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1.. Il Fiocco di Neve.... In Matematica... 2 Tutto parte dalla curva di Koch..

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Presentazione sul tema: "1.. Il Fiocco di Neve.... In Matematica... 2 Tutto parte dalla curva di Koch.."— Transcript della presentazione:

1 1.. Il Fiocco di Neve.... In Matematica..

2 2 Tutto parte dalla curva di Koch..

3 3 La Curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. È apparsa in un documento del 1904 intitolato "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" del matematico svedese Helge von Koch.Kochcurve frattali 1904 matematicosvedeseHelge von Koch

4 4.. la curva di Koch.. Un frattale tra i più conosciuti è la curva di Elge von Koch. Tale curva è una curva continua. Considerato di nuovo il segmento AB lo si divide in tre parti e poi si toglie il segmento centrale CE, sulla parte vuota infine si costruisce sempre da una stessa parte un triangolo equilatero CDE privo del lato CE.

5 5 Si ripete la costruzione precedente su ognuno dei segmenti AC, CD, DE ed EB Proseguendo l'iterazione della costruzione si ottiene

6 6 dopo ulteriori passaggi: Iterando infinite volte la poligonale essa si avvicinerà ad una curva, in quanto ad ogni applicazione della costruzione si sostituisce a 3 segmenti uguali 4 segmenti.

7 7 Applicazione della curva di Koch al fiocco di neve. Anche la stilizzazione del fiocco di neve avviene usando una costruzione simile a quella precedente partendo da un triangolo equilatero ABC e costruendo poi il triangolo che ha il lato 1/3 del lato del triangolo precedente verso l'esterno. La prima iterazione porta a:

8 8 poi proseguendo nelle iterazioni si ottiene la figura seguente che è la rappresentazione di un fiocco di neve:

9 9.. la curva di Peano.. Corrispondente alla curva di Koch sui quadrati

10 10 Si riprenda il segmento AB e lo si divida ora in tre parti e si costruiscano due quadrati CEFD e CELG di lato CE=1/3 AB, come in figura: Il percorso ACGLEFDCEB ci dice che è possibile percorrere l'intera poligonale da A a B senza passare due volte per lo stesso tratto. Iterando poi su ognuno dei nove segmenti la costruzione precedente si ottiene:

11 11 Le successive iterazioni danno luogo ad una figura simile alla seguente

12 12 Si presenta un quadrato a griglia e proseguendo nella iterazione del procedimento si avrà l'impressione di arrivare ad annerire il quadrato, ciò sembra un paradosso in quanto una linea ha dimensione mentre il quadrato è una superficie. Questo è il paradosso a cui era giunto Peano nel 1890.

13 13.. la curva di Sierpinsky..

14 14 Si riprenda la costruzione di Peano e si tolga il segmento centrale CE e cosi si ottiene la base per la curva di Sierpinski:

15 15 dopo una iterazione: e successivamente:


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