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Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2014 1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare.

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1 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 6 maggio 2014

2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Una curiosa leggenda narra che un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni, scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e dell’Universo. I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri

3 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio I cinesi attribuirono alle sue proprietà matematiche un significato mistico, tanto da farne il simbolo che in sè riuniva i principi primi che formarono le cose, gli uomini e l'universo e che tuttora sono in esso presenti. Così i numeri pari vennero a simbolizzare il principio femminile dello yin, mentre i dispari quello maschile dello yang. Al centro vi è il numero 5 che appartiene alle due diagonali, alla colonna e alla riga centrali: esso rappresenta la Terra. Tutto attorno sono distribuiti i quattro elementi principali: i metalli simbolizzati dal 4 e dal 9, il fuoco indicato dal 2 e dal 7, l'acqua dall'1 e dal 6 e il legno dal 3 e dal 8. I quadrati magici probabilmente giunsero in Occidente attraverso gli Arabi.

4 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Il matematico Cornelio Agrippa ( ) si dedicò alla costruzione dei quadrati magici di ordine superiore a due, infatti costruì quadrati magici di ordine 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e a essi attribuì un significato astronomico: rappresentavano i sette pianeti allora conosciuti (Saturno, Giove, Marte, il Sole, Venere, Mercurio e la Luna).

5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Dal Rinascimento in poi c’è sempre stato interesse per queste figure che, intagliate nel legno o in altri materiali, servivano come amuleti e sono tuttora in uso in alcune regioni dell’Oriente. Nel '500 e nel '600 si pensava che questi quadrati magici incisi su una piccola lastra d’argento potessero servire come amuleti contro la peste. L’alone di mistero e di magia che circonda queste figure geometriche è in parte comprensibile se si analizzano le loro sorprendenti possibilità combinatorie.

6 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Bisogna attendere il 1300 per avere una prima vera analisi sui quadrati magici da un punto di vista meramente matematico. Analizzando il lavoro dell'arabo Al-Buni, l'erudito bizantino greco Manuel Moschopoulos (circa ) scrisse un trattato matematico a proposito dei quadrati magici, andando oltre il misticismo dei suoi predecessori. Si pensa che Moschopoulos fu il primo occidentale ad occuparsi dell'argomento. Intorno alla metà del XV secolo, l'italiano Luca Pacioli studiò queste strutture e raccolse tantissimi esempi. Si cominciava così a dare la giusta interpretazione della struttura logico-matematica di queste griglie di numeri. Manuel Moschopoulos Luca Pacioli

7 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un'opera sui quadrati magici, ma non indicò alcun procedimento generale per costruirli. Un elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel 1612 da C. G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant. Un procedimento per la costruzione dei quadrati di ordine pari fu dato da B. Frenicle De Bessy in un'opera pubblicata nel 1693 Le pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti ed è così che apparvero le Rècrèations di Ozanam, il Traitè des quarrès sublimes di Poignard (Bruxelles, 1704) e varie memorie di L. Eulero. Oggi, grazie anche a Martin Gardner che ne ha data ampia diffusione nei suoi articoli su "Scientific American" prima e nel suo Enigmi e giochi matematici vol. 2 poi, i quadrati magici sono diventati parte fondamentale di quella branca della Matematica che va sotto il nome di Matematica Ricreativa.

8 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Albrecht Dürer Melancolia I

9 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Ecco il particolare dell’incisione: Addizionando tra loro i numeri di ogni colonna, ogni riga e ogni diagonale si ottiene sempre Il medesimo risultato, 34.

10 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Basilica della Sagrada Familia a Barcellona, Si tratta del quadrato magico di Josep Maria Subirachs Sitjar. Nel crittogramma di Subirachs non sono presenti i numeri 12 e 16 (mentre i numeri 10 e 14 sono ripetuti due volte) e il risultato della somma dei numeri di ciascuna riga, colonna e diagonale è 33, gli anni della vita di Gesú.

11 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Un quadrato magico è un quadrato diviso in nxn caselle quadrate Le caratteristiche di un quadrato magico sono le seguenti:  in ciascuna casella appare un numero naturale diverso da zero;  un dato numero non appare più di una volta;  se la somma dei numeri di una data riga è s, deve essere s la somma dei numeri:  di ogni riga  di ogni colonna  di ogni diagonale del quadrato Il numero s si dice “la chiave” del quadrato magico.

