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2x − 3 = 9 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x + 5 = 6 (x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1 2x = 12 + x.

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1 2x − 3 = 9 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x + 5 = 6 (x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1 2x = 12 + x

2 “Se a un numero addizioniamo 5 e poi sottraiamo il numero stesso, otteniamo 5”. Questa frase può essere tradotta in un’uguaglianza. Infatti, se indichiamo con x il numero, possiamo scrivere: Questa uguaglianza è vera per qualsiasi valore attribuito alla lettera x, per esempio: x + 5 − x = 5 se x = 2 allora 2 + 5 − 2 = 5 5 = 5 se x = 0 allora 0 + 5 − 0 = 5 5 = 5 Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità. L’identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere che in essa figurano.

3 “Il doppio di un numero relativo addizionato al numero stesso dà come somma il triplo del numero.” In termini matematici:2x + x = 3x 3x = 3x Tale uguaglianza è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore venga attribuito alla lettera x. “Il triplo di un numero aumentato del suo doppio è uguale al quintuplo del numero.” Traduci questa frase in una espressione letterale:................... È una identità? …… L’uguaglianza (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore delle lettere a e b; per esempio: se a = 0 e b = 1 allora (0 + 1) 2 = 0 2 + 2 × 0 × 1 + 1 2, cioè 1 = 1; se a = 3 e b = 1 allora (3 + 1) 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2, cioè 16 = 16. 3x +2x = 5x5x = 5x è una identità

4 “Se a un numero naturale addizioniamo 5, otteniamo 6”. In termini matematici:x + 5 = 6 Tale uguaglianza è vera solo per un particolare valore attribuito alla lettera x, e cioè il valore 1. Infatti se x = 1 allora 1 + 5 = 6 6 = 6 (vero) Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione e la lettera x si dice incognita. Incognita vuol dire “non conosciuta”. Se invece, per esempio: x = 0 allora 0 + 5 = 6 5 = 6 (falso) x = 3 allora 3 + 5 = 6 8 = 6 (falso) Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita o alle incognite che in essa figurano.

5 Se a un numero relativo aggiungiamo 8, otteniamo 5. Qual è il numero? Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze indicano un’identità (I) e quali un’equazione (E). 2x + 3x = 5x......2x + 3x = 5...... 2x = 0...... 0 x = 0......(x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1...... Indicando con y il numero che non conosciamo (l’incognita), l’equazione che traduce il problema è: y + 8 = 5 L’uguaglianza è vera quando a y attribuiamo il valore −3. Infatti: −3 + 8 = 5 Troviamo quel numero relativo che, elevato al quadrato, dà 25. x 2 = 25 L’uguaglianza è vera quando a x attribuiamo due valori: 5 o −5. Infatti: (5) 2 = 25 e (−5) 2 = 25 I I E E E Indicando con x l’incognita, l’equazione è:

6 Nelle equazioni l’espressione scritta a sinistra dell’uguale si dice 1° membro; quella a destra 2° membro: 2x = 25 1° membro 2° membro 1° membro 1° membro 2° membro 2° membro y + 8 = 5 x 2 = 25 La lettera che compare nelle equazioni, ed esprime un valore numerico variabile, si dice incognita. Il numero che moltiplica l’incognita si dice coefficiente dell’incognita. I termini che non contengono incognite si dicono termini noti. Il valore che attribuito all’incognita rende vera l’uguaglianza, se esiste, si dice soluzione o radice dell’equazione. Un’equazione può avere più soluzioni o nessuna soluzione.

