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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI PER QUADRATURA.

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Presentazione sul tema: "EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI PER QUADRATURA."— Transcript della presentazione:

1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI PER QUADRATURA.

2 Ulteriori tipi dequazioni del primordine. Ulteriori tipi dequazioni del primordine. Argomenti della lezione Alcuni tipi dequazioni del secondordine. Alcuni tipi dequazioni del secondordine.

3 ULTERIORI TIPI DEQUAZIONIDELPRIMORDINE

4 Equazioni differenziali lineari del primordine. y = a(x) y(x) + b(x) (4) con e funzioni continue con a(x) e b(x) funzioni continue definite su un intervallo I a valori in R. Lequazione si dice anche Lequazione (4) si dice anche equazione completa, mentre

5 y = a(x) y(x) (5) si dice equazione omogenea associata alla. associata alla (4). Se è una primitiva di, Se A(x) è una primitiva di a(x), allora la totalità delle soluzioni di è data da (5) è data da y(x) = c exp(A(x)) dove è una costante reale arbitraria. dove c è una costante reale arbitraria.

6 Infatti.. (calcoli a parte) Vale ora il seguente fatto generale (per le equazioni lineari): Se è una generica soluzione Se z(x) è una generica soluzione dellomogenea e è una soluzione dellomogenea e y(x) è una soluzione particolare dellequazione completa, allora le funzioni del tipo –––– y(x) = z(x) + y(x) ––––

7 forniscono tutte le soluzioni dell equazione completa Dimostriamo che una soluzione particolare delleq. completa è data da y(x) = e ( A(x) - A(t) ) b(t) dt x x0x0

8 Dimostremo ciò utilizzando il metodo detto di variazione delle costanti arbitrarie Si cerca la soluzione nella Si cerca la soluzione y(x) nella forma... forma y(x) = c(x) exp(A(x))... Allora si può concludere che la soluzione generale del problema di Cauchy per la di Cauchy per la (4)

9 è data da y (x) = a(x) y(x) + b(x) y (x 0 ) = y 0 y(x) = c e A(x) + e ( A(x) - A(t) ) b(t) dt x0x0 x

10 Esempio 1: y = y + x Esempio 2: y = (1/x) y + (1/x 2 ) a(x) = 1, A(x) = x, b(x) = x. Soluzione: Soluzione: y(x) = c e x - x -1 + e x a(x) = (1/x), A(x) = log x, b(x) = (1/x 2 ). Soluzione: Soluzione: y(x) = c x + x/2 -(1/2x)

11 Esempio 3: y = - 2 e x y + e x a(x) = - 2 e x, A(x) = - 2 e x, b(x) = e x. Soluzione: Soluzione: y(x) = c exp(-2e x )+ (1/2) [1 - exp(2-2e x )]

12 Equazioni di Bernoulli. y = a(x) y(x) + b(x) y(x) k (6) Sono le equazioni del tipo con k 0, 1 e, funzioni con k 0, 1 e a(x), b(x) funzioni continue definite su un intervallo I a valori in R.

13 Osserviamo che se è, non Osserviamo che se è 0 < k < 1, non è garantita lunicità della soluzione. Infatti può non essere definita. Infatti f y può non essere definita. Se è una soluzione. Se k > 0, y 0 è una soluzione. Supposto, dividendo per Supposto y(x) 0, dividendo per y(x) k e prendendo come nuova incognita, si trova lequazione u(x) = y(x) 1-k, si trova lequazionelineare

14 u (x) = (1-k) a(x) u(x) + (1-k) b(x) che è unequazione lineare che sappiamo risolvere Esempio 4: Si voglia risolvere il seguente p.d.C. y = 2 y(x) tg(x) + y(x) 1/2 y(0) = 1, con |x|< /2

15 Dopo qualche calcolo si trova y(x) = [1/(cos x) + (1/2) tg x] 2

16 ALCUNI TIPI DEQUAZIONIDELSECONDORDINE

17 Sono equazioni del tipo y (x) = f(x,y(x),y (x)) con con f : A R 3 R, A aperto. una funzione y(x) è soluzione dell equazione data se è di classe C 2 (I) su un intervallo I, se (x,y(x),y (x)) T sta in A, per ogni x I, e se soddisfa identicamente la (7). (7)

18 Se f, f y e f z sono continue in A, allora si può dimostrare che esiste una soluzione locale unica del pdC: y (x) = f(x,y(x),y (x)) y (x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = z 0

19 Un tipo dequazioni che possiamo affrontare è il seguente: y (x) = f(y(x)) nel quale f dipende solo da y ed è di classe C 1 (J) con J intervallo aperto in R. (8) Moltiplicando i due membri di (8) per y (x), si trova,

20 se indichiamo con F(u) una primitiva di f(u), (y (x)) 2 = 2 [F(y(x)) - F(y 0 )] + (z 0 ) 2 Questequazione, trattata con prudenza, si può ridurre a unequazione del primordine, a variabili separabili.

21 Esempio 5: Si voglia risolvere il seguente p.d.C. y (x) = 3 y 2 ; y(0) =2 -(1/3) ; y (0) = 1. Si trova, procedendo come sopra, (y (x)) = 2 y 3 (x) - 1 Poiché y (0) > 0

22 Ci si riduce al pdC y (x) = [2 y 3 (x)] (1/2) ; y(0) =2 -(1/3). y(x) = (2 (1/6) - x 2 -(1/2) ) -2 Si trova la soluzione


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