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G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Nel momento in cui il semaforo volge al verde, unauto parte con accelerazione costante a=2.2 m/s 2. Nello stesso.

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1 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Nel momento in cui il semaforo volge al verde, unauto parte con accelerazione costante a=2.2 m/s 2. Nello stesso istante un autocarro che sopravviene alla velocità costante di 9.5 m/s sorpassa lauto. a) A quale distanza oltre al semaforo lauto risorpasserà il camion? b) Quale sarà la velocità dellauto in quel momento? a) A quale distanza oltre al semaforo lauto risorpasserà il camion? Iniziamo a contare il tempo a partire dal momento in cui il semaforo diventa verde (t=0s). Introduciamo un asse di riferimento lungo la strada rettilinea. Fissiamo lorigine nel punto in cui è ferma lautomobile in attesa del verde. Orientiamo lasse nel verso del moto del camion e dellautomobile. Con queste scelte le condizioni iniziali sono: Auto x Ao =0 m v Aox =0 m/s a Aox =2.2 m/s 2 Camion x Co =0 m v Cox =9.5 m/s a Cox =0 m/s 2 Le rispettive leggi orarie diventano: O x A C

2 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Ci sarà il risorpasso dellauto quando le posizioni dellauto e del camion saranno nuovamente uguali. Calcoliamo listante di tempo quando questa situazione si verifica: t 1 corrisponde allistante in cui il camion sorpassa lauto ferma, anche in quel caso infatti le posizioni dei due veicoli coincidevano. Listante del risorpasso sarà t 2. La velocità dellauto in quellistante sarà:

3 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne La posizione in cui avviene il risorpasso, la possiamo calcolare con una delle due leggi orarie: La velocità dellauto in quellistante sarà:

4 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari. La quarta goccia si stacca nel momento in cui la prima arriva la suolo. Trovare le posizioni della seconda e terza goccia in quellistante. Ogni quanto tempo cade una goccia? –Nel tempo impiegato da una goccia a percorre i 2 metri di dislivello ne sono cadute 3 (sono trascorsi 3 intervalli). –E essenziale capire quanto tempo una goccia impiega a percorrere i 2 metri tra lugello e il fondo. Studiamo il moto di una goccia: –il moto è uniformemente accelerato, accelerazione di gravità. –Facciamo partire il cronometro nellistante in cui la goccia si stacca dallugello. –Fissiamo un asse di riferimento verticale, orientato verso lalto, con lorigine sul fondo. –Con questa scelte le condizioni iniziali sono: xo=2m v xo =0m/s a xo =-g=-9.81m/s 2 laccelerazione di gravità è diretta verso il basso

5 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne La legge oraria della goccia sarà: Listante t f in cui la goccia tocca il fondo si può calcolare imponendo che la posizione in quellistante sia nulla: La durata del moto della goccia è dato da t f -t i Poiché t i è uguale a zero la durata è t f =.63s Lintervallo tra una goccia e la successiva è un terzo di questo valore t=.21s Per sapere dove si trovano le gocce due e tre nel momento in cui la prima tocca il fondo, basterà calcolare dove si trovava la goccia 1 dopo un t e dopo due t.

6 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il contatto. La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il basso Poiché rimbalza verso lalto, riparte dal suolo con una velocità diretta verso lalto. Cè stata quindi una variazione di velocità. Cè stata una accelerazione! Fissiamo lasse y di riferimento diretto lalto, coincidente con la verticale passante per il punto di impatto, con lorigine nel punto di impatto. Occorre calcolare la velocità finale e quella iniziale sullintervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. La velocità iniziale è quella con cui arriva al suolo dopo la caduta di 4 m La velocità finale è quella con cui riparte dal suolo.

7 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono: –y o = 4.00m –v oy =0m/s –a oy =-g=-9.81m/s 2 La legge oraria vale: Listante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che y(t f )=0 (va preso listante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che la palla è partita) La velocità in quellistante sarà: Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da utilizzare nella formula dellaccelerazione media.

8 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Per calcolare la velocità finale da usare nella formula dellaccelerazione media dobbiamo studiare il moto di risalita. Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il cronometro nel momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni iniziali valgono: –y o = 0.00m –v oy =? da determinare –a oy =-g=-9.81m/s 2 La legge oraria vale: Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima: Da cui:

9 G.M. - Edile A 2002/03 Appli cazio ne Abbiamo ottenuto lespressione della velocità in funzione dalla posizione Possiamo ricavare v oy : Il modulo della velocità a parità di posizione è lo stesso sia nel moto di risalita che in quello di discesa. Quando la coordinata y è 2m, il punto più in alto della traiettoria, la velocità è nulla: Ciò che abbiamo trovato è la velocità finale relativa allintervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. Laccelerazione media in questo intervallo di tempo vale dunque:

10 G.M. - Edile A 2002/03 Accelerazione in funzione della posizione In alcuni casi laccelerazione è nota in funzione della posizione del punto materiale a x (x). –Quindi non si conosce direttamente a x (t), ma la dipendenza dal tempo è nota solo attraverso la legge oraria x(t), a x (x(t)). L a definizione di accelerazione ci dice che in ogni intervallo infinitesimo dt, il rapporto tra la variazione di velocità dv x e lintervallo di tempo dt è proprio uguale allaccelerazione. Indichiamo con dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto materiale nellintervallo di tempo dt –Se il corpo non è fermo, dx sarà in generale piccolo (infinitesimo) ma diverso da zero. –Possiamo allora moltiplicare entrambi i membri dellequazione precedente per dx

11 G.M. - Edile A 2002/03 Accelerazione in funzione della posizione Otteniamo che in ogni intervallo infinitesimo dt vale la seguente uguaglianza: Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi in cui abbiamo suddiviso lintervallo di osservazione del moto, otteniamo: Osservando che dx/dt è la velocità v x, si ottiene: Integriamo il primo membro: La variabile di integrazione è v x La funzione integranda è f(v x )= v x La primitiva F(v x )= v 2 x /2

12 G.M. - Edile A 2002/03 Accelerazione in funzione della posizione Pertanto: Naturalmente per integrare il secondo membro doppiamo conoscere lespressione di a x (x). Esaminiamo il caso in cui laccelerazione a x (x) è costante, a x (x)= a xo. In conclusione otteniamo: Chiamando, come al solito, v xi =v xo, x i =x o, x f =x(t) e v xf =v x (t) Che ci da lespressione di v in funzione di x Da confrontare con quanto abbiamo già trovato nel moto di caduta dei gravi.


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