12 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Nel quadrato magico della fig.1 la chiave è Fig. 1

13 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruire quadrati magici 3x 7 Un criterio generale per costruire quadrati magici di ordine nxn non è facile da trovare. Nell’esempio che segue ci riferiamo ad un quadrato magico di ordine 3x3  la cui chiave è 24 (scelta a caso)  e nel quale abbiamo sistemato, sempre a caso: 3 e 7 Fig. 2 3x21-x 7x-1128-x 142x-25 Fig. 3

14 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruire quadrati magici 3x21-x 7x-1128-x 142x-25 Fig. 3 1^ colonna: 3^ casella 24 – (3 + 7) = 14 1^ riga: 3^ casella 24 – (3 + x) = 21 – x diagonale: 2^ casella 24 – ( x) = x – 11 2^ riga: 3^ casella 24 – (7 + x - 11) = 28 – x 3^ colonna: 3^ casella 24 – (21 – x x) = 2x - 25 Abbiamo dati sufficienti per impostare un’equazione da cui trovare x. Tale equazione è data dall’altra diagonale: 3 + (x – 11) + (2x – 25) = 24 da cui si ha x = 19

15 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruire quadrati magici Fig. 4 Nella fig.3, sostituendo ad x il numero 19, abbiamo il seguente quadrato magico. Abbiamo un numero negativo; ciò dice che la chiave scelta era incompatibile con i numeri assegnati. Cosa fare? Basta addizionare ad ogni numero del quadrato magico uno stesso numero in modo da rendere positivo (e quindi essere messo in corrispondenza con il naturale) anche il numero -3. Dobbiamo addizionare un numero maggiore di 3

16 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio RIFLETTIAMO COSA SI INTENDE CON LA SCRITTA

17 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruire quadrati magici Fig.5 Per esempio se addizioniamo 4 otteniamo il quadrato magico della Fig.5. Questo quadrato non ha più chiave 24, ma ha chiave: 24 + (4 x 3) =

18 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruire quadrati magici Fig. 6 Può darsi che il procedimento seguito ci porti ad un valore frazionario di x Cosa fare? Basta moltiplicare tutti i numeri del quadrato magico per 3 (o per un multiplo di 3). In tal modo otteniamo un quadrato magico dove appaiono solo numeri interi. Chiave 14

19 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruire quadrati magici Fig.7 La chiave del quadrato di Fig.6 era 14, la nuova chiave è: 14 x 3 =

20 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Costruire quadrati magici Per lo più i numeri che formano un quadrato magico sono scritti in progressione aritmetica (cioè formano una successione di numeri in cui la differenza tra un termine e quello successivo è costante), ma ciò non è necessario. progressione aritmetica Per semplicità si usa spesso una particolare progressione aritmetica costituita dalla serie ordinata dei numeri naturali a cominciare dall’unità. il problema allora è quello di disporre i primi nove, sedici, venticinque ecc… numeri naturali nelle caselle di un quadrato 3x3, 4x4, 5x5, … in modo che il quadrato sia magico.

21 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Quando il quadrato magico è di ordine dispari, cioè formato da 3x3, 5x5, ecc. caselle esiste un metodo generale per costruirlo, metodo difficile da giustificare. Quadrato 3 x 3: numeri da 1 a 9, chiave Si possono evitare le frecce e dare una regola generale?

22 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio I quadrati magici a scuola Problema: Nel quadrato a fianco disponi i numeri da 1 a 9 in modo che la somma dei numeri situati sulla stessa riga, sulla stessa colonna o sulla stessa diagonale del quadrato sia sempre 15. il quadrato che ottieni si chiama quadrato magico. Tentativi casualiTentativi guidati

23 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Scrivere tutte le terne di numeri naturali (non ripetuti) la cui somma è

24 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Abbiamo fatto notare che: a b c Il numero che occupa la posizione a appartiene a 4 terne Il numero che occupa la posizione b appartiene a 3 terne Il numero che occupa la posizione c appartiene a 2 terne

25 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Osservando le terne scritte si nota che l’unico numero che appartiene a 4 terne è il 5. Il 5 si trova al centro del quadrato I numeri che appartengono a 3 terne sono: 4 – 2 – 8 – 6 e vanno scritti nei quattro angoli (due a caso e gli altri devono soddisfare le terne scritte) 6 4 Es.: Se nella prima casella della prima riga scrivo 4, nella terza casella del’ultima riga devo scrivere 6. Se nella prima casella dell’ultima riga scrivo 8, nella terza casella della prima riga devo scrivere

26 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Ipotesi La disposizione dei nove numeri per formare un quadrato magico non è unica.

