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Fenomeni ondulatori 1 Lezione 14. Fenomeni ondulatori 2 Tipi fondamentali di onde Onde trasversali: loscillazione (o la perturbazione) è in direzione.

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1 Fenomeni ondulatori 1 Lezione 14

2 Fenomeni ondulatori 2 Tipi fondamentali di onde Onde trasversali: loscillazione (o la perturbazione) è in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dellonda (il moto del punto P è verticale mentre londa viaggia in orizzontale) Onde longitudinali: loscillazione (o la perturbazione) è nella stessa direzione di propagazione dellonda (il movimento è orizzontale come la velocità; ad esempio le onde sonore sono longitudinali) Onde miste: combinazione di moti trasversali e longitudinali. Nelle onde sulla superficie dellacqua le particelle hanno un movimento quasi circolare. Le onde trasversali richiedono che il mezzo offra resistenza agli sforzi di taglio nei gas non si possono avere onde trasversali, ma solo longitudinali

3 Fenomeni ondulatori 3 Ad un certo istante londa è descritta da una funzione y = f(x) che ne da' la forma spaziale (come se scattassimo una foto) Concentriamo l'attenzione sul punto in cui l'altezza dell'onda e' y M che a un certo istante t o = 0 si trova nella posizione x o Dopo un tempo t londa si è spostata di vt, e il punto di ampiezza y M si trova nel punto x 1 =x o +vt, quindi si ha f(x o ) = f(x 1 ) = f(x o – vt), cioe' non sono gli elementi del mezzo a conservare lo spostamento ma i punti sulla forma dell'onda Se tutti i punti viaggiano alla stessa velocita la forma della perturbazione non cambia e si sposta mantenendo inalterata la sua forma Dopo il passaggio della perturbazione, gli elementi del mezzo tornano alla posizione di equilibrio quello che si propaga e la perturbazione, non il mezzo attraversato dalla pertubazione, P P P Come si descrive la propagazione di un'onda?

4 Fenomeni ondulatori 4 A meno di effetti di distorsione limpulso si propaga rigidamente: la forma resta invariata y = f (x) a t=0. Dopo t lo spostamento verticale del punto P è y = f (x – vt) f(x,t) funzione donda y(x,t)=f(x-vt) oppure y(x,t)=f(x+vt) (onda retrograda)

5 Fenomeni ondulatori 5

6 6 Le onde sono spesso prodotte da oscillazioni (anche non regolari) di oggetti che trasmettono energia al mezzo Onde generate da un pennino connesso ad una massa oscillante Onda generata da un singolo impulso in moto lungo una corda tesa Onda acustica generata dalla compressione del fluido

7 Fenomeni ondulatori 7 Onde sinusoidali Onda sinusoidale: singoli punti oscillano come oscillatori armonici semplici y(x,t) = A sin[b(x-vt)] Ampiezza della perturbazione nella posizione x all'istante t Fattore oscillatorio Fase dell'onda in radianti, b e' un fattore che fa si che la fase abbia le dimensioni di un angolo

8 Fenomeni ondulatori 8 cresta t fisso x fisso ventre nodo Le onde possiedono due tipi di periodicita': Spaziale se fissiamo t (cioe' scattiamo un'istantanea dell'onda), le oscillazioni si ripetono a intervalli, che e' la lunghezza d'onda Temporale se ci mettiamo in una posizione fissa e guardiamo gli spostamenti dalla posizione di equilibrio del punto in funzione del tempo, le oscillazioni si ripetono dopo un intervallo di tempo T, che e' il periodo dell'onda e T non sono indipendenti: in un periodo T, l'onda si sposta di una lunghezza, cioe' /T= v, vel di propagazione dell'onda NB: l'onda armonica o onda piana e' infinitamente estesa nel tempo e nello spazio,percio' rappresenta una idealizzazione. In pratica tutte le onde hanno un'estensione limitata nel tempo e nello spazio –si parla di treni di onde o di pacchetti di onde

9 Fenomeni ondulatori 9 onda verso destra y = A sin (k x – t) L'argomento del fattore oscillatorio deve avere le dimensioni di un angolo, cioe' deve essere adimensionale e al tempo stesso dipendere dalla combinazione x-vt si introduce quindi la quantita' b = 2 / ´ k detto numero d'onda che ha dimensioni [L] -1 (inverso di una lunghezza), cosi' che la fase sia un numero privo di dimensioni fisiche Ma /T= v v = /T lunghezza donda periodo T frequenza = 1/ T velocita' di prop. V = / T ampiezza A numero donda k=2 pulsazione ω T = 2

