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1 Lez. 3 - Gli Indici di VARIABILITA’ - Campo di variazione -Scarto dalla media -Varianza -Scarto quadratico medio -Coefficiente di variazione Elementi.

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1 1 Lez. 3 - Gli Indici di VARIABILITA’ - Campo di variazione -Scarto dalla media -Varianza -Scarto quadratico medio -Coefficiente di variazione Elementi di Statistica descrittiva

2 2 Indici di Variabilità I valori medi sono indici importanti per la descrizione sintetica di un fenomeno statistico Hanno però il limite di non darci alcuna informazione sulla distribuzione dei dati

3 3 Esempio In tre differenti prove di matematica 4 studenti hanno riportato le seguenti valutazioni In tutte e tre le prove la media è 6,25 ma i dati sono chiaramente distribuiti in modo diverso

4 4 Diagramma di distribuzione delle tre prove

5 5 nel caso della 1 a prova e 2 a prova sarà opportuno fare un recupero per alcuni studenti nel caso della 3 a prova l’insegnante può ritenere che gli obiettivi siano stati raggiunti dalla classe, anche se ad un livello solo sufficiente

6 6 Campo di variazione (Range) Scarto medio dalla media Varianza e scarto quadratico medio Coefficiente di variazione In statistica è possibile valutare in modo sintetico la distribuzione dei dati mediante gli indici di variabilità (o dispersione) Vedremo i seguenti indici

7 7 Campo variazione = x max – x min Campo di variazione E’ il più semplice degli indici di variazione: Si calcola facendo la differenza tra il dato più grande e il dato più piccolo Rappresenta l’ampiezza dell’intervallo dei dati

8 8 Esempio Consideriamo le valutazioni della prima prova Xmax = 9; Xmin = 3 Range = 9 – 3 = 6

9 9 Calcoliamo il Range per tutte le tre prove Range 1 a prova = 6  dati più dispersi, risultati più eterogenei Range 3 a prova = 1  dati più concentrati, risultati più omogenei Range 2 a prova = Range 1 a prova = 6 Stessa Distribuzione?

10 10 Vediamo graficamente

11 11 Osservazioni: 1. Il campo di variazione dà informazioni sulla distribuzione dei dati: più R è piccolo più i dati sono concentrati; più R è grande più i dati sono dispersi. 2. R è espresso nella stessa unità di misura dei dati 3. Tuttavia R tiene conto solo dei dati estremi della distribuzione e non di tutti i dati, pertanto distribuzioni diverse ma con gli stessi valori estremi hanno range uguali Es. Range 1 a prova = Range 2 a prova. ma distribuzione 1 a prova  Distribuzione 2 a prova

12 12 Scarto semplice medio Un altro modo per calcolare la variabilità dei dati (tenendo conto di tutti i dati) consiste nel calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distanze Scarto medio = Distanza media dei dati dalla media

13 13 Esempio Consideriamo le valutazioni della prima prova  x 1  =  3 – 6,25  = 3,25;  x 2  =  5 – 6,25  = 1,25;  x 3  =  8 – 6,25  = 1,75;  x 4  =  9 – 6,25  = 2,75; Sm = 3,25 + 1,25 + 1,75 + 2,75 = 2,25 4

14 14 Calcoliamo lo Scarto medio per tutte le tre prove Scarto 1 a prova = 2,25  dati più dispersi, risultati più eterogenei Scarto 3 a prova = 0,38  dati più concentrati, risultati più omogenei Scarto 2 a pr.  Scarto 1 a pr. “Le Distribuzioni Differiscono”

15 15 Diagramma degli scarti dalla media

16 16 Osservazioni: 1. Lo scarto semplice medio dalla media dà informazioni sulla distribuzione dei dati: più S M è piccolo più i dati sono concentrati; più S M è grande più i dati sono dispersi. 2. S M è espresso nella stessa unità di misura dei dati 3. Non ha l'inconveniente del “Campo di variazione” in quanto S M tiene conto di tutti i dati della distribuzione

17 17 Varianza e Scarto quadratico medio Sono gli indici di variabilità più utilizzati, e tengono conto della distribuzione di tutti i dati. Varianza Rappresenta la media aritmetica dei quadrati delle distanze dei dati dalla media M

18 18

19 19 Esempio - Varianza Consideriamo le valutazioni della prima prova (  x 1 ) 2 = (3 – 6,25 ) 2 = 10,5625; (  x 2 ) 2 = (5 – 6,25 ) 2 = 1,5625; (  x 3 ) 2 = (8 – 6,25 ) 2 = 3,0625; (  x 4 ) 2 = (9 – 6,25 ) 2 = 7,5625;  2 = 10,5625+1,5625+3,0625+7,5625 = 5,6875 4

20 20 Calcoliamo la Varianza per tutte le tre prove Varianza 1 a prova = 5,69  dati più dispersi, risultati più eterogenei Varianza 3 a prova = 0,19  dati più concentrati, risultati più omogenei Varianza 2 a pr.  Varianza 1 a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

21 21 Scarto quadratico medio o Deviazione standard È uguale alla radice quadrata della varianza

22 22 Esempio - Scarto quadratico medio Riprendiamo le valutazioni della prima prova

23 23 Calcoliamo lo Scarto quadratico medio per tutte le prove Scarto q. 1 a prova = 2,38  dati più dispersi, risultati più eterogenei Scarto q. 3 a prova = 0,43  dati più concentrati, risultati più omogenei Scarto q. 2 a pr.  Scarto q. 1 a pr “Le Distribuzioni Differiscono”

24 24 Osservazioni: 1. La varianza  2 e lo scarto quadratico medio  danno informazioni sulla distribuzione dei dati: più  2 e  sono piccoli più i dati sono concentrati; più  2 e  sono grandi più i dati sono dispersi. 2. Entrambi gli indici tengono conto di tutti i dati della distribuzione

25 25 3. Entrambi si basano sulla proprietà della media per cui la somma dei quadrati degli scarti dalla media è minima 4. La varianza è espressa mediante il quadrato dell’unità di misura dei dati 5. Lo scarto quadratico nella stessa unità di misura dei dati e pertanto viene preferito alla varianza


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