità di moto iniziale e finale per componenti
mvA2x mvA2y m mvA1y mvA1x mvA1x mv B1x + = 0 mvA2x mv B2x + = 0 mv B1y + mvA1y = 0 mvA2y + mv B2y = 0 PRIMA DOPO mv B1x mv B1y x y laboratorio m mv B2x mv B2y La quantità di moto totale iniziale e finale sono nulle in questo caso a cura di Sandro Ronca

123 Semplifichiamo le notazioni
Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte –vx vy Semplifichiamo le notazioni m –vy –vx Poiché le velocità sono uguali ed opposte tutte le componenti corrispondenti sono uguali in modulo. Le velocità sono positive se dirette nel verso positivo degli assi, altrimenti sono negative. vx vy x y laboratorio m vx –vy a cura di Sandro Ronca

124 Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte
Consideriamo un sistema di riferimento S’ che si muove verso destra con velocità uguale alla componente x della velocità della particella B Osserviamo che nel sistema S’ di la particella B si muove solamente lungo l’asse y’ x’ y’ w1 x y laboratorio m w2 a cura di Sandro Ronca

125 L’urto nel sistema S’ v’2 v’1 w’1= w’y w’2= –w’y V = v x m y’ m x’
a cura di Sandro Ronca

126 La quantità di moto si conserva lungo x’
L’urto nel sistema S’ La quantità di moto si conserva lungo x’ v’x v’y m v’x – v’y w’y x’ y’ – w’y La quantità di moto si conserva lungo l’asse x’ perché le velocità iniziali e finali di A sono uguali mentre B non ha componenti della velocità lungo x’ V = v x m a cura di Sandro Ronca

127 La quantità di moto NON si conserva lungo y’
L’urto nel sistema S’ La quantità di moto NON si conserva lungo y’ v’x v’y m v’x – v’y w’y x’ y’ – w’y V = v x m a cura di Sandro Ronca

128 La quantità di moto NON si conserva lungo y’
L’urto nel sistema S’ La quantità di moto NON si conserva lungo y’ v’x v’y m v’x – v’y w’y x’ y’ – w’y V = v x m a cura di Sandro Ronca

129 lungo y’ dovrebbero essere uguali (ed opposte), ma:
Perché si conservi la quantità di moto anche lungo y’ le componenti di velocità lungo y’ dovrebbero essere uguali (ed opposte), ma: Noto che: Qual è la velocità maggiore? a cura di Sandro Ronca

130 La quantità di moto non si conserva
Qual è la velocità maggiore in modulo? < 1: diminuisce vy < 1:aumenta vy > 1: diminuisce vy Quindi: La quantità di moto non si conserva a cura di Sandro Ronca

131 Era inammissibile che, in qualche sistema di riferimento, fosse
Questo era un problema veramente molto serio. Era inammissibile che, in qualche sistema di riferimento, fosse violata una fondamentale legge di conservazione della natura a cura di Sandro Ronca

132 dovremo rinunciare all’idea che la massa sia un’entità
Per far tornare i conti dovremo rinunciare all’idea che la massa sia un’entità indipendente dal moto, ma che dipenda a sua volta dalla velocità della particella a cura di Sandro Ronca

133 legge di variazione della massa
Trovai che una buona legge di variazione della massa era questa: a cura di Sandro Ronca

134 La legge di variazione della massa
Per comprendere il senso di questa definizione osserviamo le velocità che avevamo trovato (sostituiamo V con vx ): differiscono solo per il segno della componente vx , altrimenti sarebbero identiche e la quantità di moto si conserverebbe. Cerchiamo allora una definizione della quantità di moto che la renda indipendente dalla velocità lungo x. a cura di Sandro Ronca

135 dell’intervallo temporale Δt → Δt’
Una componente di velocità perpendicolare al moto del sistema (lungo x) è data: nel sistema S da: nel sistema S’ da: Tuttavia: Infatti la componente di velocità lungo x compare a causa della trasformazione dell’intervallo temporale Δt → Δt’ L’intervallo di tempo proprio Δt0 è quello misurato dagli orologi fermi in un dato sistema di riferimento: a cura di Sandro Ronca

136 velocità v con cui il sistema di riferimento S’ si sposta.
Poiché: x z y x’ z’ y’ v tempo proprio in S’ Tutti gli osservatori saranno in grado di calcolare correttamente Δt0 e soprattutto otterranno lo stesso valore una volta che si sia misurato il tempo Δt e sia nota la velocità v con cui il sistema di riferimento S’ si sposta. Una velocità calcolata come: sarebbe la stessa in tutti i sistemi di riferimento Infatti : quindi: a cura di Sandro Ronca