27 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Isometrie del quadrato (otto) rotazioni Posizione di partenza 1/4 di giro a destra /4 di giro a destra /4 di giro a destra /4 di giro (a destra

28 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Isometrie del quadrato (otto) Simmetrie assiali Posizione di partenza Asse a Asse b Asse c Asse d d a b c

29 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La chiave del quadrato magico Quando i numeri sono in progressione aritmetica e il quadrato magico è di ordine tre, la chiave del quadrato è sempre il triplo del numero centrale. Si verifica su molti esempi diversi fino a dedurre che “è molto probabile” che ciò accada sempre.

30 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio La chiave del quadrato magico Se i numeri sono in progressione aritmetica la somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante. Es.: nella progressione Si ha: = =3 + 7 = =10 Rispetto al 5, che è il numero centrale, si ha la seguente struttura: Approfondimento per la scuola sec. di primo grado

31 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Approfondimento per la scuola sec. di primo grado Le terne diventano = (5 – 1) (5 + 1) = 5 x 3 = = (5 – 2) (5 + 2) = 5 x 3 = = (5 – 3) (5 + 3) = 5 x 3 = 15 ecc.

32 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Approfondimento per la scuola sec. di primo grado In generale, se a è il numero della casella centrale, fissato a piacere, si costruiscono i numeri della progressione aggiungendo e togliendo ad a i multipli di uno stesso numero n, scelto in modo che le sottrazioni siano tutte possibili. I nove numeri della progressione sono allora: a – 4n, a – 3n, a – 2n, a – n, a + n, a +2n, a +3n, a +4n Ecco un possibile quadrato la cui chiave è 3a a-3na+4na-n a+2naa-2n a+na-4na+3n

33 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Ragioniamo con i numeri UN QUADRATO MAGICO Verifica che è un quadrato magico, cioè che la somma dei numeri situati in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale è la stessa …….. …… La chiave del quadrato magico è …… 15

34 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio COSTRUIAMO QUADRATI MAGICI Nel quadrato disegnato sotto, disponi i numeri da 2 a 10 in modo che la somma dei numeri situati in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale del quadrato sia sempre 18. Per aiutarti, scrivi prima tutte le terne possibili con i numeri naturali da 2 a 10, non ripetuti, la cui somma è 18. ……… ……… 2610 ……… ……… ……… ……… ………

35 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Segui la traccia per inserire i nove numeri nelle caselle del quadrato Il numero ………. appartiene a 4 terne, quindi va scritto nella casella ……………………….. I numeri ………………. appartengono a 3 terne, dunque vanno scritti nelle caselle ……………… I numeri ………………… appartengono a 2 terne, dunque vanno scritti nelle caselle ………

36 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Trascrivi i numeri e controlla se la loro somma in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale è 18. Confronta il tuo lavoro con quello di un tuo compagno. Che cosa noti? …….. ……

37 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio ORA PROVA tu! Scegli un numero diverso da 0; a partire da questo, scrivi gli otto numeri successivi che ottieni numerando per 3. Inserisci i nove numeri nelle caselle con la seguente regola: ogni numero si sposta, dentro il quadrato, in verticale o in orizzontale a b c

38 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Trascrivi i numeri nelle caselle della seguente tabella e calcola la loro somma in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale. Che cosa è la tabella che hai completato? ………………………………………….. …….. ……

39 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Successione numerica Una successione numerica è una funzione reale definita solo sui numeri naturali; f : N R Una funzione di questo tipo associa quindi ad ogni numero naturale n un certo valore reale f(n). Per semplificare la notazione in generale si indica con: f(n) = a n Esempio: a n = n  N* definisce la successione 1 ; ; ;… mentre a n = n 2 n  N definisce la successione 0; 1; 4; 9;…

40 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio progressione aritmetica Si dice proggressione aritmetica una successione di interi per i quali sia costante la differenza tra due qualunque termini consecutivi. Tale differenza è detta ragione della successione. ESEMPI: Sono successioni aritmetiche anche le famose "tabelline“. Considerando come base della tabellina il generico numero naturale n, si ha che la progressione n, 2n, 3n, 4n n è una progressione aritmetica di ragione n.

