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CALCOLO COMBINATORIO.  Che cos’è il calcolo combinatorio? Che cos’è il calcolo combinatorio?  Concetto di raggruppamenti sempliciraggruppamenti semplici.

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Presentazione sul tema: "CALCOLO COMBINATORIO.  Che cos’è il calcolo combinatorio? Che cos’è il calcolo combinatorio?  Concetto di raggruppamenti sempliciraggruppamenti semplici."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO COMBINATORIO

2  Che cos’è il calcolo combinatorio? Che cos’è il calcolo combinatorio?  Concetto di raggruppamenti sempliciraggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizioneraggruppamenti con ripetizione  Disposizioni Disposizioni  Permutazioni Permutazioni  Combinazioni Combinazioni

3 PROBLEMI 1. In quanti modi diversi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici si possono sedere su 4 poltrone libere di un cinema? 2. Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6? 3. Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? 4. Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? 5. In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse?

4 Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti diversi che si possono comporre prendendo una determinata quantità di elementi in un assegnato insieme, in modo che siano rispettate determinate regole. CHE COS’E’?

5 I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE:  SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi  CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti sono presenti una o più volte

6 ESEMPIO 1 Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ab ac bc

7 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: aa ab ac bb bc cc ESEMPIO 2 Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi possono ripetersi

8 I DIVERSI TIPI DI RAGGRUPPAMENTI DISPOSIZIONI: si tiene conto dell’ordine degli elementi COMBINAZIONI: non si tiene conto dell’ordine degli elementi

9 COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?

10 Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono sedersi su 4 poltrone libere di un cinema?

11 9876 9x8x7x6 = 3024 … wow!

12 Il numero di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è D n,k = n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k (cioè il prodotto di k numeri naturali consecutivi, in ordine decrescente, a partire da n)

13 il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è

14 D’ n,k = n k

15 CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?

16 PERMUTAZIONI SEMPLICI ESEMPIO : COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA «APE» P E A P E A E P A E P A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A

17 Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine P n = D n,n P n = n!

18 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE: n se tra gli n oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro e β uguali tra loro, il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta: P n (α, β ) = n! α! * β!

19 COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?

20 Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? La situazione è simile a quella del problema degli amici al cinema, ma stavolta l’ordine non conta, quindi bisogna dividere le disposizioni di 90 oggetti presi 3 per volta per il numero delle permutazioni di tre oggetti

21 Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?

22 Il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è C n,k = D n,k / k! = ( ) n k

23 n(n+1)….. (n+k-1) k ! Il numero delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è C’ n,k = (cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso per k! ) n(n+1)….. (n+k-1) k !


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