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Digital Image Processing, 2nd ed. www.imageprocessingbook.com © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet Analisi tempo-frequenza Cenni di Jpeg 2000 Livio.

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1 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet Analisi tempo-frequenza Cenni di Jpeg 2000 Livio Tenze

2 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Testi utilizzati Wavelet transform, Sheng R. C. Gonzales and R. E. Woods. Digital Image Processing. Prentice Hall WTtutorial.htmlhttp://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/ WTtutorial.html Signal Processing Magazine, Review on JPEG 2000

3 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Argomenti del seminario 1/3 Introduzione all'analisi tempo-frequenza –Wavelet continua –Confronto con Fourier, Short time Fourier transform (STFT), Wigner, Ambiguity, Gabor, Wavelet –Ammissibilità e regolarità –Dal continuo al discreto Wavelet partendo dalla multirisoluzione –Scomposizione piramidale –Subband coding

4 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Argomenti del seminario 2/3 –Funzioni di scala e proprietà necessarie –Funzioni wavelet –Formalizzazione dell'espansione in serie, DWT, CWT, Fast wavelet transform (FWT) –Trasformata wavelet in 2 dimensioni Cenni alla compressione Jpeg 2000 –Perché una nuova trasformata per la compressione di immagini –Descrizione generale dello standard Jpeg 2k

5 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Argomenti del seminario 3/3 –Scelta dei kernel di filtri filtri ortogonali versus biortogonali filtri lineari e problemi ai bordi embedded zero-tree wavelet (EZW)

6 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet continua Analisi wavelet utile per segnali non stazionari –rispetto STFT e Wigner, la wavelet fornisce Q costante Le basi sono generate da una funzione madre mediante dilatazione e traslazione L'ammissibilità assicura l'esistenza dell'inversa La regolarità fornisce la località in frequenza e nel tempo Per ridurre il prodotto tempo-larghezza di banda si ricorre alla DWT

7 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet continua La trasformata ortonormale viene ottenuta in un ambiente multirisoluzione partendo dalle funzioni di scala (cfr subband coding, QMF) –Fast wavelet transform (FWT): algoritmo ad albero Applicazioni: –Analisi di segnali sismici, radar, sonar, elettrocardiografici, transitori motore –Compressione dei dati –Filtraggio

8 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet continua Sia data f(t) in L linsieme delle funzioni misurabili e di quadrato integrabili, si definisce la trasformata wavelet come: dove Per valori s>1 la funzione si contrae, mentre per valori 0

9 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet continua Si ottiene quindi: La trasformata di Fourier della wavelet risulta essere Una contrazione nel tempo corrisponde ad una dilatazione in frequenza. Si fa notare che le funzioni base non vengono specificate!

10 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet continua Le funzioni base vengono scelte sulla base di alcune proprietà fondamentali. Le principali sono lammissibilità e la regolarità delle funzioni. –Ammissibilità: la wavelet deve oscillare per avere il valor medio nullo –Regolarità: le wavelet devono avere un decadimento esponenziale con i momenti di ordine basso uguali a 0 –In altre parole la funzione oscilla e decresce Le wavelet possono essere continue o discrete, ortonormali o non ortonormali, analitiche o numeriche Se la funzione scelta soddisfa le due condizioni fondamentali, si ha che la trasformata possiede delle caratteristiche di località nel tempo. Il fattore 1/s assicura che i coefficienti divengano piccoli al crescere della frequenza. Ciò significa avere località in frequenza.

11 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Analisi tempo-frequenza La trasformata wavelet di un segnale 1-D è una funzione 2-D nello spatio tempo-scala La rappresentazione tempo-scala è molto simile alla rappresentazione tempo-frequenza familiare nella trasformata Short Time Fourier Transform (STFT) La wavelet è di particolare interesse per analizzare segnali non stazionarî (come i segnali vocali, radar, sonar, sismici, elettrocardiografici, musicali, torsionali e motoristici) ed è unalternativa alla classica STFT o alla trasformata di Gabor La wavelet è locale sia in tempo che in frequenza!

