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Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio della frequenza.

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Presentazione sul tema: "Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio della frequenza."— Transcript della presentazione:

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2 Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio della frequenza

3 Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza Gli argomenti di questa lezione sono: –I diagrammi di BodeI diagrammi di Bode –La rappresentazione nel piano complessoLa rappresentazione nel piano complesso –Il diagramma polare (o di Nyquist)Il diagramma polare (o di Nyquist) â Le rappresentazioni grafiche

4 Le rappresentazioni grafiche â Non si entra, per ora, nel merito dell’uso delle rappresentazioni grafiche nello studio dei sistemi â Si cercherà, invece, di stabilire alcune regole di facile apprendimento per tracciare, nel più immediato dei modi ed almeno in prima approssimazione, due tipiche rappresentazioni grafiche per le funzioni di trasferimento: –i diagammi di Bode –il diagramma polare (o di Nyquist)

5 I diagrammi di Bode

6 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode â I diagrammi di Bode sono due diagrammi semilogaritmici  Nel primo diagramma di Bode si rappresenta il valore, in dB, del modulo (o ampiezza) di una funzione G(s) al variare di , posto s=j  â Nel secondo diagramma di Bode si rappresenta la fase della funzione G(s) â Si ricorda che la funzione G(s) è una funzione complessa con parte reale Re[G(s)] e coefficiente della parte immaginaria Im[G(s)]

7 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode â Cosa si intende per diagrammi semilogaritmici?  Sono diagrammi con assi ortogonali, come quelli cartesiani, nei quali, però, l’asse delle ascisse è graduato secondo il logaritmo (in base 10) della variabile indipendente (che qui è  ) â Ricordando che log 10 0 = -  log 10 1 = 0 log = 1 log = 2 e così via, si ha il diagramma che segue Precisazione: si noti che la funzione logaritmo non è, in effetti, definita per l’argomento 0; - , dunque, è in realtà il limite di tale funzione quando l’argomento tende a 0

8 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode â Poiché, come si è detto nella slide precedente, il logaritmo di 0 tende a - , naturalmente lo 0 in questo diagramma non può essere rappresentato!  [rad/s] La variabile sull’asse delle ascisse è la pulsazione  decade L’intervallo fra una “tacca” e l’altra, cioè ogni volta che log  aumenta di 1, si dice decade decade log 

9 â È noto che il modulo di G(s) può essere calcolato come: |G(s)| = Re[G(s)] 2 +Im[G(s)] 2 â Il suo valore in dB è, naturalmente: |G(s)| dB = 20 log |G(s)| â Si noti che –se |G(s)|=1  |G(s)| dB =0 –se |G(s)|>1  |G(s)| dB >0 –se |G(s)|<1  |G(s)| dB <0 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode : diagramma del modulo

10 |G(s)| dB La variabile sull’asse delle ordinate è il modulo, espresso in dB, |G(s)| dB  [rad/s]

11 â La fase di G(s) può essere calcolata come:  = tan -1 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode : diagramma della fase Im[G(s)] Re[G(s)] â La fase può essere espressa in gradi o in radianti â Si ricordi che 0° = 0 [rad] 90° =  /2 [rad] 180° =  [rad]

12 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: diagramma della fase   /4  /2 3  /4  -- -3  /4 -  /2 -  /4 La variabile sull’asse delle ordinate è la fase  45° 90° 135° 180° -  -135° -  -   [rad/s] [rad][°]

13 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode â Per imparare le regole per la costruzione di un diagramma di Bode si partirà dall’illustrazione di alcuni esempi classici dai quali dedurre le regole fondamentali â Illustreremo di seguito la rappresentazione delle seguenti funzioni: –G(s) = k(k=costante reale positiva) –G(s) = s –G(s) = ks –G(s) = 1/s –G(s) = 1+  s –G(s) = 1/(1+  s)

14 La funzione G(s)=k

15 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k  Posto s=j , possiamo senz’altro dire che il valore in dB del modulo della funzione G(j  ) è |G(j  )| dB = 20log | k | â Tale valore è –0 se k=1 –positivo se k>1 –negativo se k<1 â La G(s) ha in questo caso parte reale Re[G(s)]=k e coefficiente della parte immaginaria nulla per cui  = tan -1 0 = 0

