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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Consigli per la risoluzione dei problemi Individuare il punto o i punti materiali di cui si vuole studiare il.

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1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Consigli per la risoluzione dei problemi Individuare il punto o i punti materiali di cui si vuole studiare il moto Introdurre un sistema di riferimento inerziale Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti materiali –Ricercare i corpi dellambiente circostante che possono esercitare forze Tener presente che alcune forze agiscono a distanza Altre agiscono per contatto –Attenzione ai corpi a contatto Costruirsi il diagramma del corpo libero Scrivere la seconda legge in forma vettoriale Ottenere le tre equazioni scalari corrispondenti –Attenzione alla scelta delle direzioni su cui proiettare

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Consigli per la risoluzione dei problemi Utilizzare tutte le ulteriori condizioni presenti nel problema se due corpi sono connessi da una corda ideale, di lunghezza costante, è possibile scrivere delle relazioni tra i loro spostamenti e quindi tra le loro velocità e le loro accelerazioni. Se un corpo è fermo (x,y e z costanti), tutte e tre le componenti dellaccelerazione sono nulle. In alcuni casi solo alcune delle coordinate del punto materiale sono costanti, ne deriva le corrispondenti componenti dellaccelerazione sono nulle. Se la traiettoria percorsa è curva, cioè non rettilinea, allora la componente normale dellaccelerazione vale (v=modulo della velocità, r raggio di curvatura della traiettoria). Alcune delle forze possono avere lo stesso modulo: –.Coppia di forze di azione e reazione, in base alla terza legge. –.Forze esercitate su oggetti diversi dallo stesso tratto di corda. Etc.

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Consigli per la risoluzione dei problemi Determinare le componenti dellaccelerazione Dedurre dallaccelerazione trovata il moto del punto materiale. –Accelerazione costante: moto uniformemente accelerato –Proporzionale allopposto della velocità: moto smorzato –Proporzionale allopposto della posizione:moto armonico Scrivere le leggi orarie tenendo conto delle condizioni iniziali Determinare le eventuali forze mancanti.

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a 90°. Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore s =30° il corpo inizia a muoversi. Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene costante l'angolo al valore s =30°, si osserva che il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene rapidamente diminuita e portata al valore d =25°, il moto risulta essere rettilineo uniforme. Determinare i valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico s e d tra il piano inclinato e il corpo di massa m e laccelerazione nel caso in cui linclinazione del piano viene mantenuta uguale a s =30°.

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale. Conviene prendere lasse y perpendicolare al piano inclinato e lasse x parallelo al piano in modo che il piano xy sia verticale Fissiamo lorigine nella posizione iniziale del punto materiale. Determiniamo le forze agenti La forza peso La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato Componente Normale Forza di attrito P N FasFas Possiamo anche predire la direzione e il verso della forza di attrito: È opposta alla componente della forza peso parallela al piano Costruiamo il diagramma del corpo libero Scriviamo la seconda legge di Newton

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Si ottiene: Per < s il corpo rimane fermo: Scriviamo la seconda legge di Newton Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. P N FasFas

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Si ottiene: Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano inclinato Se langolo viene mantenuto a s Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. P N FasFas Laccelerazione è costante: il moto sarà uniformemente accelerato Se il piano è liscio, d =0

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Si ottiene: Per = c il corpo si muove lungo lasse x a velocità costante Se langolo viene ridotto a c Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. P N F ad

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Un punto materiale di massa m=1 kg può muoversi lungo una guida orizzontale rettilinea priva di attrito. Il corpo è attaccato ad una molla di costante elastica k=400 N/m, il secondo estremo della molla è connesso ad una parete verticale, come mostrato in figura. Inizialmente il corpo viene spostato in maniera da allungare la molla di un tratto di 10 cm e lasciato da questa posizione con velocità nulla. Determinare la legge oraria, mostrare che il moto è periodico e determinarne il periodo. Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale. Conviene prendere lasse y verticale e lasse x orizzontale coincidente con lasse della molla Scegliamo lorigine nella posizione in cui si trova il punto materiale quando la molla non è deformata Questo semplifica lespressione della forza elastica Determiniamo le forze agenti La forza peso La forza elastica La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato solo la Componente Normale

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Laccelerazione lungo lasse x vale: Scriviamo la seconda legge di Newton Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati. Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano orizzontale Laccelerazione è proporzionale allopposto della posizione: il moto è un moto armonico. A e vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali.