7 Risolvere un’equazione significa trovare le sue soluzioni. La soluzione di un’equazione si indica solitamente con una semplice uguaglianza tra l’incognita utilizzata e il valore trovato. 2x = 25 y + 8 = 5 x 2 = 25 a 2 = −36 y = − 3 nessuna soluzione x = 5 x = 2 25 Il grado di un’equazione a un’incognita è dato dall’esponente massimo con cui essa appare. Se l’incognita compare con l’esponente 1 si ha un’equazione di 1° grado a un’incognita → y = 2 Se l’incognita compare con l’esponente 2 si ha un’equazione di 2° grado a un’incognita → x 2 − 4 = 0

8 Avrai anche studiato le equazioni di Galileo (1564-1642) per il moto, che legano posizione e velocità di un corpo: Lo sviluppo del sapere scientifico è disseminato di equazioni famose. Sicuramente ti sarà capitato di leggere da qualche parte la celebre equazione di Albert Einstein (1879-1955), che lega l’energia alla massa: E = mc 2 Gli scienziati per descrivere ogni genere di situazione utilizzano spesso equazioni complicatissime. x = x 0 + v t + a t 2 1 2

9 x y = 24 è un’equazione di 2° grado perché il termine x y è un monomio di 2º grado; le incognite sono x e y e il termine noto è 24. I valori che rendono vera l’uguaglianza sono infinite coppie ordinate: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (6, 4), …….. Indica le incognite, i termini noti e il grado delle seguenti equazioni. 6x − 1 = 15 2 = 4 + 3a 3xy = 1 2x − 3 = 9 l’incognita è xi termini noti sono −3 e 9 è un’equazione di 1° grado L’uguaglianza è vera per x = 6. L’uguaglianza è vera per x = 5 e x = − 5. x 2 = 25 l’incognita è x il termine noto è 25 è un’equazione di 2° grado

10 L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica con S. 2x = 25 y + 8 = 5 x 2 = 25 a 2 = −36 Nel caso delle equazioni: S = {− 3} S = { + 5; −5 }S = 2 25 È sempre importante considerare l’insieme in cui si opera. Quando per un’equazione abbiamo S =, l’equazione si dice impossibile. Allora diciamo che l’equazione è impossibile. Infatti può accadere che: non esista alcun valore che verifichi l’equazione. il valore esista ma non sia accettabile perché non appartiene all’insieme di esistenza.

11 Troviamo quel numero intero relativo che è uguale a se stesso aumentato di 2. x = x + 2 x ∈ Z La frase che esprime il problema ci fa capire che non può esistere alcun numero che verifichi questa uguaglianza: quindi l’equazione è impossibile non solo in Z ma in un qualsiasi altro insieme numerico. Troviamo quel numero naturale il cui doppio è uguale a 25. 2x = 25 x ∈ N L’uguaglianza risulta vera quando a x attribuiamo il valore 2 25 infatti2 = 25 25 = 25 2 25 L’equazione è impossibile nell’insieme dei numeri naturali. in N □ x +1 = 3 □ 5x + 5 = 5 □ 3x = 5 in Q a □ 5 + x = 0 □ 5x = 9 □ 4x = 1 in R □ x 2 = 4 □ x 2 = −49 Tale valore però non è accettabile perché operiamo in N e 2 25 ∉N∉N Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono impossibili. x x x

12 Una equazione è una....................... fra due espressioni algebriche di cui........................ letterale, verificata solo per.......................... attribuiti alla lettera o alle lettere che in essa figurano. Completa le frasi scegliendo tra i termini particolari valori, almeno due, disuguaglianza, uguaglianza, almeno una, qualsiasi valore. Una identità è una............................ fra due espressioni algebriche di cui................................ letterale, verificata per.............................. attribuito alle lettere che in essa figurano. uguaglianza almeno una qualsiasi valore particolari valori uguaglianza almeno una

13 Verifica che l’uguaglianza x 2 − 2x + 1 = (1 − x) 2 è una identità attribuendo alla lettera x almeno quattro valori a piacere. Se x =...... allora........................ Se x =...... allora....................... Se x =...... allora........................ Considera l’equazione 4x + 3 = 13x − 2 e i suoi vari elementi. L’equazione assegnata è di primo o di secondo grado?.................. Come riconosci se è di primo o di secondo grado?.........................……………………………………………………. Scrivi: a) una equazione di primo grado con la sola incognita x:................... b) una equazione di primo grado con le incognite x e y:..................... c) una equazione di secondo grado con la sola incognita y:............... primo


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