16 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k: diagramma del modulo |G(j  )| dB  [rad/s] k=1  |G(j  )| dB = 0 per ogni valore di  k>1  |G(j  )| dB > 0 per ogni valore di  k<1  |G(j  )| dB < 0 per ogni valore di 

17 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=k: diagramma della fase  [rad]  /4  /2 3  /4  -- -3  /4 -  /2 -  /4  [rad/s]  = 0° per ogni valore di 

18 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=k Riepilogando â La funzione G(s)=k (costante reale positiva) ha un modulo in dB costante e pari a 20logk  Tale funzione non introduce alcuno sfasamento, cioè la sua fase è costantemente nulla al variare della pulsazione 

19 La funzione G(s)=s

20 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=s  Posto s=j , si calcola facilmente che il valore in dB del modulo della funzione G(j  ) è |G(j  )| dB = 20 log  â Tale valore è –0 quando  =1 –cresce linearmente di 20 dB ogni volta che log  aumenta di 1, cioè per ogni decade  La G(s) ha in questo caso parte reale nulla e coef- ficiente della parte immaginaria Im[G(s)]=  per cui  = arctg (  /0) = 90° =  /2

21 |G(j  )| dB vale 0 quando  = 1 ed aumenta di 20 dB Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=s: diagramma del modulo |G(j  )| dB  [rad/s] per ogni decade

22  = 90° per ogni valore di  Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=s: diagramma della fase  [rad]  /4  /2 3  /4  -- -3  /4 -  /2 -  /4  [rad/s]

23 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=s Riepilogando â La funzione G(s)=s ha uno zero nell’origine (cioè per s=0 si ha G(s)=0)  Tale funzione G(s)=s ha un modulo in dB che si annulla per  =1 e che cresce di 20 dB per decade  Inoltre essa introduce uno sfasamento, costante al variare di , di 90°

24 La funzione G(s)=ks

25 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=ks  Posto s=j , il valore in dB del modulo della funzione G(j  ), per le proprietà dei logaritmi, si calcola facendo la somma dei logaritmi di k ed  |G(j  )| dB = 20 log( | k |  ) = 20log | k | + 20log  â Come si vede, è la somma delle funzioni viste in precedenza; il grafico del modulo risulta quindi uguale al grafico della funzione G(s)=s traslato verticalmente del valore di 20 log | k |  Il diagramma della fase è identico a quello della G(s)=s in quanto la parte reale di G(s)=ks è nulla  = arctg (k  /0) = 90° =  /2

26 + diagramma di G(s)=k Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=ks: diagramma del modulo |G(j  )| dB  [rad/s] Diagramma di G(s)=s = diagramma di G(s)=ks

27  = 90° per ogni valore di  Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=ks: diagramma della fase  [rad]  /4  /2 3  /4  -- -3  /4 -  /2 -  /4  [rad/s]

28 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=ks â Da quanto visto sulle rappresentazioni di tale funzione è possibile ricavare una regola generale â Il prodotto di una costante k (reale e positiva) su una funzione G(s) incide sui diagrammi di Bode nel seguente modo: â Il diagramma del modulo risulta traslato verticalmente del valore 20log|k| â Il diagramma della fase rimane invariato

29 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=ks â Annotazione: la regola enunciata corrisponde al fatto che il modulo del prodotto di due numeri complessi è pari al prodotto dei moduli, mentre la fase di tale prodotto è pari alla somma delle fasi â Il numero reale k ha modulo |k| ed ha fase nulla  Quindi, nel modulo in dB, per la proprietà dei logaritmi, il valore 20log|k| si somma a 20log  â Inoltre, visto che k ha fase nulla, la fase di G(s)=ks è uguale a quella di s, cioè sempre 90°

