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A cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO.

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1 a cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE

2 Cosa sono i prodotti notevoli? Sono particolari prodotti o potenze di polinomi, che si sviluppano secondo formule facilmente memorizzabili. I più comuni sono: il quadrato di un binomio, la differenza di due quadrati, il quadrato di un trinomio, il cubo di un binomio

3 Quadrato di un binomio Si può presentare nelle due forme: (a+b) 2 e (a-b) 2

4 Sviluppo del quadrato di un binomio Applichiamo la regola della moltiplicazione di polinomi: (a+b) 2 = (a+b)· (a+b)= a 2 +ab+ba+b 2 = sommando i monomi simili, otteniamo =a 2 +2ab+b 2

5 Formula del quadrato di un binomio Senza effettuare ogni volta tutti i passaggi si può memorizzare la formula finale del quadrato di un binomio: (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

6 Quindi: Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine (a 2 ) più il quadrato del secondo (b 2 ) termine più il doppio prodotto dei due termini (+2ab). (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

7 Della formula del quadrato di un binomio si può dare anche una interpretazione geometrica: costruiamo un quadrato di lato a+b: la sua area vale A= (a+b)·(a+b)=(a+b) 2 a b

8 il quadrato è scomponibile nelle figure seguenti: un quadrato di area a 2 due rettangoli di area ab e un quadrato di area b 2 a2a2 ab b2b2 a2a2 b2b2

9 Anche dall’interpretazione geometrica si può quindi vedere che lo sviluppo di (a+b) 2 non è dato solo dalla somma dei due termini a 2 e b 2, ma anche dal doppio prodotto 2ab a2a2 ab b2b2

10 Cosa cambia per (a-b) 2 ? Nel caso di (a-b) 2 cambia solo il segno del doppio prodotto (-2ab), per cui otteniamo: (a-b) 2 = a 2 –2ab+b 2

11 Quadrato di un trinomio Un altro prodotto notevole è il quadrato di un trinomio: (a+b+c) 2

12 Per ottenere la formula del quadrato di un trinomio si applica la regola del prodotto di polinomi: (a+b+c) 2 = (a+b+c)(a+b+c)= = a 2 +ab+ac+ba+b 2 +bc+ca+cb+c 2 = semplificando i monomi simili si ottiene: = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc

13 Anche per la formula del quadrato del trinomio si può dare una giustificazione geometrica: costruiamo un quadrato di lato a+b+c e scomponiamolo come in figura: a2a2 ab b2b2 acbc ac bc c2c2 a b c

14 L’area del quadrato di lato a+b+c è pari a (a+b+c) 2 ma, come si vede dalla figura, è anche uguale alla somma delle aree dei quadrati e dei rettangoli in cui è stato scomposto e cioè a: (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc che è la formula del quadrato di un trinomio a2a2 ab b2b2 ac bc c2c2 ab ac

15 Differenza di quadrati Consideriamo il prodotto (a+b)(a-b) e applichiamo la regola del prodotto di polinomi: (a+b)(a-b)= a 2 -ab+ba-b 2 = semplifichiamo i due monomi simili: = a 2 -b 2

16 quindi la formula finale è: (a+b) (a-b) = a 2 -b 2 questa è la formula della differenza di due quadrati

17 Esempi: (2x+3y)(2x-3y)= 4x 2 -9y 2 (a 3 +5b 2 )(a 3 -5b 2 )=a 6 -25b 4 (x 2 y 3 +3)(x 2 y 3 -3)=x 4 y 6 -9

18 Cubo del binomio Un altro prodotto notevole che si incontra è il cubo del binomio: (a+b) 3 ovvero (a-b) 3

19 Consideriamo il cubo del binomio come prodotto del quadrato del binomio per il binomio stesso: (a+b) 3 = (a+b) 2 (a+b) applichiamo la formula del quadrato del binomio: (a+b) 2 (a+b)= (a 2 +2ab+b 2 )(a+b) applichiamo ora la regola del prodotto di polinomi: (a 2 +2ab+b 2 )(a+b)=a 3 +a 2 b+2a 2 b+2ab 2 +b 2 a+b 3 = e sommando i monomi simili (dello stesso colore) otteniamo: =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

20 Formula del cubo di un binomio Quindi lo sviluppo del cubo di un binomio è: (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 e analogamente: (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3


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