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I.P.S.S.C.T.P. Sandro Pertini Crotone DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO E PROBLEMI DI SCELTA Tutor prof.ssa Anna ALFIERI Docenti : Gavino CERRELLI – Abramo GENTILE.

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1 I.P.S.S.C.T.P. Sandro Pertini Crotone DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO E PROBLEMI DI SCELTA Tutor prof.ssa Anna ALFIERI Docenti : Gavino CERRELLI – Abramo GENTILE – Enrico PANICONI DIGI SCUOLA

2 Citazioni sulla matematica Walter Robert Fuchs ( ) La matematica è un grandioso e vasto paesaggio aperto a tutti gli uomini a cui il pensare arrechi gioia, ma poco adatto a chi non ami la fatica del pensare. Alfréd Rényi Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice

3 Operazioni in R Operazioni fondamentali del calcolo letterale Equazioni lineari Risoluzione problemi di primo grado Intervalli numerici Prerequisiti Contenuti Disequazioni: definizione, soluzioni, grado Classificazione Disequazioni equivalenti Principi di equivalenza Risoluzione di disequazioni lineari Rappresentazione grafica delle soluzioni Problemi riconducibili a disequazioni lineari

4 Definire una disequazione Il significato dellaggettivo lineare Enunciare i dei due principi di equivalenza Distinguere tra disequazioni sempre verificata e disequazione impossibile Applicare i principi di equivalenza Eseguire la verifica delle soluzioni Risolvere disequazioni lineari Rappresentare graficamente le soluzioni Rappresentare sotto forma di intervallo le soluzioni Risolvere problemi applicando disequazioni lineari Sapere Saper fare

5 MODULO : disequazioni di primo grado e problemi di scelta UD-1- Introduzione alle disequazioni. Disequazioni: definizione,grado,classificazione UD-2- Principi di equivalenza e loro conseguenze UD-3- Risoluzione di disequazioni di primo grado Rappresentazione grafica e simbolica delle soluzioni UD-4- Risoluzione di problemi riconducibili a disequazioni di primo grado

6 ANDIAMO AD INCOMINCIARE

7 Incontro delle disequazioni nella vita quotidiana Visione consentita La tua velocità non deve superare I 50 km orari VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI

8 Problema 1 - Uno studente ha riportato nei primi tre compiti di matematica i seguenti voti 4,5; 5,5; e 7. Quale voto deve conseguire per ottenere una media aritmetica superiore a 6 ? A cosa servono le disequazioni? Le disequazioni servono a risolvere un gran numero di problemi Problema 2 - Un automobilista si ferma ad un distributore per mettere nel motore mezzo litro di olio, che costa 16,00 al litro e della benzina che costa 1,40 al litro. Quanti litri riesce a mettere al massimo nel serbatoio se possiede solo 36,00 ?

9 PROBLEMA 3 Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe : Canone mensile di abbonamento 12,00 Costo al minuto di conversazione 10 cent Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione 20 cent Quale gestore conviene scegliere ? Disequazioni e problemi di scelta Gestore 1) Gestore 2) Io ho scelto la ragazza

10 Disequazioni e problemi di scelta Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni: Scuola ,00 annue di iscrizione più 5,00 per ogni ora di utilizzo Scuola ,00 annue di iscrizione più 6,00 per ogni ora di utilizzo Quale scuola conviene scegliere ? Scuola 1 scuola 2 PROBLEMA 4

11 Disuguaglianze Due espressioni numeriche, di diverso valore, separate da un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza numerica Simboli di disuguaglianza sono: Maggiore Minore Maggiore od uguale Minore od uguale Esempi di disuguaglianze

12 Definizione disequazione Si definisce disequazione in una sola incognita una disuguaglianza tra due espressioni, di cui una almeno letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti allincognita 1) 2) 3) 4) Esempi di disequazioni

13 Soluzioni di una disequazione Si dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito allincognita rende vera la disuguaglianza Esempio: data la disequazione verificare se e rappresentano delle soluzioni VERO E SOLUZIONE VERIFICA FALSO NON E SOLUZIONE