30 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=ks â Sul diagramma del modulo si deve fare un’altra fondamentale considerazione â Il modulo in dB, assume valore 0 quando |G(s)| dB =20(log|k|+log  )=0 e quindi, con qualche passaggio algebrico, quando log  =-log|k|  log  =log|k| -1   =|k| -1   =1/|k| â Il numero reale 1/|k| è dunque l’intersezione con l’asse delle ascisse della curva del modulo in dB della funzione G(s)=ks

31 Intersezione = 1/|k| Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=ks: diagramma del modulo |G(j  )| dB  [rad/s] Diagramma di G(s)=ks 1/|k|

32 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=ks Riepilogando â La funzione G(s)=ks ha uno zero nell’origine (cioè per s=0 si ha G(s)=0)  Tale funzione ha un modulo in dB che si annulla per  =1/|k| e che cresce di 20 dB per decade â Il suo modulo in dB può comunque essere sempre calcolato come somma del modulo in dB della funzione k e del modulo in dB della funzione s  Inoltre la funzione G(s)=ks introduce uno sfasamento, costante al variare di , di 90°

33 La funzione G(s)=1/s

34 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s  Posto s=j , il valore in dB del modulo della funzione G(j  ), per le proprietà dei logaritmi, si calcola mediante la differenza |G(j  )| dB =20log(1/  )=20(log1-log  )=-20log  â Poiché la funzione G(s)=1/s ha un modulo in dB che è pari a quello della funzione G(s)=s col segno cambiato, il suo diagramma del modulo risulta ribaltato verticalmente rispetto a quello di G(s)=s  Quanto alla fase, ricordando che la divisione di due numeri complessi ha fase pari alla differenza delle fasi, essa sarà  =  (1)-  (s) = 0°-90° = -90° = -  /2

35 Diagramma di G(s)=1/s Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/s: diagramma del modulo |G(j  )| dB  [rad/s] Diagramma di G(s)=s

36 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/s: diagramma della fase  [rad]  /4  /2 3  /4  -- -3  /4 -  /2 -  /4  [rad/s]  = -90° per ogni valore di 

37 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s Esercizio Tracciare i diagrammi di Bode della funzione G(s)=k/s Suggerimento: si noti che tale funzione è il prodotto di k e di 1/s

38 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/s Riepilogando â La funzione G(s)=1/s ha un polo nell’origine (cioè per s=0, G(s) ha una singolarità)  Tale funzione ha un modulo in dB che si annulla per  =1 e che decresce di 20 dB per decade â Il suo modulo in dB può comunque essere calcolato sempre come differenza del modulo in dB della funzione 1 (che è pari a 0) e del modulo in dB della funzione s  Inoltre la funzione G(s)=1/s introduce uno sfasamento, costante al variare di , di -90°

39 La funzione G(s)=1+  s

40 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s  Posto s=j , il modulo di G(s) è dato da |G(j  )| = 1 2 +(  ) 2 â Tale valore è –praticamente pari ad 1 quando  << 1 –praticamente pari a  quando  >>1 â Il diagramma del modulo, quindi, assume –l’andamento della funzione G(s)=1 per valori di  prossimi a 0 –l’andamento della funzione G(s)=  s per valori di  molto grandi  Questi andamenti sono asintotici per G(s)=1+  s

41 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s  Inoltre, come si è già visto, il diagramma del modulo della funzione G(s)=  s interseca l’asse delle ascisse nel punto  =1/|  |  Ma si può notare anche che il valore s=-1/  annulla la funzione G(s); esso è quindi uno zero della funzione G(s)  Si può allora trarre la conclusione che l’asintoto di G(s)=1+  s, quando  è molto grande, è proprio la retta che passa per il punto  =1/|  |, valore che è proprio il valore assoluto dello zero di G(s), e cresce di 20 dB per decade

42 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+  s: diagramma del modulo |G(j  )| dB  [rad/s] Diagramma di G(s)=1 asintoto per  molto piccolo Diagramma di G(s)=   s asintoto per  molto grande Diagramma asintotico risultante di G(s)=1+  s 1/|  |

43 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s â Annotazione: più volte è stata usata l’espressione diagramma asintotico;  tale espressione significa che il diagramma costruito è solo un’approssimazione dell’andamento effettivo della funzione G(s)=1+  s

