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Probabilità. Un percorso didattico motivazioni, valutazione classica L. Cappello 23 aprile 2014 1 Didattica probabilità e statistica PAS 2014.

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1 Probabilità. Un percorso didattico motivazioni, valutazione classica L. Cappello 23 aprile Didattica probabilità e statistica PAS 2014

2 Un percorso idee e spunti da attività realizzate nell’ambito del Progetto Lauree Scientifiche di Trento (PLS) contributi del Laboratorio di didattica e comunicazione della Matematica dell’Università di Trento … Francesca Mazzini 2 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

3 Un percorso – I contenuti - situazioni motivanti - valutazioni di probabilità - eventi non “elementari” e legge della moltiplicazione - probabilità di eventi che dipendono da altri - giochi d’azzardo e probabilità - primi elementi di statistica descrittiva 3 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

4 Un percorso – Gli aspetti in esame - modalità di presentazione dei concetti per costruire significati degli oggetti matematici affinché i saperi siano disponibili a lungo - contestualizzazione in un curriculum coerente parti di un percorso, non episodi - competenze (abilità, capacità …) sottese matematiche e trasversali - approccio laboratoriale non legato a luogo fisico ma modo attivo di operare … per compiere scelte didattiche efficaci La matematica non è uno sport per spettatori G. Polya non fa scienza, senza lo ritenere, aver inteso Dante Alighieri 4 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

5 Un percorso – I motivi del docente Quali sono i vostri motivi per insegnare la probabilità? “Ormai da molto tempo mi sono convinto che non si può ottenere una buona formazione culturale dei giovani senza utilizzare l’immensa ricchezza concettuale ed euristica della probabilità e della statistica … intesa … come riflessione su alcuni fondamentali processi di conoscenza … e non solo come strumento fondamentale per le scienze sperimentali ed umane”. Giovanni Prodi “... nessun argomento ha valore o interesse di per sé, ma ogni argomento lo acquista se introdotto al momento giusto in connessione con altre problematiche … sono le connessioni effettive (applicazioni, analogie, …) che danno ai giovani l’impressione di fare scoperte e la soddisfazione di sentirsi creativi”. Bruno de Finetti 5 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

6 Un percorso – I motivi del docente “La matematica non è semplicemente numeri, non più di quanto la musica sia semplicemente note. La musica si può amare, ci si può appassionare ad essa. Anche alla matematica ci si può appassionare …. Ogni insegnante deve agire a suo modo, secondo le proprie tendenze. Ognuno deve usare i propri mezzi per interessare gli studenti. Va bene tutto, si ha bisogno di tutto, senza esclusioni”. S. Lang 6 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

7 Motivazioni iniziali – Giochi d’azzardo Se gioco “a lungo” al 10 e Lotto diventerò milionario? Attività. Gli studenti partecipano ad alcuni giochi d’azzardo.d’azzardo Tengono traccia degli esiti. Ha rilevanza socialesociale spazio agli interventi degli studenti le risposte non subito, ma durante il percorso 7 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

8 Motivazioni iniziali – Test clinici Risulto positivo al test per l’HIV. Sono certamente malato? “Lei è sieropositivo”. Ma era falso.sieropositivo Sapendo che il test “Elisa” ha una sensibilità del 99,9%, vuol dire che al 99,9% ho contratto l’HIV? Qual è la probabilità che il test “Elisa” dia esiti errati? probabilità che un individuo malato risulti positivo al test … per rispondere servono ulteriori ipotesi 8 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

9 Motivazioni iniziali – Test clinici - Studio su medici tedeschi: sono fornite loro informazioni analoghe.tedeschi Secondo alcuni la probabilità di malattia è del 90% (ma è il 9%!). - Test antidoping: M.D. Slaney squalificata nel Probabilità che un atleta sia positivo a quel test e non dopato = 1%. Significa: positivo al test = dopato al 99%? No. La probabilità che sia dopato è dell’ 84,7% ogni anno effettuano il test …“molti” positivi ma innocenti. 9 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

10 Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete? “TTTTTTTTTT” “TCTCCTCTTC” Motivazioni iniziali – Misconcetti Regolarità Compensazione “Marta è incinta. Ha già tre bambine. Quindi è più probabile che il prossimo figlio sia maschio.” E’ vero? 10 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

11 Motivazioni iniziali – Misconcetti Numeri ritardatari Numeri che non escononon Scommettereste sull’uscita del 5 sulla ruota di Palermo? - Fino al 1993 i numeri ritardatari comparivano su Televideo - Gennaio 2005: giocati al Lotto 1,2 miliardi di euro. Il doppio del gennaio Ma vincite quasi uguali. … il 53 non usciva da 182 estrazioni sulla ruota di Venezia! Attività. Prima di ogni estrazione ciascun studente punta sul numero che preferisce. Il docente su un numero “a caso”. I numeri estrattiestratti 11 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

12 Motivazioni iniziali – Altre situazioni Genetica: determinazione del sesso dei figlifigli morbo di Cooley e microcitemiamicrocitemia Un caso giudiziario: O.J. Simpson e l’omicidio della moglieO.J. Simpson Nel 1995 è assolto. Nel 1996 è condannato E’ stata utilizzata la probabilità … male: scelta distorta dei “casi possibili” Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0,04% è poi uccisa da lui Studi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è poi uccisa da lui si possono proporre all’inizio sotto forma di quesiti o come lettura (eccetto “filtri”), o in seguito come approfondimento 12 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

13 Motivazioni iniziali – Altre situazioni Filtri antispam: bloccare le indesiderate indesiderate Economia: assicurazioni e valutazione soggettiva Storia: assicurazioni sul trasporto di merci (XIV secolo)assicurazioni la storia della probabilità è più antica della storiaantica 13 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