137 Allora ha senso ridefinire la quantità di moto come:
che garantirà la conservazione della quantità di moto in tutti i sistemi di riferimento. a cura di Sandro Ronca

138 di un corpo in movimento
L’energia di un corpo in movimento

139 In matematica si dimostra che (sviluppo binomiale):
a cura di Sandro Ronca

140 Trascurando i termini di ordine superiore:
Moltiplico per c2: Energia Totale Energia Cinetica Energia a Riposo a cura di Sandro Ronca

141 La massa aumenta con la velocità
Da notare che se v tende alla velocità della luce, la massa aumenta e tende a diventare infinita Gli oggetti dotati di massa non possono raggiungere la velocità della luce. Secondo la relatività ristretta sarebbe necessaria una energia infinitamente grande per portare una massa (che diviene infinita) a quella velocità La velocità della luce è un limite non raggiungibile dagli oggetti dotati di massa

142 Lo spazio-tempo di Minkowsky

143 Spazio-tempo 2D d’universo t linea x FUTURO
Uno spazio tempo 2D è rappresentato da una sola coordinata spaziale x, e da una coordinata temporale t t x tempo linea Le linee inclinate rappresentano la velocità della luce. Ciò che si muove alla velocità della luce è rappresentato in ogni istante da un punto su quelle linee velocità della luce <0 velocità della luce >0 spazio PRESENTE L’origine degli assi rappresenta il presente: qui e ora La curva l è la linea d’universo. Rappresenta il percorso di un oggetto nello spazio-tempo. Per esempio la vita di un individuo PASSATO a cura di Sandro Ronca

144 Spazio-tempo 3D cono luce a cura di Sandro Ronca

145 Spazio-tempo 2D d’universo t linea x PRESENTE FUTURO PASSATO
velocità della luce >0 velocità della luce <0 PRESENTE FUTURO PASSATO d’universo Le linee d’universo sono tutte contenute nei coni del futuro e del passato linea Per tutti questi eventi vi è un nesso causale (principio di causa-effetto) ALTROVE ALTROVE Le zone contrassegnate con ALTROVE sono posizioni spazio-temporali non raggiungibili. Lo sarebbero solo se si potesse viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce. ALTROVE ALTROVE a cura di Sandro Ronca

146 Misurare il tempo in metri
Le trasformazioni di Lorentz mescolano le coordinate spaziali e temporali Nel tempo t la luce percorre uno spazio ct che chiamiamo τ (tau) Poiché la velocità della luce è identica in tutti i sistemi di riferimento, possiamo usare τ invece di t per misurare i tempi

147 Definire la velocità adimensionale
La velocità è definita come: La velocità usando τ diviene è adimensionale La velocità diventa il rapporto tra la velocità del corpo e la velocità della luce ed è un numero privo di dimensioni (rapporto tra due velocità)

148 La velocità della luce unitaria
Per la velocità della luce: La velocità della luce ha valore unitario

149 Spazio-tempo 2D e trasformazioni di Lorentz del tempo
ct x In un diagramma (x,ct) le linee che rappresentano la velocità della luce (linee di universo della luce) sono le bisettrici degli assi (45°, 135°) diviene: posto: a cura di Sandro Ronca

150 Spazio-tempo 2D e trasformazioni di Lorentz dello spazio
ct x Per le coordinate spaziali: posto: a cura di Sandro Ronca

151 Trasformazioni di Lorentz nel sistema (x,ct) con c = 1
Nel nuovo sistema abbiamo: velocità della luce: coordinate temporali: velocità di S’: Notare la simmetria rispetto a x e τ a cura di Sandro Ronca

152 Velocità nel sistema (x,ct) con c = 1
Un oggetto con velocità: Nel nuovo sistema con : Avrà velocità: Ogni velocità è in realtà un rapporto tra l’effettiva velocità definita in funzione del tempo e la velocità della luce a cura di Sandro Ronca

153 Il sistema (x,ct) τ=ct x ciò che è fermo in x = 0
L’asse ct rappresenta lo scorrere del tempo τ (e quindi anche del tempo t) per qualcosa che è fermo all’origine x=0 e non cambia posizione. L’equazione di questo asse è: qualsiasi evento che avviene al tempo t=0 L’asse x rappresenta ogni possibile evento che avviene al tempo iniziale t = 0. L’equazione di questo asse è: ct = x ct = –x oppure: tutto ciò che si muove alla velocità della luce a cura di Sandro Ronca

154 Eventi simultanei τ = ct x
B C D O Gli eventi A, B, C e D sono simultanei nel sistema di riferimento S Gli eventi A e D non sono raggiungibili da O perché sono fuori dal cono-luce. Per presenziare agli eventi A o D, O dovrebbe potersi muovere con una velocità maggiore di quella della luce a cura di Sandro Ronca