44 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s Esercizio  Calcolare lo scostamento del diagramma reale della funzione G(s)=1+  s rispetto al diagramma asintotico nel punto  =1/|  |

45 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s Soluzione  Per  =1/|  |, G(j  )=1+j   =1±j  In tal caso, il modulo di G(j  )=1±j è pari alla radice di 2 cioè |G(j  )|=1,4142 â Il valore in dB è dunque |G(j  )| dB = 20log1,4142 = 3 dB  Poiché nel punto  =1/|  |  il modulo rappresentato nel diagramma asintotico assume il valore 0 dB, lo scostamento richiesto è proprio pari a 3 dB

46 Diagramma asintotico G(s)=1+  s Andamento effettivo di G(s) Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+  s: soluzione esercizio |G(j  )| dB  [rad/s] 1/|  | 3 dB

47 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s  Per quanto riguarda la fase, si nota che quando  è molto piccolo, il rapporto Im[G(s)]/Re[G(s)] diventa praticamente nullo  La fase, per  molto piccolo, è quindi  = arctg {Im[G(s)]/Re[G(s)]}  0  Per un valore molto grande di , viceversa, il rapporto Im[G(s)]/Re[G(s)] diventa praticamente +  e quindi  = arctg {Im[G(s)]/Re[G(s)]}  90° =  /2

48 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s  I diagrammi di fase visti per G(s)=1 e per G(s)=  s sono quindi gli asintoti del diagramma della fase della funzione G(s)=1+  s, rispettivamente per  molto piccolo e per  molto grande  Si può notare inoltre che quando  =1/|  |, come si è visto dal precedente esercizio, G(s)=1+j e quindi la fase risulta  = arctg 1 = 45° =  /4  Il diagramma della fase della funzione G(s)=1+  s passa quindi per il punto individuato dalle coordinate  =1/  e  =  /4

49 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s â Per completare il diagramma asintotico della fase, senza aggiungere ulteriori spiegazioni, che sono un po’ più complesse, si deve chiarire che il passaggio da un asintoto all’altro avviene quasi totalmente nell’arco di due decadi, la decade a sinistra dello zero e la decade a destra dello zero

50 1/|  | Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1+  s: diagramma della fase  [rad]  /4  /2 3  /4  -- -3  /4 -  /2 -  /4  [rad/s] Diagramma asintotico della fase completo Il diagramma passa per questo punto decade prima decade dopo Asintoto obliquo Asintoto per  molto piccolo Asintoto per  molto grande

51 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s Riepilogando  La funzione G(s)=1+  s ha uno zero per s=-1/   Tale funzione ha un modulo in dB sempre crescente con  â Si può tracciare un diagramma asintotico del modulo che è: –pari a 0 per  <1/|  | –aumenta di 20 dB per decade per  >1/|  |

52 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1+  s Riepilogando  Inoltre la funzione G(s)=1+  s introduce uno sfasamento cresente al variare di  â Si può tracciare un diagramma asintotico della fase che è: –pari a 0° per  <1/|  |  - una decade –aumenta di 45° per ciascuna delle due decadi successive (  compreso fra 1/|  |  - una decade e 1/|  |  + una decade) –pari a 90° per  >1/|  |  + una decade

53 La funzione G(s)=1/(1+  s)

54 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+  s)  Questa funzione si comporta nei confronti della funzione G(s)=1+  s come la funzione G(s)=1/s si comportava nei confronti della funzione G(s)=s  Il diagramma asintotico del modulo è quindi come quello della funzione G(s)=1+  s ribaltato in senso verticale  Il valore s=-1/  annulla il denominatore della funzione G(s) ed è quindi un polo (non uno zero)  Anche in questo caso, il punto  =1/|  | è l’intersezione fra l’asse delle ascisse e l’asintoto per  molto grande

55 Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/(1+  s): diagramma del modulo |G(j  )| dB  [rad/s] 1/  Diagramma asintotico di G(s)=1+  s Diagramma asintotico di G(s)=1/(1+  s)