14 Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare Mettiamoci le mani! Lanciamo due dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6. Su quale punteggio (somma dei due numeri usciti) scommettete? Perché? Una questione più semplice Lanciamo un dado. Qual è la probabilità che esca “6”? Gli studenti esplorano il pb: effettuano prove, si accorgono di alcuni fatti, iniziano ad organizzarli, usano conoscenze pregresse … formulano congetture 14 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Provano a giustificare

15 Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare un modello dado blu "+" dado nero il punteggio “7” è quello che compare più volte nella tabella la probabilità che il punteggio sia “7” è: la tabella è simmetrica … questo fatto corrisponde a qualche proprietà algebrica? 15 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

16 numero caselle verdi: anche Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare Probabilità di altri eventi esce lo stesso numero sui due dadi il numero che esce sul dado nero è maggiore di quello sul dado blu dado blu "+" dado nero dado blu "+" dado nero escono i numeri “2” e “5” e se estraiamo a caso due numeri, ciascuno da un sacchetto della tombola? 16 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

17 Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare il punteggio è un numero pari dado blu d p "+"pd dado nero il punteggio è “5” il punteggio è “9” dado blu "+" dado nero il punteggio è “13” 17 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Dal modello: la probabilità è una misura degli insiemi

18 x := punteggio dado nero y := punteggio dado blu punteggio totale = 5x+y=5 o y=-x+5 Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare Perché lo stesso punteggio su diagonali? Esempio: il “5”. y "+" x 18 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

19 dadi, monete, carte, urna, roulette, Lotto … ma poi non solo giochi! - sperimentare e manipolare oggetti - modellizzare: tabelle, elenchi, grafi ad albero, schemi … - valutare i risultati numerici La Lotteria Italia 2014 ha venduto 7,7 milioni di biglietti. Ogni biglietto costa 5 €. Il primo premio consiste in €. - Qual è la probabilità di vincere il primo premio, comprando un solo biglietto? - Per quanto tempo dovrei comprare un biglietto al giorno, per essere sicuro di vincere il primo premio (ossia comprando tutti i biglietti)? [> anni] - Quanto spenderei in totale? Valutazioni di probabilità – Consolidamento Alcuni esempiesempi Esercizi dai testi in adozione (tra poco) eventualmente assegnati per il lavoro autonomo 19 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

20 Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima 20 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Disponiamo schedine una di seguito all’altra. La fila è lunga 15 cm x = km “E’ come pescare uno dei 20 fogli vincenti tra tutti quelli che formano il percorso.” Come lo trasformereste in un esercizio per gli studenti? Il Gratta e Vinci Miliardiario La probabilità di vincere 500 milioni è

21 Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima 21 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Il SuperEnalotto La probabilità di vincere il primo premio è Quanto è “piccolo” tale numero? Un’attività.Un’attività Quali accorgimenti didattici sono stati utilizzati nel video? dal minuto al minuto 22.21

22 Attività. Lanciamo in l’alto questa gomma. Su quale faccia scommettete che ricada a terra? Valutazioni di probabilità – Equiprobabilità astragalo e giochi dell’antichità Equiprobabilità: da simmetria, densità, omogeneità … è comunque un nostro giudizio 22 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Le facce non hanno la stessa probabilità di uscita

23 Valutazioni di probabilità – Dipendono solo dall’evento? Attività. Da questo mazzo di 40 carte estraggo una carta. Qual è la probabilità che la carta sia un asso? ma ho tolto gli assi! La mia valutazione di probabilità dipende dalle informazioni che ho sull’esperimento - Intolleranza al lattosio. Invito a cena una persona. Qual è la probabilità che sia intollerante al lattosio? Vediamo dei dati.dati Il vostro giudizio di probabilità ora è cambiato? - L’insider trading è reato 23 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Proviamo

24 Un modo di valutare la probabilità (schema classico): la probabilità di un evento è data da dove c è il numero dei casi in cui esso si verifica (casi favorevoli), n è il numero dei casi che possono accadere (casi possibili). Stiamo assumendo che tali casi siano tutti “ugualmente possibili” tra loro. Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1. Diremo che l’evento è impossibile se la sua probabilità è 0. Diremo che l’evento è certo se la sua probabilità è Didattica probabilità e statistica PAS 2014

25 La probabilità è una funzione dalla famiglia degli eventi nell’intervallo [0,1]. Allora, se indichiamo con p una funzione di tale tipo, la probabilità di un evento E si denota con p(E). Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto Più precisamente Abbiamo considerato degli eventi (affermazioni sull’esperimento) E a ciascuno di essi abbiamo associato un numero, la probabilità. 25 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

26 Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture Esercizi sui concetticoncetti a) “Mario ha due figli e almeno uno di essi è maschio” b) “Mario ha due figli e il maggiore di essi è maschio” Qual è la probabilità che anche l’altro figlio sia maschio? a)casi possibili: MM MF FM; probabilità 1/3 b)casi possibili: MM MF; probabilità 1/2 Assumiamo equiprobabili : “nasce un maschio”, “nasce una femmina”. Dalla genetica: il sesso di un figlio è indipendente da quello degli altri. Letture: genetica, casi giudiziari, storia ( viste in Motivazioni ) eventualmente esposizione ai compagni Esercizi relativi alla geneticagenetica 26 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

27 - Su quale valore della somma scommettete? - Perché si escludono i punteggi dal 3 al 7 e dal 14 al 18? Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture Se troppo difficile, “repetere le volte” … con il foglio elettronico Il gioco della zara Si gioca con tre dadi. A turno, ogni giocatore chiama un numero compreso tra 3 e 18 e poi lancia i dadi. Vince chi per primo ottiene come punteggio il numero chiamato. 27 Didattica probabilità e statistica PAS 2014


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