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Diciottesima Lezione Un esempio di esame scritto.

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Presentazione sul tema: "Diciottesima Lezione Un esempio di esame scritto."— Transcript della presentazione:

1 Diciottesima Lezione Un esempio di esame scritto

2 Tipologia di esercizi n Totale di 5 esercizi: n 2 di base (molto semplici) n 2 che richiedono esercizio n 1 esercizio più impegnativo

3 Esercizio 1 n Dato il campo vettoriale valutare n Soluzione: Per quanto riguarda la seconda quantità essa è identicamente nulla. Per la prima e quindi

4 Esercizio 2 n Sia dato il campo elettrico nel dominio dei fasori. Si calcoli il campo magnetico n Soluzione: basta usare lequazione di Faraday nel dominio dei fasori

5 Esercizio 3 Una sfera metallica di raggio R=4cm è ricoperta da uno strato di isolante ( r =10) di spessore d=1 cm. Se il potenziale della sfera rispetto allinfinito è 100V, si calcoli il campo elettrostatico in un punto P distante 20 cm dal centro della sfera Il problema può essere visto come quello di due condensatori sferici in serie, le cui capacità sappiamo calcolare (vd lezione 5). Uno è composto di due armature (la sfera di metallo ed una superficie equipotenziale concentrica di raggio 4+1=5cm), e laltro è semplicemente costituito dalla seconda armatura

6 Esercizio 3 Allora il primo condensatore ha capacità Mentre il secondo (capacità di un conduttore sferico…) La serie dei due restituisce Noti potenziale e capacità totale della sferetta, ricaviamo la carica

7 Esercizio 3 Il campo è (lezione 3), essendo in aria

8 Esercizio 4 Si vuole progettare un adattatore in quarto donda a 3 GHz, che consenta di adattare un carico di 100 ad un cavo coassiale con impedenza caratteristica 25 Se ladattatore è anchesso in coassiale, con raggio interno 1mm, quale deve essere la lunghezza e quale il raggio esterno se il dielettrico che riempie il cavo ha permettività 3? n Un adattatore in quarto donda deve avere impedenza caratteristica pari alla media geometrica

9 Esercizio 4 n Limpedenza caratteristica di un cavo coassiale è (lezione 15) n Per cui n La lunghezza deve essere 1/4 della lunghezza donda guidata: nel caso di un cavo coassiale, essendo unonda TEM, la velocità di propagazione è quella della luce nel dielettrico del cavo per cui n quindi

10 Esercizio 5 Supporre che il coefficiente di riflessione sul carico (posizione z=0) sia dato in ampiezza e fase, Trovare il valore (negativo) di z per cui la tensione è massima. Mostrare che la corrente è in fase con la tensione in tale punto, così che limpedenza è reale. Calcolare poi la posizione del massimo della tensione immaginando che la linea abbia impedenza caratteristica 50 ed il carico sia j100. n Il problema assegna il coefficiente di riflessione sul carico (momentaneamente procediamo in modo simbolico) RLRL Zo, z=0 z z=-l

11 Esercizio 5 n Le equazioni del telegrafista hanno soluzione per la tensione Per cui, evidenziando lampiezza dellonda progressiva, e sostituendo il valore del coefficiente di riflessione, si ha nella sezione - l Come sappiamo, gli esponenziali complessi sono solo seni e coseni, tali che il modulo dellesponenziale è 1 (se è reale); come tali, aggiungere allesponente un multiplo intero di 2 non cambia nulla. Il modulo della tensione è massimo quando i due termini esponenziali sono in fase (ovvero gli argomenti uguali a meno di multipli di 2 ), così che n Il che quindi avviene per la condizione

12 Esercizio 5 Per inciso, ritroviamo che anche i massimi di tensione hanno periodicità /2, la stessa che avevamo trovato per le impedenze di ingresso Verifichiamo che tensione totale e corrente totale sono in fase, così che il loro rapporto è una impedenza tutta reale: basta sostituire ad l il valore ora calcolato, e ripeterlo nellespressione delle correnti: n E per la corrente Ed inserendo il valore di l Vediamo che effettivamente il termine di fase è identico a quello per la tensione; notiamo però che qui il valore di corrente è MINIMO (il meno di fronte al modulo di ) Quindi, come ci aspettavamo, in tale punto le onde progressive e regressive di tensione interferiscono in modo costruttivo (segno +) mentre quelle di corrente in modo distruttivo

13 Esercizio 5 Tra laltro è anche semplice verificare che a /4 (ovvero /2 in termini di lunghezza elettrica [in pratica il prodotto l ]) dal massimo di tensione, incontreremo un minimo di tensione (ed un max di corrente), così che limpedenza sia di nuovo reale, ma minima n Quindi, tornando al nostro problema, limpedenza vista in tale sezione verso il carico è massima ed è n Volendo valutare tali risultati per i dati numerici forniti dal problema, calcoliamoci prima il coefficiente di riflessione sul carico (in formato modulo e fase) n Sostituendo tale valore di fase, vediamo che il primo punto dal carico in cui si ha un massimo di tensione è per