56 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+  s)  Per quanto riguarda la fase, notiamo che per la proprietà già ricordata sulla fase del quoziente di due numeri complessi, la fase di G(s) è pari alla fase di 1, che vale 0, meno la fase di (1+  s), di cui è già noto il diagramma asintotico di fase  Il diagramma asintotico di fase di G(s) risulta quindi dal ribaltamento in verticale del diagramma asintotico di fase visto prima per la funzione (1+  s)

57 1/  Le rappresentazioni grafiche La funzione G(s)=1/(1+  s): diagramma della fase  [rad]  /4  /2 3  /4  -- -3  /4 -  /2 -  /4  [rad/s] Diagramma asintotico di fase di (1+  s) Diagramma asintotico di fase di G(s)

58 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+  s) Esercizio  Tracciare i diagrammi di Bode della funzione G(s)=k/(1+  s)

59 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)=1/(1+  s) Riepilogando  La funzione G(s)=1/(1+  s) ha un polo per s=-1/   Tale funzione ha un modulo in dB sempre decrescente con  â Si può tracciare un diagramma asintotico del modulo che è: –pari a 0 per  <1/|  | –diminuisce di 20 dB per decade per  >1/|  |

60 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: la funzione G(s)= 1/(1+  s) Riepilogando  Inoltre la funzione G(s)=1/(1+  s) introduce uno sfasamento decresente al variare di  â Si può tracciare un diagramma asintotico della fase che è: –pari a 0° per  <1/|  |  - una decade –diminuisce di 45° per ciascuna delle due decadi successive (  compreso fra 1/|  |  - una decade e 1/|  |  + una decade) –pari a -90° per  >1/|  |  + una decade

61 Il prodotto di funzioni

62 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni â Si consideri il caso di una funzione di trasferimento F(s) che sia genericamente il prodotto di due o più funzioni come quelle degli esempi visti  Per semplicità si fissi F(s)=A(s)B(s) con A(s)=1+  1 s e B(s)= 1+  2 s e  1 >  2  I valori s=-1/  1 ed s=-1/  2 annullano la F(s) e sono quindi zeri di F(s)  Per le solite proprietà dei logaritmi, il modulo in dB, di F(s), posto s=j , è |F(s)| dB = 20log(|1+j  1 ||1+j  2 |) = =20log|1+j  1 |+20log|1+j  2 |=|A(s)| dB +|B(s)| dB

63 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni â Si conoscono già gli andamenti dei diagrammi asintotici del modulo di A(s) e B(s), per cui basta fare una somma grafica dei due diagrammi â Nel fare questa somma si vede che i tratti in pendenza danno luogo ad un assommarsi delle pendenze â Succede allora che il diagramma asintotico del modulo di F(s) è –nullo per  <1/|  1 | –ha una pendenza di +20 dB per decade fino a 1/|  2 | –ha una pendenza di +40 dB per decade per  >1/|  2 |

64 Diagramma asintotico di B(s)=1+   s Diagramma asintotico di A(s)=(1+   s) Le rappresentazioni grafiche Il prodotto di funzioni: diagramma del modulo |F(j  )| dB  [rad/s] 1/   1/   |F(s)| dB =0 Pendenza 20 dB per decade Pendenza 40 dB per decade Diagramma asintotico di F(s)=A(s)B(s)

65 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni â Per quanto riguarda la fase, si ricordi che la fase di un prodotto complesso è uguale alla somma delle fasi dei fattori; quindi, anche in questo caso, si può fare una somma grafica dei diagrammi asintotici della fase di A(s) e di B(s) â Valgono le considerazioni già dette sui tratti in pendenza

66 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni Esercizio  Tracciare il diagramma di Bode della fase della funzione F(s) = A(s)B(s) = (1+  1 s)(1+  2 s)

67 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il prodotto di funzioni Riepilogando â Nel fare un prodotto di due funzioni il diagramma asintotico del modulo si può ricavare facendo una somma grafica dei diagrammi asintotici dei moduli delle singole funzioni â Anche il diagramma asintotico della fase può ottenersi come somma grafica dei diagrammi asintotici delle fasi delle singole funzioni