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Pulsazione angolareLegge oraria Applica zione La soluzione =0 è lunica che da unampiezza positiva, pari a A=0.1 m. Le condizioni iniziali: A e vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali.

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Un disco di massa m sta al di sopra di un tavolo orizzontale privo di attrito ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attraverso un foro al centro del tavolo, come illustrato in figura. Si determini la velocità del disco lungo la circonferenza di raggio r in grado di mantenere fermo il cilindro. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, r=50 cm. Innanzitutto poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. Determiniamo le forze agenti su ciascuno dei corpi Corpo di massa m La forza peso La tensione della fune La reazione vincolare esercitata dal piano solo la Componente Normale Corpo di massa M La forza peso La tensione della fune Il diagramma del corpo libero

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Scriviamo la seconda legge di Newton per i due corpi. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti allequazione vettoriale. Non siamo tenuti a scegliere gli assi coordinati: qualunque direzione noi scegliamo, la relazione tra le componenti lungo la direzione fissata deve essre simile allequazione vettoriale. Nel caso del corpo di massa m conviene utilizzare le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari: Per il corpo di massa M lunica equazione non banale è quella lungo lasse verticale y:

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Unautomobile di massa m=1000 kg percorre una curva piana di raggio costante r=80 m con una velocità costante di 60 km/h. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote dellautomobile necessario perché lautomobile si mantenga la traiettoria curva. Determiniamo le forze agenti sullautomobile La forza peso La reazione vincolare esercitata dalla strada La Componente Normale La forza di attrito (statico) La parte di ruota a contatto con la strada è ferma rispetto alla strada. Il diagramma del corpo libero Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Scriviamo la seconda legge di Newton per lautomobile. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti allequazione vettoriale. Come nel caso precedente utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari: Poiché il modulo della velocità è costante Poiché lautomobile rimane attaccata alla strada La forza di attrito statica necessaria a mantenere lautomobile in traiettoria è: La forza di attrito statico è limitata superiormente Da cui ricaviamo

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Unautomobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare langolo di cui deve essere sopraelevato lesterno della curva rispetto allinterno perché lautomobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza di attrito. Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. Determiniamo le forze agenti sullautomobile La forza peso La reazione vincolare esercitata dalla strada Solo la Componente Normale Il diagramma del corpo libero Scriviamo la seconda legge di Newton per lautomobile. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti allequazione vettoriale. Come nei casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Poiché lautomobile si muove su una traiettoria orizzontale Laccelerazione tangenziale è nulla: Il moto avviene con velocità di modulo costante Dalla prima ottenaimo:

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. Determiniamo le forze agenti sullautomobile La forza peso La Tensione della fune la seconda legge di Newton vale: Il diagramma del corpo libero Preliminarmente ricordiamo che in un moto circolare antiorario: v Un corpo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al soffitto del Laboratorio. Determinare il periodo del pendolo nellipotesi che esso venga abbandonato da fermo quando langolo formato dalla fune con la verticale è di 5°. Si supponga che lampiezza delle oscillazioni possa essere considerata piccola. Determinare inoltre il valore della tensione nella fune quando passa per la posizione verticale. La posizione del pendolo può essere individuata specificando

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Riscrivendo laccelerazione tangenziale in termini di accelerazione angolare si ottiene: Poiché a z =0 è la velocità iniziale è nulla, possiamo concludere che il moto del pendolo avviene nel piano della figura. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti allequazione vettoriale. Utilizziamo le direzioni u t ed u n mostrate in figura, ed u z perpendicolare ai primi due. N.B.Per evitare complicazioni limitiamoci a considerare la parte di moto antiorario del pendolo. unun utut Forza di richiamo, opposta a se è piccolo sen = Laccelerazione è proporzionale allopposto della posizione: il moto è armonico!