14 Grado di una disequazione 1) Disequazione di secondo grado 2) Disequazione di primo grado Disequazione di quinto grado 3) Esempi Si definisce grado di una disequazione razionale intera il massimo esponente con cui compare lincognita Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI

15 Classificazione delle disequazioni TIPO disequazione Disequazione conESEMPI Intera Incognita solo al numeratore Fratta Incognita almeno al denominatore Numerica Coefficienti numerici Letterale Coefficienti letterali Determinata Soluzioni sottoinsieme di R Indeterminata Soluzioni coincidenti con R Impossibile Non ha soluzioni E chiaro o devo ripetere

16 EQUIVALENTI Disequazioni EQUIVALENTI EQUIVALENTI Due disequazioni si dicono EQUIVALENTI se possiedono le stesse soluzioni esempio soluzioni Facile! Pertanto, qualsiasi numero più grande di 2 soddisfa sia la prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono equivalenti

17 Utilità dei principi di equivalenza I principi di equivalenza, applicati alle disequazioni, consentono di trasformare una disequazione in unaltra più semplice avente le stesse soluzioni

18 Sottrazione ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione EQUIVALENTE a quella data Primo Principio di equivalenza Addizione Disequazioni equivalenti

19 Conseguenze del PRIMO PRINCIPIO 1)Regola del trasporto Si può trasportare un termine da un membro allaltro di una disequazione purché gli venga cambiato il segno (Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al primo membro ed i numeri al secondo membro) Esempio Conseguenze del Primo Principio

20 2) Regola della cancellazione a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere cancellato Esempio b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi possono essere cancellati Esempio Che bello!! Conseguenze del Primo Principio

21 xx xx a)Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente alla data Esempio: b) Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solo se si inverte il verso della disuguaglianza Esempio: Secondo Principio di equivalenza Disequazioni equivalenti Disequazioni equivalenti maggiore minore VERSO INVERTITO

22 1)Eliminazione di denominatori numerici E possibile eliminare i denominatori numerici di una disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m. Esempio m.c.m = Disequazione con denominatore Disequazione senza denominatore Conseguenze del Secondo Principio

23 Conseguenze del SECONDO PRINCIPIO 2)Eliminazione del coefficiente dellincognita E possibile liberare lincognita dal suo coefficiente dividendo primo e secondo membro della disequazione per tale coefficiente Coefficiente dellincognita Esempio Conseguenze del Secondo Principio

24 3) Regola del cambiamento del segno Il segno di un termine di una disequazione si può cambiare solo quando si cambiano i segni dei restanti termini e si inverte il verso della disequazione Esempio MINORE MAGGIORE Conseguenze del Secondo Principio

25 Risoluzione di disequazioni di primo grado: Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente: 1) Si eseguono le operazioni che vengono indicate nella disequazione ( potenze, moltiplicazioni, divisioni,addizioni e sottrazioni ) Sembra tutto facile 2) Quando al primo ed al secondo membro non è più possibile eseguire operazioni, si passa allapplicazione delle conseguenze dei principi di equivalenza (cancellazione,trasporto, cambiamento di segno,ecc.) per passare a disequazioni equivalenti sempre più semplici

26 Operazioni indicate (potenza,prodotto) 1° principio (cancellazione) 1° principio (Trasporto) Operazioni indicate (somma e differenza) 2° principio (Eliminazione coefficiente dellincognita) Soluzioni della disequazione Operazioni indicate (divisioni) Risoluzione guidata di disequazioni Esempio 1

27 Risoluzione guidata di disequazioni Esempio 2 Operazioni indicate (potenza-prodotto) 1° principio (cancellazione) 2° principio (Eliminazione denominatore numerico) 1° principio (Trasporto) Operazioni indicate (differenze) 2° principio (cambiamento di segno) Soluzioni della disequazione Operazioni indicate (divisioni-prodotti)