10 Fenomeni ondulatori 10 Meccanismo di propagazione delle onde meccaniche La propagazione delle onde dipende da una proprieta inerziale del mezzo, cioe capacita di immagazzinare energia cinetica e da una sua proprieta elastica, cioe capacita di immagazzinare energia potenziale elastica La relazione = v (1) fissa la relazione fra lunghezza d'onda e periodo: la sorgente fissa per esempio la frequenza (p es quanto rapidamente agito la mano nell'acqua); le proprieta' fisiche fissano la velocita' di propagazione v, la relazione (1) fissa Il periodo dell'onda (cioe' la frequenza) e' lo stesso della sorgente, esso non cambia durante il moto (ie se v diminuisce, lambda aumenta e viceversa)

11 Fenomeni ondulatori 11 Il fronte donda Fronte donda piano: la sorgente e' una sorgente a simmetria piana a sinistra Fronte donda circolare: la sorgente delle onde è una sorgente puntiforme al centro In un mezzo omogeneo e isotropo le onde si propagano in linea retta Il fronte d'onda e' il luogo geometrico dei punti dello spazio a t = costante in cui la fase dell'onda ha lo stesso valore, cioe' il luogo dei punti che ad un dato t hanno la stessa ampiezza I fronti d'onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda Vista trasversale

12 Fenomeni ondulatori 12 I raggi donda Fronte donda piano: i raggi sono tutti paralleli fra loro (tecnicamente individuano la giacitura del piano) Fronte donda circolare o sferica: la sorgente delle onde è un punto al centro, i raggi sono semirette radiali La direzione di propagazione di un'onda e' individuata dal raggio dell'onda I raggi sono le direzioni perpendicolari ai fronti d'onda raggio

13 Fenomeni ondulatori 13 Se la velocità dellonda è la stessa in tutte le direzioni, il fronte donda coincide con il luogo geometrico dei punti equidistanti dalla sorgente e raggiunti dallonda stessa all'istante considerato. Ad esempio: SorgenteFronte dondaEsempi PuntiformeOnde sferiche o circolari Sasso che cade in acqua FiliformeOnde cilindricheOnda sonora generata da una fila di auto in colonna PianaOnde pianeLamina bidimensionale vibrante

14 Fenomeni ondulatori 14 Fronti d'onda

15 Fenomeni ondulatori 15 Energia delle onde Le onde trasmettono energia ne quantita' di moto: se appendiamo una piccola massa alla corda, essa si solleva quando viene raggiunta dalla perturbazione essa acquista energia cinetica e potenziale (poiche' la sua quota viene variata) a spese di quella trasportata dall'onda

16 Fenomeni ondulatori 16 Intensita' di un'onda E' definita come la potenza che attraversa un fronte d'onda di "area" unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione I = P/S e si misura in W/m 2 Oltre alla frequenza, lunghezza d'onda e velocita' di propagazione, c'e' anche un altro parametro importante per un'onda: la sua intensita' Come ci accorgiamo quando un "intenso" rumore ci impedisce di dormire O un'onda marina "intensa" ci manda a gambe all'aria in riva al mare O quando "non c'e' campo" per il telefonino... In tutti i casi non importa quale sia la velocita' o frequenza, importa quanta energia riceviamo per unita' di superficie sensibile (timpano, corpo, antenna), la potenza totale ricevuta dipende poi da quanto e' grande la superficie ricevente: P = I£S

17 Fenomeni ondulatori 17 Intensita' di un'onda 3D L'energia trasportata e' trasferita al mezzo dalla sorgente (che deve compiere lavoro) Se nel mezzo non ci sono sorgenti o pozzi che possono immettere o assorbire energia, l'energia totale dell'onda si conserva Nel corso della propagazione il fronte d'onda si espande, aumentando la dimensione, p. es. la superficie nel caso di onde sferiche la stessa energia si distribuisce su una superficie sempre piu' grande S R1R1 R2R2 Se la sorgente emette una potenza P (= E/ t), dopo un tempo T 1, la stessa potenza si trova distribuita su un fronte d'onda di superficie A 1 a distanza R 1 dalla sorgente, P 1 = P; dopo un tempo T 2, la stessa potenza P e' distribuita su un fronte d'onda a distanza R 2, P 2 = P tenendo conto che A =4 R 2 Dato che I = P/S P = I 1 A 1 = I 2 A 2 I 2 = (A 1 /A 2 )I 1 = (R 1 2 /R 2 2 )I 1 Quindi, se misuriamo l'intensita' I 1 a distanza R 1, sappiamo che essa decresce con il quadrato della distanza dalla sorgente (ie pensate fissati e noti I 1 ed R 1 ) Dato che deve essere P = IA = I 4 R 2, cioe' quando sommiamo l'intensita' su tutto il fronte d'onda dobbiamo ritrovare la stessa potenza emessa dalla sorgente I = P/(4 R 2 )

