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M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA Un manipolatore è costituito da un insieme.

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1 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA Un manipolatore è costituito da un insieme di corpi rigidi (bracci) connessi in cascata tramite coppie cinematiche (giunti) a formare una catena cinematica in cui un estremo è connesso con una base ed allaltro è connesso un organo terminale (di presa od utensile per le operazioni e la manipolazione) I giunti possono essere: di rotazione o rotoidali di traslazione o prismatici

2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion GIUNTOGrado mobilitàVariabile di giunto Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA Obiettivo della cinematica diretta è la determinazione di posizione ed orientamento dellorgano terminale in funzione dei valori assunti dalle variabili di giunto Definizione:

3 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Abbiamo visto che la posa di un corpo rispetto ad una terna di riferimento è caratterizzata dal vettore posizione dellorigine e dai versori della terna solidale al corpo stesso visti dalla terna di riferimento Dunque la funzione cinematica diretta può essere espressa dalla matrice di trasformazione omogenea: Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA In cui: q è il vettore delle variabili di giunto n e s e a e sono i versori della terna solidale allorgano terminale (riferiti alla terna base: apice b) p e è il vettore posizione dellorigine della terna solidale allorgano terminale (riferito alla terna base: apice b) Terna utensile Terna base

4 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Lorigine della terna utensile si pone al centro della pinza Il versore a e (approccio) si sceglie nella direzione di avvicinamento, rappresenta lasse z Il versore s e (scivolamento) si sceglie nella direzione di scorrimento degli elementi prensili, rappresenta lasse y Il versore n e (normale) si sceglie normale agli altri due in modo da rendere la terna levogira, rappresenta lasse x Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA

5 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Una modalità per il calcolo della cinematica diretta consiste nella soluzione geometrica della struttura del manipolatore assegnato Nel caso della struttura planare a due giunti, mediante le regole della trigonometria si ottiene: Esempio di soluzione della CINEMATICA DIRETTA Convenzione:

6 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion … lefficacia dellapproccio appena visto si fonda sulla scelta oculata delle grandezze di interesse e dallabilità ed intuizione geometrica dellanalista Ma quando la struttura del manipolatore è complessa ed il numero dei giunti è elevato si rende preferibile ladozione di una procedura sistematica e generale Tale procedura esiste nel caso di manipolatori a catena cinematica aperta: considerando separatamente il problema della descrizione dei legami cinematici (e della descrizione relativa delle coordinate) e risolvendo in maniera ricorsiva il problema della descrizione complessiva della cinematica del manipolatore Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA

7 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Dunque si definisce una terna solidale ad ogni braccio per cui la trasformazione di coordinate complessiva è: Tale calcolo risulta essere ricorsivo ed ottenuto mediante semplici moltiplicazioni tra matrici (seguendo la regola della moltiplicazione da dx verso sx della trasformazione di coordinate) di cui ognuna risulta essere funzione di una singola variabile di giunto e 2 1 b Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA

8 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA PROVATE A DETERMINARE LA ROTAZIONE DELLA CINEMATICA DIRETTA MEDIANTE COMPOSIZIONE DI MATRICI DI TRASFORMAZIONE DI COORDINATE OMOGENEE e 2 1 b z y x y x y

9 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA e 2 1 b z y x y x y

10 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA (vista prima) =

11 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Allo scopo di estendere la generalizzazione anche alla scelta delle terne solidali ai bracci si perviene al metodo di Denavit- Hartenberg La convenzione prevede la seguente procedura: 1.si sceglie lasse z i giacente lungo lasse del giunto i+1 2.si individua O i allintersezione dellasse z i con la normale comune (retta di minima distanza) agli assi z i-1 e z i ; si individua O i con lintersezione della normale comune con z i-1 3.si sceglie lasse x i diretto lungo la normale comune agli assi z i-1 e z i con verso positivo del giunto i al giunto i+1 4.si sceglie lasse y i in modo da completare una terna levogira

12 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg 1.si sceglie lasse z i giacente lungo lasse del giunto i+1

13 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion 2.si individua O i allintersezione dellasse z i con la normale comune (retta di minima distanza) agli assi z i-1 e z i ; si individua O i con lintersezione della normale comune con z i-1 OiOi OiOi Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

14 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion OiOi OiOi 3.si sceglie lasse x i diretto lungo la normale comune agli assi z i-1 e z i con verso positivo del giunto i al giunto i+1 Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

15 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion OiOi OiOi 4.si sceglie lasse y i in modo da completare una terna levogira Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

16 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion La terna risulta non essere univocamente determinata nei seguenti casi: per la terna 0 (non esistendo la -1) solo la direzione di z 0 risulta specificata: si possono scegliere arbitrariamente O 0 ed x 0 quando due assi consecutivi sono paralleli quando due assi consecutivi si intersecano x i risulta arbitrario quando il giunto i è prismatico solo la direzione dellasse z i-1 è specificata (lungo la direzione di scorrimento del giunto) In tali casi lindeterminazione non risulta essere un problema, bensì può essere sfruttata per semplificare la procedura (ad esempio nel caso di allineamento delle terne consecutive) Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