28 Risolvi le disequazioni Prova tu

29 Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: retta orientata le soluzioni Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si fa uso di una retta orientata i cui punti corrispondono a numeri reali. I due simboli (meno infinito) e (più infinito) posti agli estremi della retta non rappresentano nessun numero reale, essi stanno solo ad indicare che la retta risulta illimitata (senza fine) sia a sinistra che a destra ORIGINE 1

30 le soluzioni Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si fa uso delle seguenti convenzioni: 1. linea continua 1. linea continua per rappresenta linsieme delle soluzioni della disequazione ( ) 2.linea tratteggiata 2.linea tratteggiata per rappresenta linsieme dei valori che non sono soluzioni ( ) 3.cerchietto pieno 3.cerchietto pieno per indicare che il valore corrispondente è una soluzione ( ) 4.cerchietto vuoto 4.cerchietto vuoto per indicare che il valore corrispondente non è una soluzione.( ) Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: convenzioni 2

31 Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: procedimento 3 1)Si scrive lequazione associata alla disequazione e si determina il valore che lannulla 2)si riporta tale valore sulla retta orientata 3)da esso si riporta un segmento verticale al cui estremo si disegna un cerchietto vuoto quando non fa parte delle soluzioni 4)si traccia la linea continua in corrispondenza dei valori che costituiscono linsieme delle soluzioni e dalla parte opposta una linea tratteggiata a rappresentare lintervallo dei numeri che non sono soluzioni Per la rappresentazione si procede nel modo seguente prof. non ho capito Non ti preoccupare gli esempi chiariranno tutto

32 Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione x > Equazione associata alla disequazione X = 2 Linea piena SOLUZIONI Linea tratteggiata NON SOLUZIONI 2 escluso dalle Soluzioni CERCHIO VUOTO 2 Esempio 1

33 Equazione associata alla disequazione X = -3 Linea piena SOLUZIONI Linea tratteggiata NON SOLUZIONI -3 incluso nelle soluzioni CERCHIO PIENO -3 Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione x < - 3 Esempio 2

34 Definizione di Intervallo numerico Dati due numeri a e b con a < b, si definisce INTERVALLO NUMERICO, linsieme di tutti i numeri compresi tra a e b. I numeri a e b prendono il nome di ESTREMO INFERIORE ed ESTREMO SUPERIORE dellintervallo e possono o meno appartenere allinsieme Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si fa uso di parentesi tonde e quadre entro cui vengono scritti gli estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgola Il tipo di parentesi ci indica se lestremo risulta incluso oppure escluso dallintervallo Parentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso a b Intervallo numerico Estremo superiore Estremo inferiore

35 Esempi Rappresentazione simbolica di intervalli numerici Rappresentazione grafica La rappresentazione simbolica indica che gli estremi -2 e 7 fanno parte dellintervallo La rappresentazione simbolica indica che gli estremi -2 e 7 sono esclusi dallintervallo La rappresentazione simbolica indica che -2 è escluso mentre 7 è incluso nellintervallo La rappresentazione simbolica indica che -2 è incluso mentre 7 è escluso dallintervallo

36 Utilizzo di simboli diversi per gli stessi concetti Stesso significato Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamente un intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre, rivolte verso lesterno per indicare che lestremo non appartiene allinsieme, rivolte verso linterno per esprimere che lestremo fa parte dellinsieme.

37 0 esempio 1) Rappresentare graficamente le soluzioni delle disequazioni e scriverle anche sotto forma di intervallo 2) 3) 4) Chi vuol provare esercizi

38 PROBLEMA Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe: Canone mensile di abbonamento 5,00 Costo al minuto di conversazione 10 cent Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione 20 cent Quale gestore conviene scegliere ? PROBLEMI DI SCELTA Gestore 1) Gestore 2) FASE 1 : dal problema alla disequazione FASE 2 : risoluzione della disequazione FASE 3 : rappresentazione grafica delle soluzioni Il problema verrà risolto secondo le tre fasi:

39 Indichiamo con X i minuti di conversazione Calcoliamo quanto ci costa Wind COSTO WIND = canone + costo conversazione = Calcoliamo quanto ci costa Vodafone COSTO VODAFONE = costo conversazione = FASE 1 : dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazione FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni Espressione che traduce in disequazione il problema dato COSTO WIND deve essere MINORE del COSTO VODAFONE Per risultare più conveniente Wind rispetto a Vodafone deve accadere che:

40 FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2 : risoluzione della disequazione FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni Il risultato ci dice che la scelta di Wind risulta conveniente solo se facciamo più di 120 minuti di telefonate mensili prof. mi esce X maggiore di 120 e giusto? Risolviamo la disequazione Trasporto Cambiamento di segno Eliminazione del coefficiente dellincognita soluzioni

41 FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazione FASE 3 : rappresentazione grafica delle soluzioni Minuti di conversazione Intervallo di convenienza WIND Intervallo di convenienza VODAFONE

42 Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni: Scuola ,00 annue di iscrizione più 5,00 per ogni ora di utilizzo Scuola ,00 annue di iscrizione più 6,00 per ogni ora di utilizzo Quale scuola conviene scegliere ? PROBLEMA Va bene prof. ci provo io

43 ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI, TURISTICI E DELLA PUBBLICITA S. PERTINI – CROTONE Classe 2a Sezione A A.S. 2007/2008 1)Cognome e nome ______________________________ Data ________ VERIFICA DI MATEMATICA (Argomento: disequazioni) 3) Risolvi la disequazione e rappresenta graficamente e simbolicamente le soluzioni. 4 ) Risolvi il problema Il noleggio di una macchina costa 50 al giorno più 40 cent per ogni Km percorso, quanti Km si riescono a percorrere ogni giorno se non si vuole spendere più di 200? 2)Per la seguente disequazione scrivi le disequazioni ad essa equivalenti ottenute operando come indicato a lato. 1) Della seguente disequazione, verificare se i valori a lato sono soluzioni.

44 Collegamenti ipertestuali 1.CopertinaCopertina 2.CitazioniCitazioni 3.Prerequisiti - contenutiPrerequisiti - contenuti 4.Sapere – Saper fareSapere – Saper fare 5.Unità didatticheUnità didattiche 6.Inizio moduloInizio modulo 7.Disequazioni nella vitaDisequazioni nella vita 8.Impiego disequazioniImpiego disequazioni 9.Problema 3Problema 3 10.Problema 4Problema 4 11.DisuguaglianzeDisuguaglianze 12.Definizione disequazioneDefinizione disequazione 13.Soluzioni disequazioniSoluzioni disequazioni 14.Grado disequazioniGrado disequazioni 15.ClassificazioneClassificazione 16.Disequazioni equivalentiDisequazioni equivalenti 17.Utilità principi di equiv.Utilità principi di equiv. 18.Primo principioPrimo principio 19.Regola del trasportoRegola del trasporto 20.Regola cancellazioneRegola cancellazione 21.Secondo principioSecondo principio 22.Eliminazione denominatoreEliminazione denominatore 23.Eliminazione coefficienteEliminazione coefficiente 24.Cambiamento di segnoCambiamento di segno 25.Risoluzione disequazioniRisoluzione disequazioni 26.Esempio 1Esempio 1 27.Esempio 2Esempio 2 28.Prova tuProva tu 29.Retta orientataRetta orientata 30.ConvenzioneConvenzione 31.Rappresentazione graficaRappresentazione grafica 32.Esempio 1Esempio 1 33.Esempio 2Esempio 2 34.Definizione intervalloDefinizione intervallo 35.Rappresentazione intervalloRappresentazione intervallo 36.Utilizzo simboli diversiUtilizzo simboli diversi 37.Prova tuProva tu 38.Problema di sceltaProblema di scelta 39.Fase 1Fase 1 40.Fase 2Fase 2 41.Fase 3Fase 3 42.Prova tuProva tu 43.VerificaVerifica 44.Collegamenti ipertestualiCollegamenti ipertestuali


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