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Digital Image Processing, 2nd ed. www.imageprocessingbook.com © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet Analisi tempo-frequenza Cenni di Jpeg 2000.

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1 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet Analisi tempo-frequenza Cenni di Jpeg 2000

2 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione: concetti base Un segnale f(x) può essere analizzato come una combinazione lineare di funzioni: Se lespansione risulta essere unica, si dice che k (x) sono delle funzioni base. Le funzioni esprimibili con tale base formano uno spazio di funzioni V. Per ogni spazio V esiste un insieme di funzioni duali che possono essere usate per calcolare i coefficienti k come segue: In funzione dellortogonalità o meno delle funzioni base è possibile incontrare vari casi…

3 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione: concetti base Caso 1: le funzioni base formano una base ortonormale per V. Caso 2: le funzioni base formano una base ortogonale per V, ma non ortonormale. La relazione tra le funzioni base e le funzioni duali è: Caso 3: le funzioni base non formano una base ortogonale per V, cioè esiste più di una n-pla di coefficienti per lespansione della stessa funzione f(x). Le funzioni di espansione ed il loro duale sono dette sovradimensionate o ridondanti.

4 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Fissando il valore di j=j 0 le funzioni di espansione risultanti descrivono un sottoinsieme dello spazio totale. Indicheremo tale sottospazio come V j0. Multirisoluzione: funzioni di scala Si considerano ora la famiglia di funzioni ottenute da traslazioni intere e riduzioni di scala di tipo diadico: Il valore k imposta la posizione relativa della funzione, mentre il valore j ne imposta la scala. Scegliendo opportunamente le funzioni è possibile descrivere completamente lo spazio L 2 (R), cioè linsieme delle funzioni reali misurabili ed assolutamente integrabili. Aumentando il valore di j si aumenta la dimensione dello spazio che considera delle funzioni con variazioni più piccole e quindi dettagli più piccoli.

5 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Aumento di scala

6 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

7 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Le funzioni di scala sono ortogonali alle traslazioni intere I sottospazî descritti dalle funzioni di espansione in un basso valore di scala sono contenuti in quelli descritti dalle scale più alte La sola funzione comune a tutti i sottospazî V j è f(x)=0. Ogni funzione può essere espressa con una precisione arbitraria. Richieste fondamentali dellMRA

8 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Conclusioni sulle funzioni di scala Sotto le condizioni appena elencate, le funzioni di espansione del sottospazio V j possono essere come la somma pesata delle funzioni alla scala j+1. Sostituendo quindi la funzione j+1,n e rinominando i coefficienti n in h (n) si ottiene: o nella forma più generale nota come refinement equation o dilation equation:

9 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

10 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione: funzioni wavelet Partendo da una funzione di scala che soddisfi le richieste dellMRA viste precedentemente, si definisce la funzione wavelet (x). La funzione appena definita assieme alle sue traslazioni intere e le sue versioni riscalate è in grado di descrivere la differenza tra due sottospazî V j e V j+1. Si può definire linsieme j,k (x): se f(x) appartiene a W j La relazione tra lo spazio descritto dalla funzione di scala e quello descritto dalla wavelet risulta essere la seguente:

11 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione: funzioni wavelet Dallultima espressione si evince che il complemento ortogonale di V j in V j+1 risulta essere W j e che tutti i vettori di V j sono ortogonali a quelli di W j, perciò vale la seguente espressione: Si può quindi esprimere tutto lo spazio delle funzioni misurabili, quadrato integrabili come segue: Nellultima espressione è stata eliminata la funzione di scala è la funzione viene rappresentata in termini di sole funzioni wavelet.

12 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione: funzioni wavelet Si noti che se una funzione f(x) appartiene a V 1, ma non a V 0, unespansione che usi la prima configurazione vista conterrà unapprossimazione di f(x) in termini di V 0 ; le wavelet di W 0 condificheranno invece la differenza tra la funzione f(x) e lapprossimazione corrente. Similmente alle funzioni di scala, anche le funzioni wavelet possono essere espresse in termini di somma pesata delle funzioni di scala ad una risoluzione maggiore: I coefficienti della somma pesata appena vista sono noti come coefficienti della wavelet. Si può inoltre dimostrare la seguente relazione Si noti la somiglianza con la relazione intercorrente tra i filtri ortonormali del subband coding.

