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M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio – Manipolatore Antropomorfo (tre giunti rotativi) p 0 p 1 p2p2 p Nota: lo Jacobiano.

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Presentazione sul tema: "M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio – Manipolatore Antropomorfo (tre giunti rotativi) p 0 p 1 p2p2 p Nota: lo Jacobiano."— Transcript della presentazione:

1 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio – Manipolatore Antropomorfo (tre giunti rotativi) p 0 p 1 p2p2 p Nota: lo Jacobiano è funzione dello stato del sistema, ovvero della postura

2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Dello Jacobiano trovato, solo 3 righe possono essere linearmente indipendenti Si hanno solo 3 gradi di mobilità Consideriamo (ad esempio) le prime tre che esprimono la relazione che esiste tra le velocità dei giunti e le velocità lineari dellorgano terminale La velocità angolare dellorgano terminale non potrà essere specificata in maniera indipendente Esempio – Manipolatore Antropomorfo }

3 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Singolarità Cinematiche Lo Jacobiano, che consente di definire la trasformazione lineare tra velocità ai giunti e velocità dellorgano terminale, è in generale funzione della configurazione (postura) q Quelle configurazioni per cui J diminuisce di rango, vengono definite singolarità cinematiche La caratterizzazione delle singolarità cinematiche è di fondamentale interesse: le singolarità rappresentano configurazioni in corrispondenza delle quali si ha una perdita di mobilità della struttura quando la struttura è in una configurazione singolare, possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso nellintorno di una singolarità, velocità ridotte nello spazio operativo, possono indurre velocità molto elevate (e quindi non realizzabili) nello spazio dei giunti

4 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Le singolarità si classificano nelle seguenti due tipologie: ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile: si presentano quando il manipolatore è tutto steso o tutto ripiegato su se stesso. In generale non rappresentano un inconveniente in quanto è in generale possibile evitare che il manipolatore lavori in prossimità dei confini dello spazio di lavoro allinterno dello spazio di lavoro raggiungibile: si generano tipicamente con lallineamento di due o più assi di moto od in corrispondenza di particolari posture. Queste rappresentano un problema oggettivo in quanto, essendo allinterno dello spazio di lavoro, possono essere incontrate nelle tipiche traiettorie pianificate senza volerlo! Singolarità Cinematiche

5 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio - Singolarità Cinematiche Manipolatore planare a due bracci: Considerando solo le componenti di velocità nel piano lo Jacobiano è pari a: In cui il determinante è pari a: Singolarità di confine dello spazio operativo Singolarità interna allo spazio operativo

6 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion e1e1 e2e2 Esempio - Singolarità Cinematiche Manipolatore planare a due bracci: In corrispondenza della singolarità di confine lo jacobiano diviene: Che vuol dire che sia azionando il motore del primo che del secondo braccio, il manipolatore ha la possibilità di muoversi solamente lungo e 1 e non lungo e 2, e quindi non è in grado di seguire una generica traiettoria

7 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio - Singolarità Cinematiche Esempio qualitativo di traiettorie percorribili e NON percorribili Quale delle due traiettorie è percorribile ??? e1e1 e2e2 TARGET Traiettoria percorribile Traiettoria NON percorribile

8 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Manipolatore antropomorfo con Polso Sferico Per strutture complesse ed a molti gradi di libertà, lindividuazione delle singolarità cinematiche basata sullannullamento del determinante dello Jacobiano può risultare complessa (soluzioni multiple, non in forma chiusa, etc.) Una maniera di disaccoppiare le singolarità è quella di impiegare un polso sferico montato su di un robot antropomorfo, cartesiano, etc. In tale maniera infatti la struttura (i primi tre bracci) si occupano di portare il polso in posizione, il polso si occupa di orientare lorgano finale In una configurazione del genere è possibile articolare il problema nei due sottoproblemi indipendenti: calcolo delle singolarità della struttura portante (moto dei primi 3 bracci) calcolo delle singolarità del polso (moto dei giunti di polso) Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche

9 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Partizioniamo lo Jacobiano in blocchi 3x3: Essendo il polso sferico costituito da tre giunti rotativi, i due blocchi a destra dello jacobiano ovvero quelli relativi agli ultimi 3 assi risultano: In cui, scegliendo lorigine della terna che esprime posizione ed orientamento dellorgano terminale in corrispondenza dellintersezione degli assi di polso, quindi p e non p, si ha: J 12 = 0 p = p 3 = p 4 = p 5 origine delle terne di polso Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche p = origine della terna organo terminale (convenzione usuale) Nota: così lo Jacobiano non rappresenta le velocità dellorgano terminale ma del centro del polso p-p i = 0 NOTA: ci mettiamo nel centro del giunto sferico che può solo ruotare e non traslare

10 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion In tale caso la matrice diviene triangolare inferiore a blocchi (blocco in alto a destra nullo), ed il determinante si semplifica in: Disaccoppiamento delle Singolarità Cinematiche Singolarità di struttura portante Singolarità di polso