155 Eventi nello stesso luogo
τ = ct x A B C D O τC Gli eventi A, B, C e D avvengono nello stesso luogo, nel sistema di riferimento S L’evento C (B è nel passato) non è raggiungibile da O perché si trova fuori dal cono-luce. Per presenziare all’evento C , O dovrebbe potersi muovere con una velocità maggiore di quella della luce. Infatti C è troppo distante (nello spazio) da O per poter essere raggiunto nel tempo τC senza superare la velocità della luce. a cura di Sandro Ronca

156 Come rappresentare il sistema (x’,ct’)
τ x Il sistema S’ si muove con velocità V e quindi con velocità adimensionale β = V/c nel verso positivo di x. Al tempo t = 0 le origini dei due sistemi S e S’ coincidono. Le equazioni degli assi di S sono: O così dovrà essere per gli assi di S’ : e quindi: perché: a cura di Sandro Ronca

157 Equazione dell’asse ct’
x ct’ ct = x/β ma: oppure: O ct = x è una retta di coefficiente angolare >1 infatti: 1/β = c/V quindi ha pendenza maggiore della linea di universo della luce. a cura di Sandro Ronca

158 Equazione dell’asse x’
ct x ma: x’ O oppure: è una retta di coefficiente angolare <1 infatti: β = V/c quindi ha pendenza minore della linea di universo della luce. a cura di Sandro Ronca

159 Assi del sistema S’ ct ct’ x’ x Il sistema S’ in moto rispetto a
S nel verso delle x positive è rappresentato dagli assi inclinati x’ e ct’ O a cura di Sandro Ronca

160 Spazio-tempo 2D ct ct’ x x’ Mentre se la velocità è diretta
nel verso delle x negative: O a cura di Sandro Ronca

161 Eventi in S e S’ ct’ ct x’E x’ xE x L’evento E in S ha coordinate
E(xE , τE). ct x ct’ x’ E L’evento E in S’ ha coordinate E(x’E , τ’E). τE τ’E τ’E < τE è passato meno tempo in S’ di quanto ne sia passato in S. Gli orologi di S’ rallentano x’E O xE Ox’E < OxE Le lunghezze in S’ sono minore che in S Contrazione delle lunghezze a cura di Sandro Ronca

162 la relatività generale
Le nuove idee sulla GRAVITAZIONE la relatività generale

163 L’equivalenza tra gravitazione e sistemi di riferimento accelerati
fu il pensiero più felice della mia vita a cura di Sandro Ronca

164 a=g Se mi trovassi in una cabina d’ascensore in caduta
libera non sentirei alcun effetto della gravità. Penserei di trovarmi in un sistema inerziale in quiete o in moto rettilineo uniforme. a=g a cura di Sandro Ronca

165 a=g Ma se la cabina nello spazio fosse accelerata
con un’accelerazione pari a quella di gravità, tutto, all’interno , si svolgerebbe come se mi trovassi in un campo gravitazionale simile a quello terrestre a=g a cura di Sandro Ronca

166 Dove portano questi ragionamenti?
Esattamente come sulla superficie della Terra, dove gli oggetti cadono in verticale o seguendo un arco di parabola, se hanno una componente di velocità orizzontale Image credits:Virtualtouring.it Dove portano questi ragionamenti? a cura di Sandro Ronca

167 Il principio di equivalenza
Massa inerziale mI Image credits:Virtualtouring.it Massa gravitazionale mG a cura di Sandro Ronca

168 Il principio di equivalenza
Nessun esperimento permette di capire se ci si trova in un sistema di riferimento uniformemente accelerato con accelerazione a oppure in un sistema non accelerato posto in un campo gravitazionale in cui l’accelerazione sia g = –a La massa gravitazionale che compare nella legge di gravitazione universale e la massa inerziale che compare nella seconda legge della dinamica coincidono perfettamente: a cura di Sandro Ronca

169 a=g Anche la luce sembra incurvarsi in un sistema accelerato, anche se
l’effetto, a causa della velocità della luce, è quasi impercettibile su scala locale. Per il principio di equivalenza la stessa cosa succede in un campo gravitazionale. a=g a cura di Sandro Ronca a cura di Sandro Ronca

170 a=g Se la cabina si muovesse con moto rettilineo
a velocità costante, la contrazione delle lunghezze lungo la direzione del moto ci farebbe apparire il raggio ancora rettilineo. Ma nel sistema accelerato la velocità, e quindi la contrazione, non è costante. Il raggio di luce appare incurvato. a=g a cura di Sandro Ronca a cura di Sandro Ronca