13 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Applicando lultima relazione vista, si possono calcolare i coefficienti di scala e delle wavelet delle wavelet di Haar. Esempio citato precedentemente

14 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet series expansion Definiamo lespansione in serie wavelet di una funzione continua f(x) relativamente alla wavelet (x) e alla funzione di scala (x) nel seguente modo: Coefficienti di scala o approssimazione Coefficienti wavelet o dettagli Per ogni valore di scala j>j0 viene sommata una funzione a risoluzione più fine per aggiungere maggiori dettagli. Se le funzioni di espansione formano una base ortonormale i coefficienti della serie possono essere calcolati nel seguente modo: Nel caso di base biortogonale, le funzioni con cui vengono calcolate le correlazioni sono sostituite con i corrispettivi duali.

15 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Coefficiente c 0

16 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Discrete wavelet transform Come già accennato precedentemente, se la funzione che viene espansa è una sequenza di campioni, i coefficienti risultanti sono quelli della DWT. Le somme prendono il posto degli integrali: Cfr. coeff. precedenti Fattore di normalizzazione cfr. DFT La variabile indipendente x risulta essere una variabile a valori interi. Come indicato prima, nel caso di basi ortonormali, le funzioni con cui fare la correlazione risultano essere quelle duali.

17 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Fast wavelet transform (FWT) La FWT è una realizzazione efficiente della DWT che sfrutta la relazione tra i coefficienti della DWT a scale diverse. La FWT è anche nota come Mallat herringbone algorithm e riutilizza lo schema di scomposizione visto nel subband coding.

18 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Fast wavelet transform (FWT) Si consideri lequazione di affinamento: Si scali ora la x di 2j e la si trasli di k, definendo m=2k+n Si fa notare come i vettori di scala h possono essere visti come pesi usati per espandere (2 j x-k) come somma delle funzioni di scala j+1. La stessa osservazione vale quindi per le wavelet: Dove il vettore h ha preso il posto di h. Consideriamo ora le espressioni usate per il calcolo dei coefficienti della DWT.

19 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Fast wavelet transform (FWT) Sostituendo quindi nellequazione lespressione vista pocanzi per (2 j x-k) si ottiene: dove lequazione tra parentesi quadre è la scomposizione della funzione f(x) alla scala j 0 =j+1. In altre parole si evince quanto segue: Relazione tra scale adiacenti

20 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Le espressioni appena viste conducono allimplementazione indicata sotto: Corrisponde ad una decimazione per 2

21 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Iterando quindi le espressioni viste precedentemente Si fa notare che i coefficienti della scala più elevata sono quelli della funzione di partenza.: le iterazioni successive producono coefficienti di scala J-1, J-2, et cetera

22 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

23 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Partendo dalle espressioni precedentemente viste si ottiene facilmente lo schema di decodifica cioè lo schema per il calcolo della FWT inversa.

24 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

25 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Estensione al caso 2-D La trasformata 1-D descritta precedentemente viene facilmente estesa al caso 2-D (es: immagini). In 2-D sono necessarie: 1 funzione di scala 2-D 3 funzioni wavelet 2-D Le funzioni ora citate possono essere ottenute utilizzando dei filtri separabili: Caso immagini: le funzioni wavelet misurano le variazioni dei toni di grigio lungo direzioni differenti. Si può quindi ridefinire la DWT in 2-D come indicato in seguito.

26 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Estensione al caso 2-D Date le funzioni separabili e le funzioni wavelet: La DWT in 2-D risulta essere: Come nel caso 1-D, j 0 è una scala di partenza scelta arbitrariamente. W rappresenta unapprossimazione dei dati di partenza, mentre i coefficienti W rappresentano i dettagli. Similmente al caso 1-D anche la trasformata bidimensionale può essere realizzata usando dei filtri digitali e dei decimatori. Più semplicemente si può applicare la FWT prima per righe e poi per colonne, in virtù della separabilità dei filtri.

27 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Convoluzione sulle righe e sulle colonne Generazione delle bande in frequenza bidimensionali.

28 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

29 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing N.B.: utile comando matlab waveinfo(sym) help waveinfo

30 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Esempi applicativi Andremo ora a considerare due esempi applicativi delle wavelet 2-D: Isolamento dei bordi verticali mediante filtraggio dei dettagli Eliminazione di rumore additivo gaussiano da unimmagine mediante thresholding.

31 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Esempio matlab

32 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Esempio matlab Hard thresholding Soft thresholding

33 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni di Jpeg2000 Perché un nuovo standard di compressione? Le immagini digitali odierne richiedono una qualità sempre maggiore ed risultano essere di risoluzioni sempre più elevate. Lo standard Jpeg2k rappresenta gli avanzamenti nella tecnologia di compressione delle immagini: è stato ottimizzato sia per efficienza che per scalabilità ed interoperabilità nelle reti e negli ambienti radiomobili. Lo standard è particolarmente indicato per: internet, facsimile a colori, stampa, scanner, fotografia digitale, applicazioni radiomobili, immagini mediche, archivi librari, et cetera.

