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2x − 3 = 9 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x + 5 = 6 (x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1 2x = 12 + x.

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Presentazione sul tema: "2x − 3 = 9 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x + 5 = 6 (x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1 2x = 12 + x."— Transcript della presentazione:

1 2x − 3 = 9 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x + 5 = 6 (x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1 2x = 12 + x

2 “Se a un numero addizioniamo 5 e poi sottraiamo il numero stesso, otteniamo 5”. Questa frase può essere tradotta in un’uguaglianza. Infatti, se indichiamo con x il numero, possiamo scrivere: Questa uguaglianza è vera per qualsiasi valore attribuito alla lettera x, per esempio: x + 5 − x = 5 se x = 2 allora − 2 = 5 5 = 5 se x = 0 allora − 0 = 5 5 = 5 Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità. L’identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere che in essa figurano.

3 “Il doppio di un numero relativo addizionato al numero stesso dà come somma il triplo del numero.” In termini matematici:2x + x = 3x 3x = 3x Tale uguaglianza è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore venga attribuito alla lettera x. “Il triplo di un numero aumentato del suo doppio è uguale al quintuplo del numero.” Traduci questa frase in una espressione letterale: È una identità? …… L’uguaglianza (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore delle lettere a e b; per esempio: se a = 0 e b = 1 allora (0 + 1) 2 = × 0 × , cioè 1 = 1; se a = 3 e b = 1 allora (3 + 1) 2 = × 3 × , cioè 16 = 16. 3x +2x = 5x5x = 5x è una identità

4 “Se a un numero naturale addizioniamo 5, otteniamo 6”. In termini matematici:x + 5 = 6 Tale uguaglianza è vera solo per un particolare valore attribuito alla lettera x, e cioè il valore 1. Infatti se x = 1 allora = 6 6 = 6 (vero) Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione e la lettera x si dice incognita. Incognita vuol dire “non conosciuta”. Se invece, per esempio: x = 0 allora = 6 5 = 6 (falso) x = 3 allora = 6 8 = 6 (falso) Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita o alle incognite che in essa figurano.

5 Se a un numero relativo aggiungiamo 8, otteniamo 5. Qual è il numero? Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze indicano un’identità (I) e quali un’equazione (E). 2x + 3x = 5x x + 3x = x = x = (x − 1) 2 = x 2 + 2x Indicando con y il numero che non conosciamo (l’incognita), l’equazione che traduce il problema è: y + 8 = 5 L’uguaglianza è vera quando a y attribuiamo il valore −3. Infatti: −3 + 8 = 5 Troviamo quel numero relativo che, elevato al quadrato, dà 25. x 2 = 25 L’uguaglianza è vera quando a x attribuiamo due valori: 5 o −5. Infatti: (5) 2 = 25 e (−5) 2 = 25 I I E E E Indicando con x l’incognita, l’equazione è:

6 Nelle equazioni l’espressione scritta a sinistra dell’uguale si dice 1° membro; quella a destra 2° membro: 2x = 25 1° membro 2° membro 1° membro 1° membro 2° membro 2° membro y + 8 = 5 x 2 = 25 La lettera che compare nelle equazioni, ed esprime un valore numerico variabile, si dice incognita. Il numero che moltiplica l’incognita si dice coefficiente dell’incognita. I termini che non contengono incognite si dicono termini noti. Il valore che attribuito all’incognita rende vera l’uguaglianza, se esiste, si dice soluzione o radice dell’equazione. Un’equazione può avere più soluzioni o nessuna soluzione.

