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Laboratorio Macchine Aritmetiche La Pascalina 27 gennaio 20141.

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Presentazione sul tema: "Laboratorio Macchine Aritmetiche La Pascalina 27 gennaio 20141."— Transcript della presentazione:

1 Laboratorio Macchine Aritmetiche La Pascalina 27 gennaio 20141

2 Le calcolatrici meccaniche si diffusero in Europa partire dal XVII secolo, quando era ormai noto (anche se non sempre utilizzato nella pratica) il sistema di notazione posizionale 27 gennaio Origini

3 Blaise Pascal mise a punto una macchina da calcolo (lantenato delle attuali calcolatrici) che eseguiva addizioni e sottrazioni utilizzando una serie di ruote dentate analoghe a quelle utilizzate negli orologi dellepoca 27 gennaio Un po di storia…

4 La Pascalina, così è stata soprannominata la macchina da calcolo di Pascal, è stata una delle prime macchine da calcolo in grado di effettuare addizioni e sottrazioni con il riporto automatico delle unità 27 gennaio Un po di storia…

5 Il primo esemplare di pascalina fu costruito da Pascal per aiutare il padre, funzionario delle imposte a gestire la propria contabilità. 27 gennaio

6 Nella presentazione della sua macchina, nel 1645, Pascal scriveva: Tu mi sarai grato dellimpegno di cui mi son fatto carico per fare in modo che tutte le operazioni che con i metodi precedenti erano penose, complicate, lunghe e mai sicure diventassero ora facili, semplici, veloci e affidabili. 27 gennaio 20146

7 Che cosa useremo noi pascaline Zero+1 prodotte da Quercetti (ispirate allartefatto storico) 27 gennaio 20147

8 Domande chiave 1. Come è fatta la macchina? (Artefatto) 2. Cosa fa la macchina? (Artefatto -> Strumento Processi di produzione di congetture e sviluppo di argomentazioni) 3. Perché? (Argomentazioni che legano la struttura e movimento della macchina con la matematica in essa incorporata) 4. Cosa succederebbe se …? (Genesi condizionalità problem posing e solving) 8

9 Come è fatta? Le componenti della macchina Le reazioni tra queste I possibili movimenti … 9

10 1.Artefatto (Come è fatta la macchina) La pascalina è costituita di cinque ruote dentate. Ognuna è divisa in dieci settori o denti. Sulle tre ruote in basso ( ruote significative) sono indicate le cifre dallo 0 al 9 del sistema decimale. Le due ruote in alto sono ruote ausiliarie (ruote di trasmissione) che consentono, per mezzo delle barrette ad esse vincolate, di trasmettere il moto da una ruota allaltra. 27 gennaio

11 Cosa fa? Rappresentare sulla Pascalina il numero 5 Rappresentare sulla Pascalina il numero 11 Rappresentare sulla Pascalina il numero 29 Possibile consegna: Descrivere per iscritto in modo accurato il procedimento svolto, motivando le scelte fatte 11

12 2.Strumento (Cosa fa la macchina) Rappresentazione di numeri naturali Nella pascalina un numero è rappresentato mediante una terna di cifre: la ruota a destra indica le unità; la ruota centrale indica le decine; la ruota a sinistra indica le centinaia. Analogie e differenze con altri strumenti di calcolo 27 gennaio

13 2.Strumento (Cosa fa la macchina) Operazioni di addizione e sottrazione Diversi modi di sommare due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso orario a partire da … Diversi modi di sottrarre due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso antiorario a partire da … 27 gennaio

14 2.Strumento (Cosa fa la macchina) Operazioni di addizione e sottrazione Diversi modi di sommare due numeri: Come combinazione di addizione e sottrazione (completamento…) Sulla pascalina è favorito il collegamento tra le due operazioni di addizione e sottrazione. 27 gennaio