68 Il rapporto di funzioni

69 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni â Si consideri, infine, il caso di una F(s) che sia il rapporto di due funzioni come quelle viste finora  Per semplicità si fissi F(s)=A(s)/B(s) con A(s)=1+  1 s e B(s)= 1+  2 s e  1 >  2  s=-1/  1 annulla la A(s) ed è quindi uno zero di F(s)  s=-1/  2 annulla la B(s) ed è quindi un polo di F(s)  Per le solite proprietà dei logaritmi, il modulo in dB, di F(s), posto s=j , è |F(s)| dB = 20log(|1+j  1 |/|1+j  2 |) = =20log|1+j  1 |-20log|1+j  2 |=|A(s)| dB -|B(s)| dB

70 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni â Si conoscono già gli andamenti dei diagrammi asintotici del modulo di A(s) e B(s), per cui basta fare una differenza grafica dei due diagrammi â Nel fare questa differenza si vede che i tratti in pendenza danno luogo ad una compensazione delle pendenze â Succede allora che il diagramma asintotico del modulo di F(s) è –nullo per  <1/|  1 | –ha una pendenza di 20 dB per decade fino a 1/|  2 | –ha una pendenza nulla per  >1/|  2 |

71 Diagramma asintotico di B(s)=1+   s Diagramma asintotico di A(s)=(1+   s) Le rappresentazioni grafiche Il rapporto di funzioni: diagramma del modulo |F(j  )| dB  [rad/s] 1/   1/   |F(s)| dB =0 Pendenza 20 dB per decade Pendenza di nuovo nulla Diagramma asintotico di F(s)=A(s)/B(s)

72 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Esercizio  Cosa succederebbe nel diagramma di Bode appena visto nel caso in cui  2 >  1 ?

73 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni â Per quanto riguarda la fase, si ricordi che la fase di un rapporto complesso è uguale alla differenza delle fasi del numeratore e del denominatore; quindi, anche in questo caso, si può fare una differenza grafica dei diagrammi asintotici della fase di A(s) e di B(s) â Valgono le considerazioni già dette sui tratti in pendenza

74 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Esercizio  Tracciare il diagramma di Bode della fase della funzione F(s) = A(s)/B(s) = (1+  1 s)/(1+  2 s) nel caso  1 >  2 e nel caso opposto  2 >  1

75 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: il rapporto di funzioni Riepilogando â Nel fare un rapporto di due funzioni il diagramma asintotico del modulo si può ricavare facendo una differenza grafica dei diagrammi asintotici dei moduli delle singole funzioni â Anche il diagramma asintotico della fase può ottenersi come differenza grafica dei diagrammi asintotici delle fasi delle singole funzioni

76 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: conclusioni â Concludendo è possibile fare le seguenti considerazioni: –grazie alle proprietà dei logaritmi nei diagrammi di Bode del modulo si può operare con somme e differenze grafiche; –da ciò consegue che ogni volta che si raggiunge uno zero la pendenza del diagramma asintotico aumenta di 20 dB per decade –ed ogni volta che si raggiunge un polo la pendenza decresce di 20 dB per decade

77 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: conclusioni  Il valore iniziale del modulo in dB è il cosiddetto guadagno statico della G(s) e si può calcolare imponendo  =0  La rappresentazione del guadagno statico nel diagramma di Bode del modulo è impossibile in quanto se  =0, log  non è definito  -  )  Tale valore è però utilissimo in quanto ci permette di individuare l’andamento asintotico del modulo per  tendente a 0  Le stesse considerazioni valgono per   + 

78 Le rappresentazioni grafiche I diagrammi di Bode: conclusioni â Considerazioni del tutto simili a quelle fatte per il diagramma di Bode del modulo, possono essere fatte per il diagramma di Bode della fase grazie al fatto che in un prodotto di numeri complessi le fasi si sommano mentre in un rapporto di numeri complessi si fa la differenza delle fasi del numeratore e del denominatore


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