12 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Analisi tempo-frequenza Un esempio di rappresentazione tempo-frequenza è lo spartito musicale Lanalisi è limitata dal principio di indeterminazione o disuguaglianza di Heisenberg: Un segnale non può essere rappresentato su un piano tempo- frequenza come un punto, si può unicamente determinare la sua posizione allinterno di un rettangolo.

13 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Limitazioni di Fourier La trasformata di Fourier non è sufficiente per segnali tempo varianti. Fourier fornisce una perfetta località in frequenza, ma una globalità nel tempo. Inoltre non fornisce alcuna informazione sulla variazione temporale del segnale sotto esame. La STFT, la Gabor transform, la distribuzione di Wigner e lambiguity function sono delle soluzioni per lanalisi di segnali tempo-varianti.

14 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Short Time Fourier Transform Gabor introdusse nel 1940 la STFT che è nota anche come sliding window Fourier Transform ed è definita come segue: dove g(t) è una funzione finestra scelta opportunamente. Vengono definite come funzioni di Gabor: È richiesto inoltre che

15 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Spectrogram e Sonogram Risoluzione tempo-frequenza Short Time Fourier Transform Finestra gaussiana La finestra gaussiana fornisce il minimo prodotto tempo- banda determinato dal principio di indeterminazione.

16 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wigner distribution E unalternativa alla STFT per segnali non stazionari È la trasformata di Fourier del prodotto tra la funzione dilatata e spostata nel tempo di per la stessa funzione complessa e coniugata dilatata ed invertita. La proiezione lungo lasse temporale fornisce il modulo al quadrato della F La proiezione lungo lasse delle frequenze è invece 2 |f(t)| 2

17 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Ambiguity function La ambiguity function può essere vista come una funzione di autocorrelazione tempo-frequenza del segnale con un ritardo t ed uno scostamento Doppler in frequenza. Sia la distribuzione di Wigner che la ambiguity sono utili per lanalisi di segnali transitori La somma di due segnali produce dei termini di prodotto incrociato che possono essere fastidiosi nellanalisi.

18 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione wavelet La trasformata wavelet risulta essere la correlazione tra una funzione e la wavelet dilatata Ad una data risoluzione la trasformata viene calcolata mediante un filtro la cui risposta in frequenza è scalata come h(t/s) Quando la scala è piccola, la funzione è concentrata nel tempo Quando la scala è grande, la wavelet è dilatata nel tempo.

19 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Fidelity analysis La versione contratta della wavelet permette di analizzare le discontinuità e le singolarità con un supporto temporale piccolo. Allo stesso modo è possibile sfruttare una versione dilatata della wavelet per avere una visione globale del fenomeno. La STFT non possiede le proprietà precedentemente elencate. Si può dimostrare che il rapporto tra la frequenza centrale di analisi e la larghezza di banda (noto come fattore Q) nellanalisi wavelet risulta essere:

20 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Proprietà delle wavelet Se la funzione scelta è di quadrato integrabile e soddisfa la condizione di ammissibilità, può essere considerata una wavelet. Se la funzione soddisfa la condizione di regolarità, risulta essere locale in tempo e frequenza.

21 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Ammissibilità La trasformata wavelet di un segnale 1d è una rappresentazione 2d del segnale: è necessario che non si perda informazione nella trasformata. A tale scopo è necessario che sia verificata la seguente espressione: La precedente espressione viene verificata quando: Ciò implica che la trasformata di Fourier della H deve avere un valore 0 alla frequenza =0. In altre parole le wavelet hanno un comportamento passabanda. Nel dominio del tempo quindi si ha che:

22 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Regolarità Si impone una richiesta aggiuntiva in modo tale che la trasformata garantisca una riduzione dei coefficienti con il diminuire della scala (aumentare della frequenza). In tal senso si avrà uno smussamento ed una concentrazione in tempo ed in frequenza. Si può scrivere la seguente espressione: Partendo dalla precedente espansione in serie, si può imporre il valore dei primi n valori M p =0, p=0,1,…,n. In questo modo i coefficienti della trasformata wavelet saranno decrescenti come s n+2. tempofrequenza

