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Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" DERIVATE DI UNA FUNZIONE 1.Concetti introduttivi 2.Definizione di derivata 3.Derivata destra, sinistra 4.Significato.

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1 Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" DERIVATE DI UNA FUNZIONE 1.Concetti introduttivi 2.Definizione di derivata 3.Derivata destra, sinistra 4.Significato geometrico Prerequisiti : Limiti ITC “Da Vinci”

2 Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" CONCETTI INTRODUTTIVI La derivata di una funzione in un punto x 0, che indicheremo col simbolo f’(x 0 ), è un numero che misura la variazione della f(x) in un intorno del punto, ovvero la “rapidità” con cui cresce o decresce la f(x) in un intorno di x 0. La derivata risulta quindi essere legata alla pendenza del grafico della funzione in un intorno di x 0 : f(x) O x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x ++ -- f ’(x). f ’(x 0 ) = 2.. f ’(x 2 ) = 0. f ’(x 3 ) = -1. f ’(x 4 ) = -2. f ’(x 5 ) = 0. f ’(x 6 ) = 4. f ’(x 1 ) = 1 DERIVATE 1/6

3 Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO O x y f(x 0 ) f(x 0 +h)  x = h ff Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo ] a, b [ Sia x 0 un punto interno ad ] a, b [ e sia x 0 + h il punto ottenuto aggiungendo ad x 0 la quantità h Indicheremo con i simboli  f e  x le seguenti differenze:  f = f(x 0 +h) – f(x 0 )  x = x 0 +h – x 0 = h Chiameremo infine rapporto incrementale relativo al punto x 0 e all’incremento h il seguente rapporto: e le chiameremo rispettivamente incremento della funzione (  f ) e incremento della variabile (  x = h) ab. x0x0. x 0 +h DERIVATE 2/6

4 Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" Definizione: funzione derivabile in un punto – derivata in un punto Una funzione si dice derivabile in un punto x 0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della funzione quando l’incremento h della variabile tende a zero, cioè se esiste ed è finito il seguente limite: Il risultato del precedente limite lo diremo derivata della f(x) nel punto x 0 e lo indicheremo con uno qualunque dei simboli: f ’ (x 0 ) y ’ (x 0 ) Se il precedente limite non esiste, oppure non dà come risultato un numero finito, allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x 0 derivata in simboli: DERIVATE 3/6

5 Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" DERIVATA DESTRA E DERIVATA SINISTRA Certe volte, pur non esistendo il limite per h  0 del rapporto incrementale, possono esistere finiti il limite destro e/o il limite sinistro: Allora possiamo dare la seguente: Definizione: derivata destra e derivata sinistra Diremo derivata destra e derivata sinistra di f(x) in x 0, e le indicheremo con i simboli e i risultati, se esistono e sono finiti, dei seguenti limiti: Osservazione: Quando una funzione è derivabile in x 0 nel senso della definizione ordinaria allora esistono anche la derivata destra e quella sinistra e sono uguali fra loro DERIVATE 4/6

6 Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA O x 1 x 2 x y Promemoria: Il coefficiente angolare di una retta passante per i due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) è : y1y1 y2y2.. P1P1 P2P2 Data una funzione f(x), il rapporto incrementale relativo al punto x 0 : y f(x 0 ) f(x 0 +h).. O x 0 x 0 +h x risulta essere il coefficiente angolare della retta passante per i punti: Questa retta la chiameremo retta secante passante per il punto di ascissa x 0 retta secante DERIVATE 5/6

7 Prof Riccardi Agostino - ITC "Da Vinci" O x y f(x 0 ) x0x0. h. h. h f(x 0 +h) x 0 +h. h Quando h  0 accade che: 2. la retta secante tende l l alla retta tangente 1. il rapporto incrementale t tende alla derivata, infatti: Quindi: La derivata di una funzione in un punto x 0 è uguale al coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x 0 Osservazione: Ricordando che l’equazione della retta passante per un punto è y – y 0 = m (x – x 0 ) allora l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x 0 è: y – f(x 0 ) = f ’ (x 0 )  ( x – x 0 ) retta tangente DERIVATE 6/6.


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