20 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Equazione differenziale del moto armonico con pulsazione angolare p data da: La legge oraria è del tipo: unun utut In cui le costanti A e vanno determinati sulla base delle condizioni inizali. Miraccomando a non confondere la velocità angolare con cui si muove il pendolo con la pulsazione angolare. Pur avendo le stesse unità di misura sono completamente diverse: La pulsazione angolare è una costante La velocità angolare varia sinusoidalmente. Il pendolo si ferma, =0, agli estremi delloscillazione ed è massima per =0.

21 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Determiniamo le costanti A e Ricordiamo le condizioni iniziali: La scelta =0, da una soluzione positiva dellampiezza: La legge oraria diventa dunque: unun utut Abbiamo già verificato che la legge oraria del moto armonico è periodica con periodo T= Quindi:

22 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Per il calcolo della Tensione riprendiamo lequazione secondo u n : Dove a n è uguale a: unun utut Confrontiamo questa tensione con quella che si ottiene quando il pendolo è fermo in condizioni di equilibrio: Per = 0 la velocità angolare è massima: pari alla sua ampiezza. Pertanto In condizioni di equilibrio T=mg ed è verticale: il filo si dispone lungo la verticale (filo a piombo). Per =0 la tensione nel caso dinamico è più grande che in quello statico perché essa oltre ad equilibrare il peso deve fornire la forza centripeta necessaria per far percorrere al pendolo una traiettoria circolare!!

23 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. Per la proprietà delle corde ideali: I diagramma del corpo libero con le forze agenti Una massa M è tenuta in equilibrio da una forza F applicata ad un sistema di pulegge come mostrato in figura. Considerare le pulegge di massa trascurabile e senza attrito trovare la tensione in ciascuna delle sezioni della fune T 1, T 2,T 3,T 4,T 5 e il modulo di F. T1T1 T3T3 T2T2 T4T4 T5T5 F M M T5T5 Mg T5T5 T3T3 T2T2 T2T2 T3T3 T1T1 T4T4

24 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Per la proprietà delle corde ideali: I diagramma del corpo libero con le forze agenti T1T1 T3T3 T2T2 T4T4 T5T5 F M M T5T5 Mg T5T5 T3T3 T2T2 T2T2 T3T3 T1T1 T4T4

25 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione I diagramma del corpo libero con le forze agenti T1T1 T3T3 T2T2 T4T4 T5T5 F M M T5T5 Mg T5T5 T3T3 T2T2 T2T2 T3T3 T1T1 T4T4 N.B.: Quando si ha a che fare con carrucole e corde, la tensione della corda va pensata applicata alla carrucola nel punto di tangenza della corda alla carrucola. Infatti uno può pensare che la parte di corda a contatto della carrucola sia un tuttuno con la carrucola stessa (la corda non scorre sulla carrucola): ne deriva che il punto di attacco della corda alla carrucola è proprio il punto di tangenza.

26 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Due molle di costante elastica k 1 =10 4 N/m e k 2 =2x10 4 N/m, rispettivamente, sono collegate come in figura. Una estremità di ciascuna molla è fissato al soffitto mentre le altre sono vincolate ad un corpo di massa m=10kg. Si calcoli lallungamento delle due molle quando il corpo è in equilibrio. m P F el1 F el2

27 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Due molle di costante elastica k 1 =10 4 N/m e k 2 =2x10 4 N/m, rispettivamente, sono collegate come in figura. Lestremità superiore della prima molla è fissato al soffitto mentre lestremità inferiore è vincolata ad un corpo di massa m=10kg. Si calcoli lallungamento di ciascuna molla e quello complessivo quando il corpo è in equilibrio. m F 1s F 12 F 21 F 2m F m2 P Molla 1 Molla 2 F 1s = forza sulla molla 1 dovuta al soffitto F 12 = forza sulla molla 1 dovuta alla molla 2 (il modulo F 12 =k 2 y 2 ) F 21 = forza sulla molla 2 dovuta alla molla 1 (il modulo F 21 =k 1 y 1 ) F 2m = forza sulla molla 2 dovuta al corpo di massa m F m2 = forza sul corpo di massa m dovuta alla molla 2 F 12 =- F 21 F 2m =- F m2

