Francesco Leonetti Compressione frattale di immagini.

Presentazione sul tema: "Francesco Leonetti Compressione frattale di immagini."— Transcript della presentazione:

1 Francesco Leonetti Compressione frattale di immagini

2 scanner Compressione delle immagini compressione frattale di immagini

3 FRATTALI Figure frastagliate

4 Curva di Koch

5 Triangolo di Sierpinski

6 simulazioni di Demba Diallo Mady

7 G a b G(a) G(b) X X allora f=G(f) G X X f G(f)

8 x (1)=d, x(2)=G(d), x(3)=G(G(d)),...x(n) è vicino a f X x(1) x(2) x(3) x(n) f

9 X = insieme di tutte le figure = eccetera G : XXè definita così Da qualunque figura si parta, applicando ripetutamente G, si arriva alla figura f che non è cambiata da G: f=G(f)

10 aG(a) G(a) = V 1 (a) V 2 (a) V 3 (a) aV 1 (a) aV 2 (a) aV 3 (a)

11 S 1/2 (x, y) = (x/2, y/2) T u, v (x, y) = (x+u, y+v) V 1 = T 0, 0 ° S 1/2 V 2 = T 40, 0 ° S 1/2 V 3 = T 20, (  )20 ° S 1/2 G(a) = V 1 (a) V 2 (a) V 3 (a) G necessita di 9 parametri

12 f come figura 80 pixel x 80 pixel necessita di 6400 parametri f come unica figura fissa di G necessita dei soli parametri di G: 9 parametri Compressione = 6400 / 9 = 711

13 V 3 (f) V 1 (f)V 2 (f) f = G(f) = V 1 (f) V 2 (f) V 3 (f)

14 Data una immagine i trovare trasformazioni W 1, W 2, …, W k contrattive tali che i = W 1 (i) W 2 (i) … W k (i) Posto H = W 1 W 2 … W k risulta a, H(a), H(H(a)), H(H(H(a))), …., approssima i qualunque altra immagine immagine data

15 Esempio Data l’immagine i i W 1 (i)W 2 (i) W 3 (i)W 4 (i) allora i = W 1 (i) W 2 (i) W 3 (i) W 4 (i)

16

17

18

19 i

20

21 R 1 R 2 D1D1 D2D2 D3D3 D4D4 D5D5 D6D6 D7D7 D8D8 D9D9101112 13141516 R 3 R 4

22 i  D 2 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 2 R 1

23 i  D 3 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 3 R 2

24 i  D 5 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 5 R 1

25 i  D 8 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 8 R 2

26 i  D 10 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 10 R 3

27 i  D 11 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 11 R 4

28 i  D 12 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 12 R 4

29 i  D 14 i  R 1 i  R 2 i  R 3 i  R 4 S 1/2 (i  R 1 )S 1/2 (i  R 2 ) S 1/2 (i  R 3 )S 1/2 (i  R 4 ) D 14 R 3

30 D 2 R 1 D 3 R 2 D 5 R 1 D 8 R 2 D 10 R 3 D 11 R 4 D 12 R 4 D 14 R 3 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) D j = T u,v  S 1/2 (R k ) W j = T u,v  S 1/2 2; 1 3; 2 5; 1 8; 2 10; 3 11; 4 12; 4 14; 3

31 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

32 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

33 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

34 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

35 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

36 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

37 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

38 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

39 L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a R 1 R 2 R 4 R 3 a D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415 L(a)

40 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D2D2 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

41 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D6D6 D7D7 D4D4 D9D912 1316 D3D3 D5D5 D8D8 1011 1415

42 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D1D4 D1 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1 D1D1 D1 D9 D1D9 D1 12 13 16 14 D5 D5 D8 D8 10 11 15

43 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D1D4 D1 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1 D1 D9 D1D9 D1 12 13 16 14 D8D8 10 11 15

44 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4 D4 D7 D1D7 D1 D6 D1D6 D1 D1D1 D9 D1D9 D1 12 13 16 14 10 11 15

45 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7 D1D7 D1 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D1 12 13 1614 11 15

46 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D1 12 13161415

47 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D1 13161415

48 L(a) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D4D4 D7D7 D6D6 D1D1 D9 D1D9 D1 131615 L(L(a))

49 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D3 D1D3 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D1 1110 141516 12 13 D9D9 D2D2

50 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D3 D1D3 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D1 1110 141516 12 13 D9D9

51 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1 D1D1 D1 D4 D1D4 D1 D5 D1D5 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D1 1110 141516 12 13 D9D9

52 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4 D1D4 D1 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 D8 D1D8 D1 1110 141516 12 13 D9D9

53 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6 D1D6 D1 D7 D1D7 D1 1110 141516 12 13 D9D9

54 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7 D1D7 D1 11 141516 12 13 D9D9

55 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D7 141516 12 13 D9D9

56 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D7 14151613 D9D9

57 L(L(a)) R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 D1D1 D4D4 D6D6 D7D7 151613 D9D9 L(L(L(a)))

58 i D 2 R 1 D 3 R 2 D 5 R 1 D 8 R 2 D 10 R 3 D 11 R 4 D 12 R 4 D 14 R 3 2 ; 1 3 ; 2 5 ; 1 8 ; 2 10 ; 3 11 ; 4 12 ; 4 14 ; 3

59 2 ; 1 3 ; 2 5 ; 1 8 ; 2 10 ; 3 11 ; 4 12 ; 4 14 ; 3 7 ; 0 15 ; 0 16 ; 0 13 ; 0 9 ; 0 6 ; 0 1 ; 0 4 ; 0 Compressione: 6400/16 = 400

60 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 )

61 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a

62 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a)

63 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a))

64 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a)) L(L(L(a)))

65 Decompressione L(a) = W 2 (a  R 1 )  W 3 (a  R 2 )  W 5 (a  R 1 )  W 8 (a  R 2 )  W 10 (a  R 3 )  W 11 (a  R 4 )  W 12 (a  R 4 )  W 14 (a  R 3 ) a L(a) L(L(a)) L(L(L(a))) i

66 Barnsley M - Hurd L, Fractal image compression, 1993 Fisher Y, Fractal image compression: theory and application to digital images, 1995 http://www.inf.uni-konstanz.de/cgip/fractal/html/index.html

67 leonetti@univaq.it http://univaq.it/~leonetti