17 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Una volta definite le terne solidali ai bracci la posizione e lorientamento della terna i rispetto alla i-1 risultano specificate dai seguenti parametri: a i distanza di O i da O i d i coordinata su z i-1 di O i i angolo intorno allasse x i tra lasse z i-1 e lasse z i i angolo intorno allasse z i-1 tra lasse x i-1 e lasse x i

18 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Dei quattro parametri due (a i e i ) sono sempre costanti e dipendono dalla geometria di connessione dei giunti consecutivi Degli altri due uno soltanto è variabile in dipendenza del tipo di giunto utilizzato per connettere il braccio i-1 al braccio i se il giunto è prismatico la variabile è d i se il giunto è rotoidale la variabile è i Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

19 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion A questo punto si è in grado di esprimere la trasformazione di coordinate che lega la terna i alla terna i-1: 1. si parte dalla terna i-1 traslando la terna di d i lungo lasse z i-1 ruotandola di i intorno allasse z i-1 Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg Questa operazione porta la terna i-1 a sovrapporsi alla terna i ed è descritta dalla matrice di trasformazione omogenea:

20 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion 2. si trasla la terna i di a i lungo lasse x i ruotandola di i intorno allasse x i Questa operazione porta la terna i a sovrapporsi alla terna i ed è descritta dalla matrice di trasformazione omogenea: Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

21 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Essendo le due roto-traslazioni definite su terna corrente la composizione prevede la moltiplicazione da sx verso dx: Per cui la trasformazione di coordinate complessiva è: Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

22 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion 0 1 x y Esempio – Manipolatore Antropomorfo La terna 0 è stata scelta con origine allintersezione di z 0 e z 1 z 1 e z 2 sono paralleli per cui x 2 è stato scelto empiricamente lungo la direzione del secondo braccio Stessa cosa per x 3 1 angolo intorno allasse x 1 tra lasse z 0 e lasse z 1

23 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Le matrici di trasformazione omogenea risultano: NOTA: z 3 per semplicità è stato scelto parallelo a z 2 e quindi in contrasto con la convenzione della terna utensile, per rispettare la quale occorrerebbe introdurre una ulteriore matrice di trasformazione Esempio – Manipolatore Antropomorfo

24 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Spazio dei Giunti e Spazio Operativo Nello specificare il compito da far eseguire allorgano terminale del manipolatore si assegna posizione ed orientamento della terna utensile in termini di: Traiettoria: posa in funzione del tempo Percorso: insieme dei punti di passaggio Ricorrendo ad una rappresentazione minima la posa può essere espressa ad esempio tramite posizione ed angoli di eulero : il vettore x posa appartiene allo Spazio Operativo, il vettore delle variabili di giunto q appartiene allo Spazio dei Giunti (la lunghezza del vettore determina i gradi di mobilità ) La postura è funzione delle variabili di giunto per cui lequazione cinematica diretta può scriversi come x = k(q) Tale funzione non è sempre esprimibile in maniera analitica tranne che in casi semplici

25 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Con tre variabili di giunto si possono specificare indipendentemente al più tre variabili nello spazio operativo Nel caso in cui lorientamento non interessa si ha x = [p x p y ] e vi è quindi ridondanza cinematica di gradi di mobilità rispetto al compito di puro posizionamento dellorgano terminale Spazio dei Giunti e Spazio Operativo

26 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Ridondanza Cinematica Un manipolatore viene detto ridondante da un punto di vista cinematico quando possiede un numero di gradi di mobilità maggiore alla dimensione dello spazio operativo. Tale concetto è relativo al compito da svolgere Nel caso del manipolatore planare a tre gradi di mobilità se il compito da svolgere è il taglio laser di una lamina planare esso risulta ridondante, nel caso in cui il compito sia la presa di un oggetto non circolare la ridondanza decade. Oltre alla posizione in questo caso deve essere controllata anche lorientazione. Esempi di utilità della ridondanza: obstacle avoidance minimizzazione dellenergia minimizzazione della perturbazione della base nel caso di robot free-floating incremento della destrezza

27 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion lo spazio di lavoro è determinato dalla geometria del manipolatore e dai fine-corsa meccanici imposti sui giunti per motivazioni meccaniche Per un manipolatore ad n gradi di mobilità lo spazio di lavoro è il luogo geometrico dei punti P ottenibili considerando lequazione cinematica diretta per la sola posizione: Spazio di lavoro Essendo i giunti di articolazione di tipo rotoidale e/o prismatico si dimostra che la superficie che racchiude lo spazio di lavoro raggiungibile è costituita da elementi di superficie planare, sferica, toroidale e cilindrica Tale superficie è fondamentale per una analisi preliminare dei compiti ed applicazioni del manipolatore Lo spazio di lavoro raggiungibile di un manipolatore è la regione descritta dallorigine della terna utensile quando ai giunti si fanno eseguire tutti i moti possibili Lo spazio di lavoro destro di un manipolatore è la regione della terna utensile che può essere raggiunta con tutte le orientazioni possibili. È un sotto-insieme dello spazio di lavoro raggiungibile

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