28 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Due parallelepipedi di masse m 1 ed m 2 sono posti uno sopra laltro. Il coefficiente di attrito tra m 1 ed il piano è 1 mentre quello tra i due corpi è 2. Studiare il moto del sistema quando ad m 1 è applicata una forza orizzontale. m1m1 m2m2 F m1m1 F m2m2 P1P1 N N 21 F a21 P2P2 F a12 N 12

29 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Due blocchi (m=1.0 kg e M = 10 kg) e una molla (k=200 N/m) sono sistemati come in figura su una superficie orizzontale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi è Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice per evitare lo slittamento dei due blocchi. Se l'ampiezza del moto è più piccola di quella massima quanto vale il periodo? Scrivere infine l'espressione (in funzione del tempo) della componente verticale e di quella orizzontale della reazione vincolare esercitata dal blocco di massa M su quello di massa m. Vedi il problema precedente: sostituire la forza F con la forza elastica!

30 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Due masse, connesse da una corda ideale e priva di massa, passante su di una carrucola assimilabile ad un disco, partono da ferme dalla posizione illustrata in figura. Qual è la loro velocità relativa quando passano luna di fronte allaltra (stessa quota)? Quanto tempo impiegano i due corpi per raggiungere questa configurazione? P1P1 P2P2 T2T2 T1T1 T 1 = T 2 =T

31 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Una lampada è sospesa ad un filo nella cabina di un ascensore. Si supponga che la cabina stia salendo e, per fermarsi al piano, rallenta con una accelerazione di modulo 2.4 m/s 2. Se la tensione nel filo che sostiene la lampada è di 89 N, qual è la massa della lampada? Quale sarà la tensione nel filo quando l'ascensore riparte con una accelerazione di pari modulo, 2.4 m/s 2, per raggiungere un piano più in alto? a P T v

32 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Una palla viene lanciata contro un muro con la velocità iniziale di 25.0 m/s a un angolo di 40° rispetto al suolo orizzontale come mostrato in figura. Il muro si trova a 22 m dal punto di lancio. Trascurando la resistenza dellaria determinare: quanto tempo la palla rimane in aria prima di colpire la parete. quali sono le componenti orizzontale e verticale della velocità allistante in cui la palla colpisce la parete se nel momento in cui tocca la parete ha già superato il vertice della traiettoria.

33 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Un treno di massa 5x10 5 Kg sta viaggiando orizzontalmente a 60 km/h e sta effettuando una curva il cui raggio di curvatura è 1 km. Allo stesso tempo sta decelerando ed il tasso di decrescita (accelerazione) del modulo della velocità è di 0.1 m/s 2. La lunghezza del treno è trascurabile confrontata con le dimensioni della curva ed il treno può essere trattato come un punto. Che forza totale esercitano i binari sul treno? (dare la risposta all'inizio della curva, quando cioè la velocità può essere considerata ancora uguale a 60 km/h). R=1 km unun utut

34 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Due blocchi, di massa m 1 =2.3 kg e m 2 =1.2 kg, sono poggiati su un piano orizzontale privo di attrito come mostrato in figura. Se al corpo di massa m 1 viene applicata una forza di intensità pari a F=3.2 N, determinare l'accelerazione dei due blocchi e la forza di contatto tra i due. Determinare le stesse quantità nel caso in cui la forza F viene applicata al blocco di massa m 2 e confrontarle con quelle determinate precedentemente. Spiegare le eventuali differenze. m1m1 F m2m2 P1P1 N1N1 N 21 P2P2 N 12 N2N2

35 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Nella figura A e B sono due blocchi rispettivamente di 4.4 kg e 2.6 kg. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra il blocco A e il piano sono rispettivamente 0,18 e 0,15. Si determini la minima massa del corpo C che impedisce ad A di scivolare. Improvvisamente il blocco C viene tolto da A. Valutare l'accelerazione di A e la tensione nella corda. TATA C PAPA N CA PCPC N AC N TBTB PBPB B C A

36 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione I due blocchi della figura, di massa m=16 kg e M=88 kg, non sono collegati tra loro. Il coefficiente di attrito tra i blocchi è s =0,38, mentre la superficie su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è lintensità minima della forza orizzontale F necessaria per mantenere m contro M? F M m F PmPm N mM F amM N Mm NMNM PMPM F amM


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