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Cosa si nasconde dietro ad un semplice fiocco di neve ?...

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Presentazione sul tema: "Cosa si nasconde dietro ad un semplice fiocco di neve ?..."— Transcript della presentazione:

1 Cosa si nasconde dietro ad un semplice fiocco di neve ?...

2 … per esempio il fiocco di Koch ! Ma che cos è ? Il fiocco di neve di Koch è una figura frattale, basata sul concetto di autosomiglianza; La sua costruzione è un processo iterativo applicato a parti sempre più piccole. Inoltre, questa costruzione genera una progressione geometrica.

3 Com è costruito ?... Si tratta di una curva costruita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch. Nella tabella successiva i primi passi della costruzione della curva. Per ottenere il frattale basta incollare tre copie della curva lungo i lati del triangolo. Si osservi che la seconda figura è una stella di David (stella a sei punte).

4 La curva ha la stessa dimensione frattale del Merletto di Koch ovvero è pari a: D = log 4 / log 3 = 1,262.

5 Che cos è un frattale ? Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto-similarità (self- similarity). Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.geometricolente d'ingrandimentoauto-similarità1975Benoît Mandelbrotfrazionematematica dimensione

6 La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. albero

7 Helge von Koch Figlio di Richert Vogt von Koch, militare di carriera, e di Agathe Henriette Wrede, Helge Von Koch frequentò una buona scuola superiore di Stoccolma, completando i suoi studi nel 1887, quindi si inscrisse all'Università di Stoccolma. Pubblicò numerosi lavori di matematica, riguardanti i sistemi lineari e le equazioni differenziali, per i quali fu molto apprezzato, e, infine, nel 1911, divenne professore di matematica all'Università di Stoccolma. Von Koch è famoso per la curva che porta il suo nome e che apparve nel suo lavoro Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, pubblicato nel 1906.

8 L anti-fiocco di neve di koch … Entrambe le curve a fiocco di neve e ad anti- fiocco di neve di Koch iniziano come perimetro di un triangolo equilatero. Stadio 0 della costruzione del fiocco di neve di Koch Stadio 0 della costruzione dellanti-fiocco di neve di Koch

9 FIOCCO DI NEVE DI KOCH Si divide ogni lato in tre parti uguali, eliminando il segmento centrale e si inseriscono, al centro di ciascun lato, due lati di un triangolo equilatero, ognuno misurante 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale. Stadio 1 della costruzione del fiocco di neve di Koch Stadio 1 della costruzione dellanti-fiocco di neve di Koch ANTI-FIOCCO DI NEVE DI KOCH I due lati del triangolo equilatero, misuranti ciascuno 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale, puntano allinterno, invece che allesterno e vengono sottratti, anziché aggiunti.

10 Stadio 2 della costruzione del fiocco di neve di Koch Stadio 2 della costruzione dellanti-fiocco di neve di Koch La stessa procedura continua a essere ripetuta, allesterno per il fiocco di neve e allinterno per lanti-fiocco di neve…

11 Stadio 3 della costruzione del fiocco di neve di Koch Stadio 3 della costruzione dellanti-fiocco di neve di Koch La procedura continua a essere reiterata…

12 Stadio 4 della costruzione del fiocco di neve di Koch Stadio 4 della costruzione dellanti-fiocco di neve di Koch Si arriva al quarto stadio della costruzione…

13 Stadio 5 della costruzione del fiocco di neve di Koch Stadio 5 della costruzione dellanti-fiocco di neve di Koch Ecco il quinto stadio della costruzione… Nella mente dei matematici la procedura si ripete allinfinito…

14 Riassunto !

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