23 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Esempi di wavelet Esempio matlab

24 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Passaggio dal continuo al discreto La trasformata wavelet continua rappresenta un segnale monodimensionale in termini di tempo-scala: ridondante! Risulta quindi che il prodotto tempo-larghezza di banda è il quadrato di quello del segnale di partenza Luso di wavelet discrete può ridurre tale prodotto: si noti che il fattore di traslazione dipende dal valore di s 0 (che usualmente è pari a 2 => espansione diadica) e dal valore i che determina la scala che si sta analizzando. Analogia con il microscopio … Si può dimostrare che la trasformata wavelet ortonormale produce un prodotto tempo-frequenza identico a quello del segnale di partenza.

25 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Passaggio dal continuo al discreto Se il segnale di partenza è continuo ed anche le funzioni wavelet sono continue nella scala e nel tempo, si ottiene la trasformata wavelet continua. Quando il segnale in ingresso è continuo, ma le funzioni wavelet sono discrete in tempo e scala, si ottiene la scomposizione in serie wavelet. La teoria delle wavelet usando lanalisi dello spazio delle funzioni dimostra che lespansione in serie e la ricostruzione delle funzioni continue possono essere calcolate con un approccio a multirisoluzione con filtri discreti. Quando la trasformata wavelet è calcolata con il calcolatore, il segnale in ingresso ed i filtri da iterare sono discreti: in questo senso si parla di discrete wavelet transform. Analogie con trasformata di Fourier

26 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet partendo dalla multirisoluzione La multirisoluzione incorpora e unifica tecniche provenienti da discipline diverse: subband coding, quadrature mirror filtering, scomposizione piramidale Consiste nellanalizzare e nel rappresentare i segnali a più risoluzioni Esistono varie vie per introdurre le wavelet, forse la più agevole è quella che parte dallMRA Idea di fondo: –oggetti di piccole dimensioni e di basso contrasto sono più visibili a risoluzioni elevate –Il viceversa vale per gli oggetti di grandi dimensioni

27 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Es: limmagine possiede una statistica locale variabile

28 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Tecnica potente e semplice per rappresentare le immagini a più risoluzioni: –Immagini a risoluzione decrescente organizzate in maniera piramidale: –Applicazioni tipiche in machine vision e compressione –Si possono costruire 2 piramidi: una approssimante ed una contenente i residui di predizione (prediction residual) –Il residuo può essere codificato facilmente –Si hanno J-1 approssimazioni e J residui di predizione Scomposizione piramidale

29 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

30 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Scomposizione piramidale Descrizione dell'algoritmo: filtraggio e decimazione del segnale in ingresso per ottenerne un'approssimazione il risultato ottenuto al punto precedente viene interpolato x2 e si valuta la differenza tra il segnale originale e quello così ottenuto in assenza di errori di quantizzazione, i residui possono permettere di ricostruire a ritroso la piramide di approssimazione le approssimazioni possono essere compresse (statistica attorno allo zero) Es: piramide, stima del moto

31 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

32 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Subband coding Il segnale viene diviso in componenti di larghezza di banda limitata Dal segnale scomposto si può ritornare all'originale Applicazioni tipiche per segnali vocali e compressione di immagini.

33 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Subband coding Algoritmo di analisi si filtra il segnale con 2 filtri (a larghezza di banda limitata): uno LP ed uno HP i segnali così ottenuti possono essere decimati senza perdita di informazione Algoritmo di sintesi i segnali vengono interpolati intervallando un campione ed uno zero quindi si filtrano i segnali così trattati e si sommano Si presta all'uso di filtri polifase

34 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

35 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Subband coding La versione ricostruita del segnale, alluscita del banco di sintesi, risulta allora essere: Si noti che

36 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Subband coding Se si applicano quindi i filtri ai vari ingressi si ottiene lespressione delluscita del banco di sintesi: Ciò che si vuole ottenere è la perfetta ricostruzione dellingresso x(n) alluscita del banco di sintesi. Per ottenere questo risultato si impone quanto segue: Si ottiene quindi il seguente sistema lineare:

37 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Subband coding Scegliendo opportunamente il valore di e di =2 e calcolando linversa della Z-trasformata del sistema lineare visto pocanzi, si ottiene: Scegliendo invece =-2, si ottiene: I filtri di sintesi risultano essere copie intermodulate dei filtri di analisi. Si può dimostrare che i filtri appena calcolati risultano essere biortogonali.