14 Alcune osservazioni sulle notazioni n La fase di un numero complesso si trova come arco tangente del rapporto tra parte immaginaria e reale (occhio a verificare che la calcoliate in gradi o radianti!!). Essa viene talvolta indicata come arg() di un numero complesso o con il simbolo quindi il valore del coefficiente di riflessione in coordinate polari poteva essere indicato come

15 Un altro esercizio sulle linee Una sezione di cavo coassiale avente unimpedenza caratteristica di 50, ed una velocità di fase di 200 m/ s, è terminato con un corto circuito ed opera alla frequenza di 10 MHz. Si determini la lunghezza minima della linea tale che, ai terminali di ingresso, la linea abbia unimpedenza pari a quella di un condensatore di 100 pF. Si determini inoltre la distanza minima tale che la linea appaia essere una induttanza di 1 H n Abbiamo visto che limpedenza di ingresso di un tratto di linea in corto circuito è n E vogliamo che tale quantità sia pari allimpedenza prodotta da una capacità n quindi

16 Un altro esercizio sulle linee n Non conosciamo ancora la costante di propagazione, ma conosciamo la velocità di fase per cui A questo punto abbiamo tutto e possiamo calcolarci la lunghezza. Si noti che nellarco tangente avremo sempre unindecisione di, per cui converrà sempre verificare se, sottraendo al valore calcolato dellarco, la lunghezza resta positiva: la minima lunghezza (positiva) è quella cercata n La risoluzione per il caso induttivo è del tutto analoga, dovendo solo cercare i valori dellarco tangente tali che n E per avere tale impedenza il tratto di linea necessario è lungo 2.86m

17 Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati Utilizzando lanalogia con le linee n Unonda piana che viaggia in aria, in direzione z, con campo elettrico sinusoidale (f=3GHz), ampiezza 1V/m, incide ortogonalmente su una barra dielettrica uniforme in x ed y, con permettività dielettrica 3, e spessore d 1 cm; a tale interfaccia londa piana incidente ha fase nulla. Si calcoli lampiezza dellonda piana trasmessa al di là della barra dielettrica (di nuovo aria) Il problema è di fatto quello di una linea equivalente con impedenza caratteristica pari allimpedenza donda in aria (377 ), che allinterfaccia z=0 ha ampiezza V + =1 Zo aria Zo Zo aria

18 Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati n Nella schematizzazione a linee equivalenti abbiamo considerato il fatto che lo strato di aria a destra è illimitato, per cui in tale strato non avremo onde regressive, e limpedenza offerta allingresso di una linea infinita è proprio limpedenza caratteristica. Con questi dati sappiamo calcolare limpedenza vista allingresso della seconda linea ed il problema è molto simile a quello descritto nella lezione 16. Se calcoliamo tale impedenza in accordo con la formula che conosciamo (lezione 15), in cui il carico R L è Zo aria Ed il è la costante di propagazione nella barra dielettrica. Allora sappiamo immediatamente il coefficiente di riflessione in z=0 n E quindi lampiezza dellonda riflessa in aria, nella regione a sinistra

19 Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati n E conseguentemente lampiezza del campo elettrico totale allinterfaccia z=0 n Il campo elettrico tangenziale (ovvero la tensione totale, in realtà ampiezza del campo elettrico nella nostra analogia) deve essere continuo allinterfaccia dielettrica z=0, per cui tale tensione è quella che troviamo allingresso della seconda linea, ed il problema è ora semplificato in quello di una linea con generatore V Siamo quindi anche in grado trovare immediatamente lampiezza del campo (la tensione totale) in z=d essendo per la seconda linea RlRl Zo V z 0 I d n Infatti possiamo determinare i coefficienti incogniti V 2, poichè allinterfaccia n Ed inoltre

20 Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati n In questo modo sappiamo trovare lampiezza dellonda progressiva e di quella regressiva anche nel mezzo 2 (le V 2 ), in funzione di quantità già calcolate: risolvendo il sistema otteniamo infatti Quindi il campo (la tensione totale) in z=d è

21 Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati Inseriamo i valori numerici: Zo aria è semplicemente 377 mentre Z 0 è n Nella formula per limpedenza di ingresso occorre la costante di propagazione nella seconda linea (dielettrico) a 3 GHz, cioè n Quindi limpedenza di ingresso diventa n Ed il coefficiente di riflessione in z=0

22 Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati n I valori di V 2 + e V 2 - sono n Ed il valore del campo in z=d n Il cui modulo vale

23 Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati OSSERVAZIONI n In realtà lesercizio è su mezzi privi di perdite (tutte Zo reali), in cui nessuna potenza viene dissipata, e deve valere il semplice bilancio energetico tra potenza trasmessa e riflessa, introdotto nella lezione 16, ovvero (adeguando i simboli a quelli dellesercizio n Nel nostro caso RL e Zo aria sono la stessa cosa (perché il mezzo 1, di incidenza, ed il 3 di trasmissione, sono aria), per cui questo equivale a dire che n Ed in effetti considerando che V + vale 1 V/m, otteniamo immediatamente n Risparmiando molti conti...


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