15 Perché lo fa? In che modo la macchina garantisce lo svolgimento delle operazioni? Quale matematica incorpora? 15

16 3.Matematica incorporata a)Assiomi di Peano (numeri naturali) In N cè un elemento indicato con il simbolo 0 (zero). Esiste una funzione biunivoca o operatore (detta successivo) : N N* = N – {0} La funzione inversa si chiama precedente. Tali funzioni sono spesso richiamate con il simbolo: +1 e -1. N è infinito ed equipotente ad un sottoinsieme proprio (per la definizione di Dedekind). 27 gennaio

17 3.Matematica incorporata b) Notazione posizionale Ogni numero naturale può essere scritto come combinazione lineare di potenze di dieci, utilizzando come coefficienti della combinazione le dieci cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9: n = a k 10 k + …. + a a a 0 Ovvero, scritto velocemente : n = a k …. a 2 a 1 a 0 27 gennaio

18 Alcuni esempi di consegne Analizzare le possibili strategie di risoluzione Il ruolo dello strumento I concetti matematici coinvolti 18

19 Usare la pascalina per svolgere le seguenti operazioni: Come avete usato la pascalina (per formare i numeri e per fare le operazioni)? Quali caratteristiche della macchina avete sfruttato? In che modo? Quali conoscenze matematiche avete messo in gioco? 19 rete di strumenti (pascalina, mani, fogli,…) schemi dutilizzo e proprietà delle operazioni

20 Strumento Operazioni di addizione e sottrazione Diversi modi di sommare due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso orario a partire da … Diversi modi di sottrarre due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso antiorario a partire da … 20

21 Significati matematici coinvolti Addizione (definizione e proprietà) Laddizione è definita ricorsivamente Laddizione per decomposizione Laddizione per completamento Elemento neutro delladdizione Proprietà commutativa delladdizione Proprietà associativa delladdizione 21

22 Significati matematici coinvolti Sottrazione (definizione e proprietà) La sottrazione è definita ricorsivamente La sottrazione per decomposizione La sottrazione per completamento Elemento neutro della sottrazione Non commutativa della sottrazione Non associativa della sottrazione 22

23 Strumento (Cosa fa la macchina) Operazioni di addizione e sottrazione Sulla pascalina è favorito il collegamento tra le due operazioni di addizione e sottrazione. E poi moltiplicazione e divisione… 23

24 La divisione… 35 :12=? Nella divisione gli schemi duso sono gli stessi che nel caso delle altre operazioni? Che significato ha il numero che si ottiene? Divisione come sottrazione ripetuta Divisione euclidea (significato di resto) 27 gennaio

25 Limiti della macchina Cosa succede se faccio ? Perché? Quale risultato ottengo se faccio o -1? Oppure 3-5? Perché? Posso fare ? Che risultato ottengo? Perchè? …. 25

26 Funzioni di successivo e precedente su un insieme finito di 1000 elementi. Operazioni su un insieme finito di 1000 elementi 26

27 Problem solving Si può fare loperazione 8-3 girando le ruote SEMPRE in senso orario? Se sì, perché; se no, perché. Produzione di enunciati Confronto enunciati Produzione di argomentazioni Confronto di argomentazioni 27

28 IL PROGETTO MMLab-ER: un esempio con la PASCALINA Rossella Garuti Dirigente scolastico e insegnante -ricercatore Dottorato presso lUniversità di Modena e Reggio Emilia 28

29 29 Un esempio di laboratorio: la pascalina 1° B - 28 ALUNNI Scuola media A. Chionna Lizzano TARANTO 20 – 24 APRILE 2009

30 30 SCHEMA DELLE ATTIVITA 1.La pascalina come artefatto: come è fatta la macchina? 2.Alla scoperta di alcuni schemi duso della Pascalina 3.Laddizione e la sottrazione: diversi schemi duso. Come funziona? Perché? 4.Un problema curioso: calcola 8-3=?????? 5.La moltiplicazione: diversi schemi duso Come funziona? Perché? 6.La divisione: diversi schemi duso. Come funziona? Perché? 7.Criteri di divisibilità con la pascalina 8.Una lettera storica: Blaise Pascal (1645)

