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Francesco Leonetti Compressione frattale di immagini.

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Presentazione sul tema: "Francesco Leonetti Compressione frattale di immagini."— Transcript della presentazione:

1 Francesco Leonetti Compressione frattale di immagini

2 scanner Compressione delle immagini compressione frattale di immagini

3 FRATTALI Figure frastagliate

4 Curva di Koch

5 Triangolo di Sierpinski

6 simulazioni di Demba Diallo Mady

7 G a b G(a) G(b) X X allora f=G(f) G X X f G(f)

8 x (1)=d, x(2)=G(d), x(3)=G(G(d)),...x(n) è vicino a f X x(1) x(2) x(3) x(n) f

9 X = insieme di tutte le figure = eccetera G : XXè definita così Da qualunque figura si parta, applicando ripetutamente G, si arriva alla figura f che non è cambiata da G: f=G(f)

10 aG(a) G(a) = V 1 (a) V 2 (a) V 3 (a) aV 1 (a) aV 2 (a) aV 3 (a)

11 S 1/2 (x, y) = (x/2, y/2) T u, v (x, y) = (x+u, y+v) V 1 = T 0, 0 ° S 1/2 V 2 = T 40, 0 ° S 1/2 V 3 = T 20, (  )20 ° S 1/2 G(a) = V 1 (a) V 2 (a) V 3 (a) G necessita di 9 parametri

12 f come figura 80 pixel x 80 pixel necessita di 6400 parametri f come unica figura fissa di G necessita dei soli parametri di G: 9 parametri Compressione = 6400 / 9 = 711

13 V 3 (f) V 1 (f)V 2 (f) f = G(f) = V 1 (f) V 2 (f) V 3 (f)

14 Data una immagine i trovare trasformazioni W 1, W 2, …, W k contrattive tali che i = W 1 (i) W 2 (i) … W k (i) Posto H = W 1 W 2 … W k risulta a, H(a), H(H(a)), H(H(H(a))), …., approssima i qualunque altra immagine immagine data

15 Esempio Data l’immagine i i W 1 (i)W 2 (i) W 3 (i)W 4 (i) allora i = W 1 (i) W 2 (i) W 3 (i) W 4 (i)

16

17

18

19 i

20

21 R 1 R 2 D1D1 D2D2 D3D3 D4D4 D5D5 D6D6 D7D7 D8D8 D9D R 3 R 4

22 i  D 2 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 2 R 1

23 i  D 3 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 3 R 2

24 i  D 5 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 5 R 1

25 i  D 8 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 8 R 2

26 i  D 10 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 10 R 3

27 i  D 11 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 11 R 4

28 i  D 12 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 12 R 4

29 i  D 14 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 14 R 3

30 D 2 R 1 D 3 R 2 D 5 R 1 D 8 R 2 D 10 R 3 D 11 R 4 D 12 R 4 D 14 R 3 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) D j = T u,v  S 1/2 (R k ) W j = T u,v  S 1/2 2; 1 3; 2 5; 1 8; 2 10; 3 11; 4 12; 4 14; 3

31 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

32 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

33 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

34 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

35 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

36 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

37 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

38 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

39 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D L(a)

40 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D2D2 D3D3 D5D5 D8D

41 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D D3D3 D5D5 D8D

42 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D1D4 D1 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1 D1D1 D1 D9 D1D9 D D5 D5 D8 D

43 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D1D4 D1 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1 D1 D9 D1D9 D D8D

44 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D4 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1D1 D9 D1D9 D

45 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7 D1D7 D1 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D

46 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D

47 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D

48 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D L(L(a))

49 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D3 D1D3 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9 D2D2

50 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D3 D1D3 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9

51 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9

52 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4 D1D4 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D D9D9

53 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D D9D9

54 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7 D1D7 D D9D9

55 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D D9D9

56 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D D9D9

57 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D D9D9 L(L(L(a)))

58 i D 2 R 1 D 3 R 2 D 5 R 1 D 8 R 2 D 10 R 3 D 11 R 4 D 12 R 4 D 14 R 3 2 ; 1 3 ; 2 5 ; 1 8 ; 2 10 ; 3 11 ; 4 12 ; 4 14 ; 3

59 2 ; 1 3 ; 2 5 ; 1 8 ; 2 10 ; 3 11 ; 4 12 ; 4 14 ; 3 7 ; 0 15 ; 0 16 ; 0 13 ; 0 9 ; 0 6 ; 0 1 ; 0 4 ; 0 Compressione: 6400/16 = 400

60 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 )

61 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a

62 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a)

63 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a))

64 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a)) L(L(L(a)))

65 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a)) L(L(L(a))) i

66 Barnsley M - Hurd L, Fractal image compression, 1993 Fisher Y, Fractal image compression: theory and application to digital images, 1995

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