34 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Caratteristiche principali: Superior low bit rate performance Continuous-tone and bilevel compression: possibilità di comprimere immagini da 1 a 16 bit per ogni componente di colore Lossless and lossy compression Progressive transmission Region of interest: spesso alcune parti delle immagini possono essere di maggior interesse e possono essere trasmesse con unaccuratezza maggiore Open architecture: un decoder può implementare il core del sistema ed il parser per la corretta interpretazione del flusso di dati Robustness: importante nelle trasmissioni senza fili Security: watermarking, encryption Cenni di Jpeg2000

35 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni di Jpeg2000 Nella figura sottostante viene illustrato il diagramma a blocchi del Jpeg2k. 1.Dapprima viene calcolata la trasformata discreta sullimmagine in ingresso 2.I coefficienti vengono quindi quantizzati 3.Infine si passa alla codifica entropica prima della generazione del flusso di dati Jpeg2k

36 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni di Jpeg2000 Sebbene lo schema precedente risulti molto simile a quello del Jpeg tradizionale, esistono enormi differenze in ognuno dei blocchi funzionali indicati. Breve descrizione del sistema di compressione/decompressione: Limmagine viene scomposta in componenti Le componenti possono venir divise in porzioni (tile) – opzionale La trasformata wavelet viene applicata ad ogni porzione, quindi ogni porzione è codificata a diverse risoluzioni I coefficienti alle varie risoluzioni vengono divisi in sottoinsiemi in base alle caratteristiche in frequenza I coefficienti delle sottobande vengono quantizzati e riuniti in matrici rettangolari (code block) I singoli bit plane vengono passati al codificatore entropico Vengono quindi aggiunti al flusso di dati dei marcatori per la correzione degli errori. Il flusso contiene inoltre unintestazione in cui viene descritta tutta la struttura dellimmagine.

37 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni di Jpeg2000 Limmagine originale può venir divisa in tile che vengono compresse in modo indipendente: si riduce il consumo di memoria. Tutte le tile devono avere la stessa dimensione (a parte quelle sui bordi), scelta in modo arbitrario. Considerazioni sulla qualità. Le componenti dellimmagine possono non avere la stessa profondità di bit e possono essere sia con segno che senza. La trasformazione delle componenti permette di ottenere quantizzazioni più agevoli. Esistono nel Jpeg2k 2 operazioni di trasformazione: ICT (irreversibile) ed RCT (reversibile). La ICT viene usata con il kernel 9/7 dal momento che la trasformata è irreversibile, mentre la RCT viene usata con il 5/3 che risulta essere reversibile. La DWT può essere reversibile (Le Gall 5/3) o irreversibile (Daubechies 9/7). Modalità di filtraggio: convolution e lifting scheme. Per assicurare il filtraggio dellintera immagine si ricorre allestensione simmetrica ai bordi che risulta essere dipendente dal filtro usato.

38 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni di Jpeg2000 Effetto del tiling nella compressione Jpeg2k

39 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni di Jpeg2000

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41 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni sui filtri Originariamente la DWT veniva realizzata mediante lapplicazione di filtri ortonormali che permettevano di mantenere inalterata lenergia del segnale (=> facilità nella progettazione del quantizzatore) Esiste però un problema intrinseco allutilizzo di un tale tipo di filtri: lespansione dei coefficienti. La convoluzione tra un segnale di lunghezza N ed un filtro di lunghezza M produce unuscita M+N-1 Per ovviare a ciò si può ricorrere alla convoluzione circolare anziché quella lineare. Essa però produce degli artefatti visibili (aumenta il numero di bit).

42 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Cenni sui filtri I problemi relativi alle discontinuità possono essere risolti utilizzando unestensione simmetrica del segnale: ciò garantisce la continuità tra le repliche ed elimina i coefficienti wavelet molto grandi. Un ulteriore problema è legato al fatto che se il filtro non è simmetrico, luscita risulta essere non simmetrica. Si ricorre quindi ai filtri simmetrici o antisimmetrici (a fase lineare). Lunico filtro ortonormale a fase lineare è quello di Haar. Si ricorre quindi ai filtri biortogonali. Esistono filtri biortogonali quasi ortogonali


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