Assi e linee di inviluppo

Presentazione sul tema: "Assi e linee di inviluppo"— Transcript della presentazione:

1 Assi e linee di inviluppo
Primo convegno di Origami, dinamiche educative e didattica Bellaria, 6 Aprile 2013 Assi e linee di inviluppo Come ottenere le coniche piegando la carta Stefania Serre

2 Linee di inviluppo: Si dice linea di inviluppo di una famiglia di rette una curva che risulti tangente a ciascuna retta della famiglia in almeno un punto

3 Linee di inviluppo

4 Linee di inviluppo

5 Linee di inviluppo

6 Linee di inviluppo

7 Linee di inviluppo

8 La parabola

9 La parabola

10 La parabola

11 La parabola

12

13 La parabola Perché? La piega ottenuta è l’asse del segmento che ha per estremi i due punti!!

14 La parabola Perché? La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola

15 La parabola Perché? La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola Fuoco direttrice

16 La parabola Perché? La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola F P Q

17 La parabola Perché? F P P’ Q’ Q
La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola Se considero il punto P ottenuto alzando da Q la perpendicolare al bordo inferiore del foglio, P appartiene alla parabola perché banalmente è equidist da F e Q. La piega effettuata è tangente in P alla parabola avente fuoco F e direttrice il bordo perché se così non fosse l’asse dovrebbe essere parallelo all’asse di simmetria (cioè perpendicolare alla direttrice, il che è impossibile) oppure avrebbe un altro punto di itersez P’ con la parabola, da cui FP’=P’Q per def di asse, e FP’=P’Q’ per def di parabola, per cui P’Q=P’Q’. Ma questo è possibile solo se Q’ , punto della direttrice, coincide con Q, cioè P’ coincide con P F P P’ Q’ Q

18 La parabola è la linea di inviluppo di tale famiglia di pieghe!

19 L’ellisse

20 L’ellisse

21 L’ellisse

22

23 L’ellisse Ellisse avente asse maggiore = raggio L’elisse è la
linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’ellisse 2) in tale punto la piega è tangente all’ellisse Ellisse avente asse maggiore = raggio

24 L’ellisse F1 F2 P H r Q L’elisse è la linea di inviluppo
della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’ellisse 2) in tale punto la piega è tangente all’ellisse F1 F2 Si congiunga Q con F2, intercettando il punto P sulla piega. QF2 è un raggio, quindi ha lunghezza r. Si unisca F1 con P… P H r Q

25 L’ellisse F1 F2 P H r Q L’elisse è la linea di inviluppo
della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’ellisse 2) in tale punto la piega è tangente all’ellisse F1 F2 F1P e congruente a QP, quindi F1P+PF2=r, cioè P è punto dell’ellisse. La piega è tangente all’ellisse in P perché la costruzione geometrica realizzata per individuare il punto P corrisponde a individuare il percorso più breve per andare da F1 a F2 passando per la piega stessa, e tale percorso risulta lungo r. Se la piega non fosse tangente all’ellisse in P, dovrebbe allora esserci qualche suo punto che risulta interno all’ellisse (la piega sarebbe secante), ma per i punti interni all’ellisse la somma delle distanze da F1 e F2 è minore di r, il che contraddice la costruzione di percorso minimo: la piega è dunque tangente all’ellisse in P P H r Q

26 della famiglia di pieghe!
L’ellisse L’elisse è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe!

27 L’iperbole

28 L’iperbole

29 L’iperbole

30 L’iperbole

31

32 L’iperbole Iperbole avente asse trasverso= raggio L’iperbole è la
linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’iperbole 2) in tale punto la piega è tangente all’iperbole Iperbole avente asse trasverso= raggio

33 L’iperbole P F1 F2 H Q L’iperbole è la linea di inviluppo
della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’iperbole 2) in tale punto la piega è tangente all’iperbole P F1 F2 Nelle iperboli la tangente in un punto P dell’iperbole è bisettrice dell’angolo F1PF2, pertanto la piega, che gode di tale proprietà essendo asse di F1Q, non può che essere la tangente all’iperbole in P (la tg è unica) Oppure per il punto P si ha: PF1-PF2=PQ-PF2=QF2=r per un punto P’ della piega diverso da P si ha: P’F1-P’F2=P’Q-P’F2>QF2’=r per differenza di lati di un triangolo. Allora per ogni punto diverso da P la differenza delle distanze è maggiore di r, dunque gli altri punti della piega si trovano esternamente all’iperbole (i punti come F2 e Q sono invece ‘interni’ all’iperbole) H Q

34 Ecco infine tutte le coniche ‘tra le pieghe’ … circonferenza compresa!