7 Risolvere un’equazione significa trovare le sue soluzioni. La soluzione di un’equazione si indica solitamente con una semplice uguaglianza tra l’incognita utilizzata e il valore trovato. 2x = 25 y + 8 = 5 x 2 = 25 a 2 = −36 y = − 3 nessuna soluzione x = 5 x = 2 25 Il grado di un’equazione a un’incognita è dato dall’esponente massimo con cui essa appare. Se l’incognita compare con l’esponente 1 si ha un’equazione di 1° grado a un’incognita → y = 2 Se l’incognita compare con l’esponente 2 si ha un’equazione di 2° grado a un’incognita → x 2 − 4 = 0

8 Avrai anche studiato le equazioni di Galileo ( ) per il moto, che legano posizione e velocità di un corpo: Lo sviluppo del sapere scientifico è disseminato di equazioni famose. Sicuramente ti sarà capitato di leggere da qualche parte la celebre equazione di Albert Einstein ( ), che lega l’energia alla massa: E = mc 2 Gli scienziati per descrivere ogni genere di situazione utilizzano spesso equazioni complicatissime. x = x 0 + v t + a t 2 1 2

9 x y = 24 è un’equazione di 2° grado perché il termine x y è un monomio di 2º grado; le incognite sono x e y e il termine noto è 24. I valori che rendono vera l’uguaglianza sono infinite coppie ordinate: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (6, 4), …….. Indica le incognite, i termini noti e il grado delle seguenti equazioni. 6x − 1 = 15 2 = 4 + 3a 3xy = 1 2x − 3 = 9 l’incognita è xi termini noti sono −3 e 9 è un’equazione di 1° grado L’uguaglianza è vera per x = 6. L’uguaglianza è vera per x = 5 e x = − 5. x 2 = 25 l’incognita è x il termine noto è 25 è un’equazione di 2° grado

10 L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica con S. 2x = 25 y + 8 = 5 x 2 = 25 a 2 = −36 Nel caso delle equazioni: S = {− 3} S = { + 5; −5 }S = 2 25 È sempre importante considerare l’insieme in cui si opera. Quando per un’equazione abbiamo S =, l’equazione si dice impossibile. Allora diciamo che l’equazione è impossibile. Infatti può accadere che: non esista alcun valore che verifichi l’equazione. il valore esista ma non sia accettabile perché non appartiene all’insieme di esistenza.

11 Troviamo quel numero intero relativo che è uguale a se stesso aumentato di 2. x = x + 2 x ∈ Z La frase che esprime il problema ci fa capire che non può esistere alcun numero che verifichi questa uguaglianza: quindi l’equazione è impossibile non solo in Z ma in un qualsiasi altro insieme numerico. Troviamo quel numero naturale il cui doppio è uguale a 25. 2x = 25 x ∈ N L’uguaglianza risulta vera quando a x attribuiamo il valore 2 25 infatti2 = = L’equazione è impossibile nell’insieme dei numeri naturali. in N □ x +1 = 3 □ 5x + 5 = 5 □ 3x = 5 in Q a □ 5 + x = 0 □ 5x = 9 □ 4x = 1 in R □ x 2 = 4 □ x 2 = −49 Tale valore però non è accettabile perché operiamo in N e 2 25 ∉N∉N Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono impossibili. x x x

12 Una equazione è una fra due espressioni algebriche di cui letterale, verificata solo per attribuiti alla lettera o alle lettere che in essa figurano. Completa le frasi scegliendo tra i termini particolari valori, almeno due, disuguaglianza, uguaglianza, almeno una, qualsiasi valore. Una identità è una fra due espressioni algebriche di cui letterale, verificata per attribuito alle lettere che in essa figurano. uguaglianza almeno una qualsiasi valore particolari valori uguaglianza almeno una

13 Verifica che l’uguaglianza x 2 − 2x + 1 = (1 − x) 2 è una identità attribuendo alla lettera x almeno quattro valori a piacere. Se x = allora Se x = allora Se x = allora Considera l’equazione 4x + 3 = 13x − 2 e i suoi vari elementi. L’equazione assegnata è di primo o di secondo grado? Come riconosci se è di primo o di secondo grado? ……………………………………………………. Scrivi: a) una equazione di primo grado con la sola incognita x: b) una equazione di primo grado con le incognite x e y: c) una equazione di secondo grado con la sola incognita y: primo


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