171 Effetti gravitazionali sulla luce
I calcoli di Einstein basati sulla sua teoria della relatività generale indicarono che I raggi della luce di una stella radente il Sole dovrebbero essere deflessi di un angolo di 1.75 secondi di arco. Ciò fu misurato durante l’eclisse di sole totale del 1919 e durante quasi tutte quelle successive. fonte INFN

172 Relatività in giostra a cura di Sandro Ronca

173 Nella giostra la forza centrifuga spinge gli oggetti verso l’esterno
Chi sta sulla giostra può pensare di essere in quiete, ma in presenza di un campo gravitazionale, la cui intensità aumenta man mano che ci si allontana dal centro a cura di Sandro Ronca

174 R V accelerazione centrifuga Il sistema ruota quindi vi sarà una
forza centrifuga Alice a cura di Sandro Ronca

175 campo gravitazionale? V Mi sento pesante. E’ chiaro che mi trovo
in un campo gravitazionale Per forza! Non vede che il suo sistema sta ruotando. accelerazione di gravità Mary gravitazionale? Alice a cura di Sandro Ronca

176 Lo “spazio” giostra potrebbe non essere è euclideo
Il metro si accorcia: Tim misurerà una circonferenza maggiore Il metro è lungo come quello di Alice. Bob misura il raggio e trova lo stesso valore di Alice Tim Non troveranno il valore corretto di π Bob Alice Lo “spazio” giostra potrebbe non essere è euclideo Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità deformi lo spazio a cura di Sandro Ronca

177 Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità rallenta il tempo
Lorologio di Bob è più veloce perché lì la gravità è meno intensa L’orologio di Tim rallenta perché la gravità è più intensa dove lui si trova. Tim L’orologio di Tim è più lento per effetto della rotazione Bob Alice Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità rallenta il tempo a cura di Sandro Ronca

178 Furono considerazioni simili a condurmi all’idea che
una massa non dava origine ad una forza, ma ad una curvatura dello spazio-tempo a cura di Sandro Ronca

179 Pianeti, stelle, comete … si muovono in linea retta.
Ma in uno spazio curvo le rette non sono più tali. a cura di Sandro Ronca

180 Attorno ad una stella massiccia le traiettorie dei pianeti possono
essere incurvate dallo spazio fino a formare orbite chiuse. a cura di Sandro Ronca

181 I buchi neri sono previsti dalla teoria della relatività generale
I buchi neri sono previsti dalla teoria della relatività generale. Sono ciò che resta dopo la morte di una stella di massa sufficientemente grande a cura di Sandro Ronca

182 Centaurus A, si trova a 11 milioni di anni-luce dalla terra.
È una galassia attiva che contiene al centro un buco nero super massivo a cura di Sandro Ronca

183 Centaurus A (NGC 5128) Credit: X-ray: NASA/CXC/CfA/R.Kraft et al.; Submillimeter: MPIfR/ESO/APEX/A.Weiss et al.; Optical: ESO/WFI

184 incurvano lo spazio-tempo a tal punto che nemmeno la luce può uscirne
Simili oggetti incurvano lo spazio-tempo a tal punto che nemmeno la luce può uscirne E rallentano il tempo, fin quasi a fermarlo a cura di Sandro Ronca

185 Una massa incurva lo spazio-tempo
La “forza” di gravità non esiste. È la deformazione dello spazio-tempo che costringe gli oggetti a seguire traiettorie non rettilinee. La curvatura dello spazio-tempo obbliga anche i raggi luminosi a seguire percorsi non rettilinei immagine:

186 Al suo interno vi è una stella di neutroni: diametro 20 km,
massa circa 1,5 masse solari. È lo stadio terminale di una stella non sufficientemente massiccia per divenire un buco nero La nebulosa del Granchio dista 6500 anni-luce dalla Terra Anche questi oggetti incurvano fortemente lo spazio dando origine a campi gravitazionali estremamente intensi è il residuo dell’esplosione di una stella, la supernova osservata nel 1054 d.C.

187 spettacolare della curvatura
Ma la prova più spettacolare della curvatura dello spazio sono le lenti gravitazionali a cura di Sandro Ronca

188 La sua enorme massa distorce lo spazio creando un effetto lente
Il cluster Abell 2218 è un ammasso di circa galassie a circa 2,3 miliardi di anni luce dalla Terra La sua enorme massa distorce lo spazio creando un effetto lente Così sono ingrandite e distorte le immagini di galassie 5-10 volte più lontane Credits: NASA, Andrew Fruchter and the ERO Team [Sylvia Baggett (STScI), Richard Hook (ST-ECF), Zoltan Levay (STScI)]

189

190 Princeton, 18 aprile 1955

191 Grazie