11 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Singolarità di Polso Dunque si hanno singolarità di polso quando due tra z 3 z 4 z 5 risultano allineati: In questo caso non si possono avere rotazioni attorno a z x Poiché tale singolarità può incontrarsi ovunque allinterno dello spazio raggiungibile dal manipolatore, particolare cura va posta allatto della pianificazione del moto zxzx

12 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Singolarità di Struttura portante - Antropomorfo Nota: lo Jacobiano non dipende dallangolo del giunto di base il quale semplicemente determina rispetto a z 0 lorientazione del robot, ma non ne cambia la postura relativa dei bracci 11

13 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Si verifica quando il gomito è tutto steso o ripiegato su se stesso. Vengono definite singolarità di gomito ed è concettualmente analoga a quella del manipolatore planare a due bracci Singolarità di gomito – Manip. Antropomorfo

14 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo p x = p y = 0 11 Per la prima colonna si ha che un movimento del giunto di base 1 non muove lorgano terminale Lasse z 0 rappresenta infiniti punti di singolarità permette un movimento nel piano ortogonale agli assi z 1 e z 2 e passante per z 0 Per la seconda si ha che un movimento della spalla ( 2 ) non produce un moto lungo z 0

15 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo Per la prima colonna si ha che un movimento del giunto di base 1 non muove lorgano terminale (il polso) Per la seconda si ha che un movimento della spalla ( 2 ) non produce un moto lungo z 0 3 permette un movimento nel piano ortogonale agli assi z 1 e z 2 e passante per z 0

16 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Lasse z 0 rappresenta infiniti punti di singolarità z1z1 z0z0 Per convenzione z 1 si trova allineato con –y 0 (con variabile di giunto 1 nulla) Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo 0 1

17 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Singolarità di spalla – Manip. Antropomorfo Lasse z 0 rappresenta infiniti punti di singolarità z1z1 z0z0 In singolarità di spalla il manipolatore Antropomorfo non ha possibilità di muoversi lungo z 1 z 1

18 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Analisi della Ridondanza n: gradi di mobilità (lunghezza vettore q) m: numero di variabili necessarie a caratterizzare lo spazio operativo r: numero di variabili necessarie a specificare il compito Lo Jacobiano determina il legame tra le n componenti del vettore velocità ai giunti (dq/dt) con le r m componenti del vettore velocità generalizzata v necessarie a specificare il compito Ad esempio nel caso del manipolatore planare a tre bracci, esso non è intrinsecamente ridondante (m = n = 3) e lo Jacobiano ha rango 3 Ma, se il compito non impone vincoli sullassetto, r = 2 e quindi n > r il manipolatore risulta funzionalmente ridondante I gradi di mobilità ridondanti si definiscono R = n - r Il manipolatore è ridondante se R > 0

19 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Analisi della Ridondanza R(J) immagine di J (Jacobiano) è il sottospazio in R r che individua le velocità dellorgano terminale che possono venire generate dalle velocità di giunto N(J) nullo di J è il sottospazio di R n a cui appartengono le velocità di giunto che non producono alcuna velocità allorgano terminale: Se lo Jacobiano ha rango pieno: dim(R(J)) = r dim(N(J)) = n-r = R (gradi di mobilità ridondanti) dim(R(J)) + dim(N(J)) = n (indipendentemente dal rango della matrice J) Spazio delle variabili di giunto Spazio operativo

20 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Lesistenza per i manipolatori ridondanti di un sottospazio N(J) 0 consente di individuare procedure sistematiche per la gestione dei gradi di ridondanza Se con si indica un vettore soluzione della cinematica differenziale (che consente di raggiungere le velocità desiderate nello spazio operativo), e se P è una matrice tale che: ( R : range) ovvero che P · q 0 appartiene al nullo di J per ogni q 0 Anche il vettore è soluzione della cinematica differenziale E risulta: Analisi della Ridondanza

21 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Analisi della Ridondanza La possibilità di aggiungere al moto dei giunti un moto dei giunti sovrapposto che non ha influenza sul moto nello spazio operativo (ovvero genera dei moti interni alla struttura), è di fondamentale importanza per i seguenti motivi: consente di aggirare ostacoli minimizzare lenergia far assumere posture destre al manipolatore …

22 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Impiego della Ridondanza – Aggiramento ostacoli

23 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia Supponiamo che il compito sia lo spostamento degli ingranaggi dalla posizione iniziale a quella mostrata in figura Si potrebbero muovere tutti i giunti in maniera coordinata, oppure …

24 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia … assumere una postura tale da avere la possibilità di raggiungere la posizione desiderata con il solo moto dellultimo braccio (e quindi con minima coppia applicata)

25 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Impiego della Ridondanza – Minimizzazione Energia

26 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Impiego della Ridondanza – Posture Destre Quale delle due posture consente maggiore destrezza ???

27 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Impiego della Ridondanza – Posture Destre


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