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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine.

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Presentazione sul tema: "Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine."— Transcript della presentazione:

1 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

2 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo fine

3 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

4 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

5 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

6 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

7 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

8 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

9 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono S = 180° x 4 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine

10 E in generale? Se il poligono ha M vertici? triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono S = 180° x 4 fine

11 Congettura: In un poligono convesso con M vertici la somma degli angoli interni è S = 180° x (M - 2) triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x 2 pentagono S = 180° x 3 esagono S = 180° x 4 fine

12 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Un’altra strategia per generare la stessa congettura fine

13 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Triangolo S = 180° fine

14 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x ° x 2 fine

15 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x ° x 2 pentagono S = 180° x ° x 2 fine

16 Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? Triangolo S = 180° quadrangolo S = 180° x ° x 2 pentagono S = 180° x ° x 2 M-gono S = 180° x M - 180° x 2 = 180° x (M-2) E quindi: fine

17 Congettura: In un poligono convesso con M vertici la somma degli angoli interni è S = 180° x (M - 2) Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M? fine

18 COMMENTO C’è differenza tra le due strategie? (in vista della dimostrazione) “vertice” uso asimmetrico dei vertici il ‘nuovo’ vertice deve essere ‘ben’ collocato l’esempio ‘generico’ è dinamico su M (suggerisce il passaggio da M a M+1 vertici) “punto interno” uso simmetrico dei vertici il ‘nuovo’ vertice può essere ‘ovunque’ l’esempio ‘generico’ è statico su M fine

19 Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ). fine

20 Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella) nel triangolo la somma degli angoli interni è S = 180° x (3 - 2) = 180° OK E ora, il secondo passo! fine

21 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m vertici. La somma S degli angoli interni è: S = 180° x (m - 2) (per ipotesi) fine

22 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m vertici. La somma S degli angoli interni è: S = 180° x (m - 2) (per ipotesi) Aggiungo un vertice (m + 1). S = 180° x (m - 2) fine

23 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. S = 180° x (m - 2) fine

24 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. Posso ritagliare un triangolo. S = 180° x (m - 2) fine

25 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. Posso ritagliare un triangolo. S = 180° x (m - 2) fine

26 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. 180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2] S = 180° x (m - 2) fine

27 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1. Questo è un poligono con m+1 vertici. 180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2] S = 180° x (m - 2) E’ fatto anche il secondo passo! fine

28 Allora l’assioma garantisce che la formula per la somma degli angoli interni S = 180° x (M - 2) vale per un poligono con un numero M qualsiasi di vertici 180° x (M - 2) ………………... fine


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