31 31 SCHEMA DELLE ATTIVITA 1.La pascalina come artefatto: come è fatta la macchina? 2.Alla scoperta di alcuni schemi duso della Pascalina 3.Laddizione e la sottrazione: diversi schemi duso. Come funziona? Perché? 4.Un problema curioso: calcola 8-3=?????? 5.La moltiplicazione: diversi schemi duso Come funziona? Perché? 6.La divisione: diversi schemi duso. Come funziona? Perché? 7.Criteri di divisibilità con la pascalina 8.Una lettera storica: Blaise Pascal (1645)

32 32 lARTEFATTO cioè gli INGRANAGGI Disegna e descrivi come è fatta la pascalina senza farla girare (Sadmir e Tania) 1° giorno- 20 aprile 2009

33 33 1° giorno- 20 aprile 2009 lARTEFATTO cioè gli INGRANAGGI Descrivi come si muove la pascalina (Giacomo) Quando la ruota in basso a destra arriva a 9 fa muovere la ruota arancione che a sua volta muove la seconda ruota gialla. Le ruote arancioni si muovono quando una gialla arriva a 9. Le ruote dentate gialle si possono muovere sia in senso orario che antiorario. Secondo me le ruote arancioni servono a far muovere le ruote gialle

34 34 argomentare, congetturare e dimostrare Come fare affinché si muovano tutte e 5 le ruote insieme? Qualsiasi Tutti

35 35 Dimostra le congetture prodotte Sulla Pascalina numero ruote 5 Posso provare tutte le configurazioni …..…. e se le ruote fossero n?

36 36 Le domande chiave « cosa succede se…?» « perché?»

37 37 La Pascalina non è ancora una MACCHINA ARITMETICA è tuttal più un INGRANAGGIO FAI UN CLICK VERSO LALTO (ANTIORARIO) FAI UN CLICK VERSO IL BASSO (ORARIO) AGGIUNGI 1 SOTTRAI 1

38 38 STRUMENTO Fai con la Pascalina la seguente addizione = Spiega con cura quello che fai. Spiega con cura cosa fa la macchina

39 39 Posiziono la Pascalina a 729 e siccome 11 è composta da una decina e da una unità devo aggiungere 1 alla ruota gialla a destra che fa il riporto di 1 alla ruota centrale e poi devo aggiungere 1 a questultima (Flavia) Due diversi schemi duso Posiziono la Pascalina a 729 e poi giro 11 volte la ruota gialla a destra. La Pascalina fa il riporto quindi si muove anche la ruota gialla centrale (valentina)

40 40 Lo schema dutilizzo di Flavia corrisponde a =740 Due diversi schemi dutilizzo Lo schema dutilizzo di Valentina corrisponde a =740

41 41 Diverse strategie, il problema è il PERCHE queste strategie funzionano! Abbiamo posizionato la pascalina a 998 dopo abbiamo aggiunto 7 unità è ci è uscito =005 Perché la pascalina arriva a 999 fa un giro completo esce 000 ci aggiungiamo 7 e viene 5 (Gianluca) Per fare questa operazione devo individuare il sottraendo che è 3; per arrivare a 10 me ne mancano 7 così basta fare 7 click in senso orario e sulla ruota delle unità ci sarà 5! (Claudia)

42 42 Se le diverse strategie funzionano, PERCHE funzionano?

43 IL LABORATORIO DI MATEMATICA: ASPETTI STORICI, EPISTEMOLOGICI, DIDATTICI E COGNITIVI. IL PROGETTO REGIONALE MMLAB-ER. Tesi di dottorato di Rossella Garuti 27 gennaio line/Home/ProgettoRegionaleEmiliaRomagna/RisultatidelProgetto/ TesididottoratosulProgettoRegionale.html

44 Grazie! 27 gennaio


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