41 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Si consideri la progressione ottenuta partendo da 1 e numerando per quattro, quindi applicando successivamente l’operatore + 4; i suoi primi 5 elementi sono: , … Se invece di scrivere i risultati dell’applicazione dell’operatore, si lascia indicata l’espressione, si coglie la regola che consente di determinare un numero qualunque della successione in base alla sua posizione, senza determinare tutti i precedenti: 1  primo elemento della successione 5 = = 1 + (4  1)  il secondo elemento della successione si ottiene aggiungendo una volta 4 al primo, 9 = (1 + 4) + 4 = 1 + (4  2)  il terzo elemento della successione si ottiene aggiungendo due volte 4 al primo, 13 = ( ) + 4 = 1 + (4  3)  il quarto elemento della successione si ottiene aggiungendo tre volte 4 al primo, 17 = ( ) + 4 = 1 + (4  4)  il quinto elemento della successione si ottiene aggiungendo quattro volte 4 al primo., … Esempio +4

42 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Dopo avere sintetizzato in una tabella come la seguente: Posizione nella successione NumeroQuante volte è stato addizionato 4 al numero iniziale? 1°10 2°51 3°92 4°133 5°174 si possono guidare gli alunni nella ricerca della regola che consente di esprimere un numero della successione non in funzione del precedente, ma del primo: per ottenere il numero che occupa la posizione n è sufficiente addizionare al numero iniziale 1 il numero 4 per (n – 1) volte. In forza di questa osservazione, il numero che occupa, per esempio, la decima posizione nella progressione è 1 + (4  9) = = 37.

43 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Si può fare verificare ai bambini su alcuni casi particolari che la differenza tra due numeri qualsiasi della progressione è un multiplo di 4: 13 – 5 = 8 = 4  2, 17 – 1 = 16 = 4  4, …………………….. Questa proprietà è una condizione necessaria che permette di stabilire se un numero appartiene o non appartiene alla progressione. Per esempio, 26 non appartiene alla progressione, in quanto la differenza tra 26 e 17 è 9, che non è un multiplo di 4. Verifica…divertente!

44 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Successioni numeriche - Progressioni aritmetiche TORRI DI FIAMMIFERI Filippo sta facendo con i fiammiferi un gioco … per niente pericoloso: ha costruito una prima torre formata da un solo quadrato di 4 fiammiferi, poi ne ha costruita un’altra formata da due quadrati di fiammiferi, e così via

45 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio TORRI DI FIAMMIFERI numero d’ordine della torre numero di fiammiferi della torre totale fiammiferi con addizioni con un’espressione 1a1a 4 2a2a (3  1) 3a3a a4a 5a5a Completa la tabella

46 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio numero d’ordine della torre numero di fiammiferi della torre totale fiammiferi con addizioni con un’espressione 1a1a 4 2a2a (3  1) 3a3a (3  2) 4a4a (3  3) 5a5a (3  4) Completa la tabella Osservando la tabella, riesci a ricavare un metodo per sapere quanti fiammiferi servono per costruire una torre in base al posto occupato dalla torre nella successione? … Quale?… Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno. In base al metodo che hai trovato, calcola quanti fiammiferi dovrebbero servire a Filippo per costruire la decima torre della successione. Verifica la tua risposta costruendo la decima torre. Quanti fiammiferi servono per costruire la torre che occupa il quindicesimo posto nella successione? …………………………………………

47 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio GIOCHIAMO CON I NUMERI Scopri la regola che nella successione permette di ottenere un numero dal precedente. Con la stessa regola completa gli spazi liberi …….. …….. …….. ……. ……. ……. A partire da 4 la regola è …………………………………………… - Completa la tabella Numero d’ordine della successione NumeroAddizioni eseguite dal primo numero Con un’espressione 1a1a 4 2a2a 114 +… 4 + (…  1) 3a3a 4 + …+ … 4a4a

48 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Completa la tabella Numero d’ordine della successione NumeroAddizioni eseguite dal primo numero Con un’espressione 1a1a 4 2a2a (7  1) 3a3a (7  2) 4a4a (7  3) Osservando la tabella, riesci a ricavare un metodo per sapere che numero occupa una certa posizione nella successione? …Descrivilo? ……. Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno. In base al metodo che hai trovato, calcola che numero occupa il tredicesimo posto nella successione ………………… Che numero occupa il trentesimo posto? ……….

49 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Un po’ di esercizi Completate i seguenti quadrati magici Dahttp://utenti.quipo.it/base5/scuola/addites.htm

50 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio METODO NUMERICO PER TROVARE LE 8 POSSSIBILITÀ

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54 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Numeri in incognito (soluzione non unica) (da “Nel mondo della matematica” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Erickson) (58   ) +  = 300 si deduce che - il numero che corrisponde al simbolo  deve essere un numero minore di 6, dato che 58  6  il prodotto 58   è un numero pari, che può essere 0, 58 o maggiore di 58 - il numero che corrisponde a  deve essere un numero pari, diverso da 0 e non maggiore di 300. Conviene procedere per sostituzioni a partire da , dato che il valore di  si ottiene semplicemente per differenza:  

