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EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO 2 NICOLO TARTAGLIA GEROLAMO CARDANO.

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Presentazione sul tema: "EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO 2 NICOLO TARTAGLIA GEROLAMO CARDANO."— Transcript della presentazione:

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2 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

3 2 NICOLO TARTAGLIA GEROLAMO CARDANO

4 3 UN PO DI STORIA periodo babiloneseMolti testi risalenti al periodo babilonese antico( a.C.) mostrano che i babilonesi erano in grado di risolvere equazioni di primo, secondo e anche di terzo grado

5 4 Anche gli antichi greci avevano affrontato il problema della risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado, ma sempre da un punto di vista geometrico. Le equazioni venivano impostate e risolte mediante una opportuna interpretazione geometrica

6 La storia del rinvenimento della formula risolutiva dell'equazione di terzo grado si sviluppa nella prima metà del Si può affermare che gli autori della formula risolutiva sono: : Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, e Gerolamo Cardano. Ognuno di essi ha contribuito alla risoluzione del problema.

7 6 La difficoltà storica di attribuire la paternità di una formula è legata alle motivazioni socio-economiche che spingevano questi matematici verso la ricerca scientifica. Colui che trovava una formula generale non la rendeva pubblica, ma si serviva di essa per risolvere i più svariati problemi che ad essa si riconducevano, ricavandone così maggiore gloria.

8 7 In quellepoca i lettori di matematica avevano un incarico annuale ed erano pagati secondo la loro fama. Inoltre erano di uso comune le cosiddette disfide in cui un matematico sottoponeva ad un altro una serie di problemi e lo sfidava a risolverli. Dai risultati di queste sfide dipendeva il rinnovo dellincarico annuale.

9 8 Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno. Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo grado; quelli proposti da Fior potevano essere ricondotti tutti all'unico tipo che conosceva di equazione di terzo grado, la cui formula risolutiva gli era stata rivelata dal suo maestro Scipione dal Ferro. La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questi aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.

10 9 Cardano La notizia giunge a Cardano, medico, scienziato e astrologo dalla fama internazionale. Cardano cerca di convincere Tartaglia a rivelargli la formula. Dopo numerose insistenze Tartaglia cede richiedendo che la formula restasse segreta.

11 10 Formula risolutiva di Tartaglia Quando che 'l cubo con le cose appresso Se agguaglia a qualche numero discreto trovan dui altri differenti in esso. u - v = q x 3 + p x = q

12 11 Formula risolutiva di Tartaglia Da poi terrai questo per consueto che 'l lor produtto, sempre sia eguale al terzo cubo delle cose netto u · v = (p/3) 3 el residuo poi suo generale delli lor lati cubi ben sottratti varrà la tua cosa principale

13 12 Nel 1545, contravvenendo alla promessa verso Tartaglia, Cardano pubblica nell'Ars magna la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. Invece di trattare la formula generale con il complesso linguaggio che ne sarebbe derivato, Cardano affronta un caso particolare, un esempio diremmo oggi, sottintendendo che il metodo si può applicare a qualsiasi caso.

14 13 IN GENERALE LEQUAZIONE: SI RISOLVE CON LA FORMULA

15 14 RISOLUZIONE DI UNEQUAZIONE DEL TIPO : RISOLUZIONE DI UNEQUAZIONE DEL TIPO : RISOLUZIONE DI UNA GENERICA EQUAZIONE CUBICA RISOLUZIONE DI UNA GENERICA EQUAZIONE CUBICA

16 15 Ludovico Ferrari Ludovico Ferrari dell'equazione generale di 4° grado Qualche decennio dopo, Ludovico Ferrari perviene alla risoluzione, con radicali quadratici e cubici, dell'equazione generale di 4° grado, riducendola al 3° grado.Ludovico Ferrari La conseguenza più importante delle scoperte delle formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado fu il potente stimolo che esse diedero allo sviluppo dellalgebra in diverse direzioni.

17 16 Si fecero tentativi per risolvere lequazione di quinto gradoSi fecero tentativi per risolvere lequazione di quinto grado Furono presi in considerazione anche i numeri immaginari e complessiFurono presi in considerazione anche i numeri immaginari e complessi

18 17 EQUAZIONI DI GRADO MAGGIORE DI 2 EQUAZIONI BINOMIE EQUAZIONI BINOMIE EQUAZIONI BINOMIE EQUAZIONI BINOMIE EQUAZIONI TRINOMIE EQUAZIONI TRINOMIE EQUAZIONI TRINOMIE EQUAZIONI TRINOMIE EQUAZIONI BIQUADRATICHE EQUAZIONI BIQUADRATICHEEQUAZIONI BIQUADRATICHEEQUAZIONI BIQUADRATICHE EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO

19 18 EQUAZIONI BINOMIE Unequazione binomia di grado n è del tipo n pari n dispari

20 19 EQUAZIONI BINOMIE n dispari 1 soluzione reale e n-1 soluzioni non reali esempio

21 20 EQUAZIONI BINOMIE n pari 2 soluzioni reali e n-2 soluzioni non reali esempio

22 21 EQUAZIONI BINOMIE n pari nessuna soluzione reale esempio

23 22 EQUAZIONI TRINOMIE esempio

24 23 si pone lequazione diventa unequazione di secondo grado in t

25 24 Che risolta dà: Se Due soluzioni reali t 1 e t 2 distinte SeDue soluzioni reali t 1 = t 2 coincidenti SeNessuna soluzione reale

26 25 Dalle soluzioni t 1 e t 2 dellequazione Otteniamo le soluzioni dellequazione trinomia data risolvendo le equazioni binomie: esempio

27 26 EQUAZIONI BIQUADRATICHE Unequazione trinomia di quarto grado si chiama equazione biquadratica esempio

28 27 esempio EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO Per risolvere una generica equazione di grado n è utile, se possibile, scomporre il polinomio associato in polinomi di primo o secondo grado e quindi risolvere la suddetta equazione applicando la legge di annullamento del prodotto esempio

29 FINE A.Sacchi

30 29 Infatti ogniqualvolta le tre soluzioni di unequazione di terzo grado erano reali e diverse da zero, la formula di Tartaglia- Cardano portava a radici quadrate di numeri negativi. Si sapeva che il risultato ultimo doveva essere reale ma questo non poteva essere raggiunto senza prendere in considerazione i numeri complessi.

31 30 Nel 1799 Paolo Ruffini e nel 1828 il norvegese Niels Abel, indipendentemente l'uno dall'altro, dimostrarono che per una equazione algebrica di grado superiore al 4° non è possibile esprimere le radici per mezzo di un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici.

32 31 Ludovico Ferrari ( ) Matematico bolognese autore di importantissimi contributi alla teoria delle equazioni

33 32 ESEMPIO

34 33 ESEMPIO Si scompone il polinomio a primo membro Si applica la legge di annullamento del prodotto

35 34 ESEMPIO

36 35 ESEMPIO Nessuna soluzione reale

37 36 ESEMPIO

38 37 ESEMPIO Si scompone il polinomio a primo membro con la regola di Ruffiniregola di Ruffini Si ottiene: Si applica la legge di annullamento del prodotto

39 38 Regola di Ruffini divisore

40 39 ESEMPIO Si scompone il polinomio a primo membro Si applica la legge di annullamento del prodotto

41 40 ESEMPIO 1

42 41 ESEMPIO 2

43 42 Dividiamo per a 0

44 43 Si sostituisce : In modo da eliminare il termine di secondo grado. A calcoli fatti si ottiene:


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