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In matematica si chiama PROPOSIZIONE o ENUNCIATO ogni espressione linguistica per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o falsa.in.

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5 In matematica si chiama PROPOSIZIONE o ENUNCIATO ogni espressione linguistica per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o falsa.in altre parole una proposizione è una frase alla quale ha senso associare uno dei due valori di verità: vero o falso. ESEMPI: la luna è un satellite; V Parigi è la capitale della Spagna; F Sandro è simpatico; NON E’ UNA PROPOSIZIONE

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7 La particella “e “ quando viene usata nel linguaggio ordinario con il significato i “e,contemporaneamente”, corrisponde in logica al connettivo congiunzione (^) DEFINIZIONE:si definisce congiunzione di due proposizioni p e q,e si indica con p^q ( si legge “p e q”), la proposizione che è vera se p e q sono vere contemporaneamente, mentre è falsa in ogni altro caso. pqp^q VVFFVVFF VFVFVFVF VFFFVFFF

8 La particella “o”, quando viene usata nel linguaggio comune con il significato di “oppure” corrisponde in logica al connettivo disgiunzione DEFINIZIONE:si definisce disgiunzione di due proposizioni p e q, e si indica con il simbolo p V q e si legge “p o q”, la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni è vera,mentre è falsa se entrambi le proposizioni sono false pqp V q VVFFVVFF VFFVVFFV VVVFVVVF

9 Un altro modo di connettere tra loro due proposizioni si può ottenere mediante il connettivo “se,allora” DEFINIZIONE:si definisce implicazione materiale o condizionale di due proposizioni p q e si legge “se p allora q”.la proposizione che è falsa nel caso p sia vera e q sia falsa ed è vera negli altri casi pqpq VVFFVVFF VFVFVFVF VFVVVFVV

10 Due proposizioni possono essere connesse mediante il connettivo “se e solo se”. DEFINIZIONE:Si definisce definizione materiale o bicondizionale di due proposizioni p e q e si indica con p q e si legge “p coimplica q”. La proposizione è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità, mentre è falsa in tutti gli altri casi. pqp q VVFFVVFF VFVFVFVF VFFVVFFV

11 La particella “non” del linguaggio ordinario corrisponde in logica all’operatore negazione. DEFINIZIONE:Si dice negazione di un enunciato p, e si indica con p e si legge “non p”. L’enunciato è falso se p è vero ed è vero se p è falso. pp VFVF FVFV

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13 E’ una tautologia quella proposizione composta che ha come valore di verità VERO indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni. E’ una tautologia quella proposizione composta che ha come valore di verità VERO indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni. a a a a a V a VFVF VFVF F VF V F VF V VVVV VVVV

14 E’ una contraddizione quella proposizione composta che ha come valore di verità FALSO indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni che lo compongono. E’ una contraddizione quella proposizione composta che ha come valore di verità FALSO indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni che lo compongono. p p q q VFVF VFVF FVFV FVFV FFFF FFFF p q

15 Consideriamo la tautologia [(a b) a] b e supponiamo che siano vere a b e a, e quindi anche la loro congiunzione. Possono presentarsi due casi: b è vera oppure b è falsa. Il valore di verità è allora dato dalla seguente tavola Consideriamo la tautologia [(a b) a] b e supponiamo che siano vere a b e a, e quindi anche la loro congiunzione. Possono presentarsi due casi: b è vera oppure b è falsa. Il valore di verità è allora dato dalla seguente tavola (a b)^a b b [(a b)^a] b VFVF VFVF VFVF VFVF VVVV VVVV

16 Essa, essendo una tautologia, deve però essere vera per forza, perciò non può verificarsi che b sia falsa; perciò nel caso siano vere sia a b sia a, dev’essere vera anche b. Possiamo perciò formulare la seguente regola di deduzione che è detta Modus Ponens: se sono vere le proposizioni a b e a, allora dev’essere vera anche la proposizione b. Essa, essendo una tautologia, deve però essere vera per forza, perciò non può verificarsi che b sia falsa; perciò nel caso siano vere sia a b sia a, dev’essere vera anche b. Possiamo perciò formulare la seguente regola di deduzione che è detta Modus Ponens: se sono vere le proposizioni a b e a, allora dev’essere vera anche la proposizione b. 1 premessa 2 premessa 1 premessa 2 premessa conclusione a b a a b b

17 Dalla tautologia [(a b) b] a si può ricavare la seguente regola di deduzione, detta Modus Tollens: se è vera la proposizione a b ed è vera la negazione di b (ossia è falsa b), deve essere vera anche la negazione di a (ossia dev’essere falsa a ). Dalla tautologia [(a b) b] a si può ricavare la seguente regola di deduzione, detta Modus Tollens: se è vera la proposizione a b ed è vera la negazione di b (ossia è falsa b), deve essere vera anche la negazione di a (ossia dev’essere falsa a ). 1 PREMESSA 2 PREMESSA 1 PREMESSA 2 PREMESSA a b b b CONCLUSIONE a a


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