55 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio E se fosse… (58   ) + 2   = 301 Non ho soluzioni perché la somma di due numeri pari non può essere un numero dispari

56 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio QUAL È IL PROBLEMA? Segna con una crocetta quali fra i seguenti problemi si possono risolvere con l’espressione indicata (36 – 7 ) – ( ) 1)Marco gioca a biglie con alcuni amici. Prima di iniziare il gioco ha 36 biglie; nel corso della prima partita ne perde 7, senza vincerne nessuna. Durante la seconda partita Marco perde 9 biglie e ne guadagna 12. Quante biglie ha alla fine? 2)Al termine delle lezioni 36 alunni prendono lo scuolabus per tornare a casa. Alla prima fermata scendono solo 7 bambine. Alla fermata successiva scendono 12 maschi e 9 femmine. Quanti alunni sono ora sullo scuolabus? 3)Sergio ha una scatola contenente 36 nuove matite colorate. Ne toglie 7 per colorare un quadretto da regalare alla mamma. Le sue sorelle, Mara e Tiziana, desiderano provare i nuovi colori e chiedono a Sergio il permesso di usarli; Sergio acconsente. Mara toglie allora dalla scatola 9 matite e Tiziana 12. Quante matite colorate contiene ora la scatola?

57 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio QUAL È IL PROBLEMA? Segna con una crocetta quali fra i seguenti problemi si possono risolvere con l’espressione indicata (36 – 7 ) – ( ) Analisi del compito e dei possibili sviluppi Il compito consiste nell’individuare i problemi la cui risoluzione aritmetica può essere formalizzata con le espressioni aritmetiche date; ciò significa non solo individuare le operazioni risolutive, ma anche l’esatto ordine di applicazione. L’espressione corrisponde ai problemi 2 e 3; particolarmente ingannevole è il problema 1, in quanto ad esso può essere associata l’espressione (36 – 7) – , che differisce da quella data “solo” per la mancanza di una delle coppie di parentesi rotonde.

58 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio LA COMBINAZIONE DELLA CASSAFORTE Il signor Gianni Smemorini ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte; chiama a raccolta tutta la famiglia per vedere se mettendo insieme i loro ricordi si riesce a ricostruire la combinazione. Il signor Gianni ricorda che il numero è formato da 5 cifre tra loro diverse la moglie dice che la prima cifra è 9 il figlio ricorda che l’ultima cifra è 8 la figlia è certa che la somma dei valori delle cifre della combinazione è 22. Con queste informazioni la famiglia Smemorini riesce a trovare alcune possibili combinazioni. * Scrivi tutte le possibili combinazioni che rispettano le informazioni date. Analisi del compito e dei possibili sviluppi Le informazioni date esplicitamente consentono di fissare la prima e l’ultima cifra della combinazione della cassaforte: 98 La somma dei valori delle cifre della combinazione è 22, quindi la somma dei valori delle cifre mancanti è 22 – (9 + 8) = 5. Tale somma deve essere ottenuta con tre addendi distinti; si hanno i casi

59 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio Nella seconda parte del problema viene data un’ulteriore informazione (l’ordine decrescente dei valori delle prime quattro cifre della combinazione) che permette di ridurre le soluzioni possibili alle due seguenti Dato che il signor Gianni ha a disposizione tre tentativi per aprire la cassaforte prima di fare scattare l’allarme, ora può provare entrambe le combinazioni senza correre rischi.

60 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio CRIPTOARITMETICA Completare la seguente addizione in tutti i modi possibili 3 a 7 2 b c N.B. Lettere diverse non “nascondono” necessariamente numeri diversi. Sicuramente è c=4. Poiché le centinaia sono a posto la somma delle decine non deve avere riporto. Ragioniamo sulle decine : 1+a+b=4 allora a+b =3, cioé a,b sono gli ¨amici del 3 ¨ in addizione, precisamente: a = 0 b = 3 a = 3 b = 0 a = 1 b = 2 a = 2 b = 1 Le possibili addizioni sono quindi quattro: ______________

61 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio E se nell’addizione data inizialmente si eliminasse anche il 2 quante diventerebbero le soluzioni, se il secondo addendo resta di tre cifre? 3 a 7 d b c Per d= 2 valgono le quattro soluzioni già trovate. Se fosse d=1? Allora avremmo:1 + a + b = 14 quindi a + b = 13 a = 9b = 4a = 4 b = 9 a = 8b = 5a = 5 b = 8 a = 7b = 6a = 6 b = 7 In totale avremo dieci soluzioni che soddisfano i dati.


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