38 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Ortonormalità, biortogonalità Mantenendo le notazioni precedentemente usate per i filtri calcolati, si definisce ora il concetto di biortogonalità. Una coppia di filtri si dice biortogonale se: Oltre alla biortogonalità, i filtri in questione (colonna 3 della figura) possono anche soddisfare una condizione maggiormente restrittiva, quella della ortonormalità:

39 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing I filtri indicati in questa tabella possono essere facilmente generalizzati al caso 2-D.

40 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Considerazioni sulla memoria necessaria ai filtri separabili.

41 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

42 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Average Details: V,H,D

43 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing A differenza dalla semplice scomposizione piramidale la DWT possiede le seguenti proprietà: la statistica locale è relativamente costante e facilmente modellizzabile. Molti valori risultano essere nulli: quindi risulta utile nella compressione. Si possono ottenere approssimazioni ad alte e basse risoluzioni partendo dalla DWT.

44 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione: concetti base Un segnale f(x) può essere analizzato come una combinazione lineare di funzioni: Se lespansione risulta essere unica, si dice che k (x) sono delle funzioni base. Le funzioni esprimibili con tale base formano uno spazio di funzioni V. Per ogni spazio V esiste un insieme di funzioni duali che possono essere usate per calcolare i coefficienti k come segue: In funzione dellortogonalità o meno delle funzioni base è possibile incontrare vari casi…

45 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Multirisoluzione: concetti base Caso 1: le funzioni base formano una base ortonormale per V. Caso 2: le funzioni base formano una base ortogonale per V, ma non ortonormale. La relazione tra le funzioni base e le funzioni duali è: Caso 3: le funzioni base non formano una base ortogonale per V, cioè esiste più di una n-pla di coefficienti per lespansione della stessa funzione f(x). Le funzioni di espansione ed il loro duale sono dette sovradimensionate o ridondanti.

46 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Fissando il valore di j=j 0 le funzioni di espansione risultanti descrivono un sottoinsieme dello spazio totale. Indicheremo tale sottospazio come V j0. Multirisoluzione: funzioni di scala Si considerano ora la famiglia di funzioni ottenute da traslazioni intere e riduzioni di scala di tipo diadico: Il valore k imposta la posizione relativa della funzione, mentre il valore j ne imposta la scala. Scegliendo opportunamente le funzioni è possibile descrivere completamente lo spazio L 2 (R), cioè linsieme delle funzioni reali misurabili e di quadrato integrabili. Aumentando il valore di j si aumenta la dimensione dello spazio che considera delle funzioni con variazioni più piccole e quindi dettagli più piccoli.

47 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing Aumento di scala

48 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Chapter 7 Wavelets and Multiresolution Processing

49 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Le funzioni di scala sono ortogonali alle traslazioni intere I sottospazî descritti dalle funzioni di espansione in un basso valore di scala sono contenuti in quelli descritti dalle scale più alte La sola funzione comune a tutti i sottospazî V j è f(x)=0. Ogni funzione può essere espressa con una precisione arbitraria. Richieste fondamentali dellMRA

50 Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Conclusioni sulle funzioni di scala Sotto le condizioni appena elencate, le funzioni di espansione del sottospazio V j possono essere come la somma pesata delle funzioni alla scala j+1. Sostituendo quindi la funzione j+1,n e rinominando i coefficienti n in h (n) si ottiene: o nella forma più generale nota come refinement equation o dilation equation:


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