18 Fenomeni ondulatori 18 Intensita' sonora L'orecchio umano percepisce l'intensita' sonora con una scala logaritmica

19 Fenomeni ondulatori 19 Esempio

20 Fenomeni ondulatori 20 Principio di sovrapposizione In matematica: proprietà algebrica dei sistemi di equazioni lineari, se esistono più soluzioni, ogni combinazione lineare di queste sarà ancora soluzione del sistema. In fisica: stesso principio dove le equazioni sono le equazioni dinamiche del sistema (per es. equazioni del moto) e le soluzioni sono le evoluzioni temporali del sistema. se F 1 (x,t) ed F 2 (x,t) soluzioni F(x,t) = a F 1 (x,t) + b F 2 (x,t) è ancora soluzione

21 Fenomeni ondulatori 21 …applicato alle onde In ogni punto dello spazio in cui due onde incidono, loscillazione complessiva è la somma algebrica delle oscillazioni delle due onde incidenti. Le onde generano figure complesse nelle regioni in cui si scontrano,ma, apparentemente si ignorano, emergendo da queste zone esattamente come vi erano entrate.

22 Fenomeni ondulatori 22 Le perturbazioni hanno lo stesso segno quando si sovrappongono (in tal caso si dice sono in fase): l'ampiezza risultante e' amplificata (rispetto alle singole onde)

23 Fenomeni ondulatori 23 La perturbazioni hanno segno opposto quando si sovrappongono (in tal caso si dice sono in opposizione di fase): l'ampiezza risultante e' diminuita (rispetto alle singole onde)

24 Fenomeni ondulatori 24 Sovrapposizione e interferenza La combinazione di onde nella stessa regione di spazio è detta interferenza

25 Fenomeni ondulatori 25 Sovrapposizione ed interferenza di onde sinusoidali Caso di onde che si propagano nella stessa direzione e verso

26 Fenomeni ondulatori 26 interferenza e coerenza Infatti se = (t) (cioe' se la differenza di fase dipende dal tempo) e la variazione e' casuale perche' le due sorgenti emettono in modo indipendente, allora il valor medio della funzione cos (t) e' =1 e quindi I tot = I 1 + I 2 e non c'e' interferenza Quando due sorgenti hanno in ogni punto una differenza di fase costante nel tempo (ma che puo' cambiare da punto a punto nello spazio) si dicono coerenti L'interferenza avviene solo fra sorgenti coerenti (ecco perche' quando parliamo in piu' d'uno, p es, non si ha interferenza) Si puo' dimostrare che I tot = (I I I 1 I 2 cos( /2)) 1/2 interferenza costruttiva interferenza distruttiva interferenza "media"

27 Fenomeni ondulatori 27 Interferenza di onde sferiche Nelle strisce intorno alle linee A le 2 perturbazioni si rinforzano, producendo ampie oscillazioni. In ogni punto arrivano assieme le creste emesse dalle 2 sorgenti, poi le gole, poi le creste... Nelle strisce attorno alle linee N le 2 perturbazioni si annullano e lasciano lacqua quasi imperturbata. In ogni loro punto arriva una cresta della prima e una gola della seconda, poi una gola della prima e una cresta della seconda..... L'interferenza e' causata dal differente cammino che le due onde fanno per arrivare in un punto P: esistono direzioni lungo le quali si ha effetto costruttivo o distruttivo P

28 Fenomeni ondulatori 28 Riflessioni a un'estremita' Se un'estremita' e' fissa, quando l'onda raggiunge il punto fisso, l'ampiezza dell'onda in P e' zero (perche' e' fisso), cioe' e' un nodo L'estremo esercita una forza sulla parete verso la parete; per reazione la parete esercita una forza uguale e opposta sulla corda verso il basso La forza di reazione genera un impulso che viaggia a ritroso nel verso opposto a quello incidente

29 Fenomeni ondulatori 29 Se lestremità della corda è libera limpulso incidente viene riflesso senza essere invertito, cioe' e' un antinodo (ventre o cresta) Infatti l'elemento di corda all'estremita' libera della corda, nel momento di max ampiezza, esercita una forza sulla parete pari alla tensione e perpendicolare alla parete, che per reazione esercita una forza uguale e contraria sulla corda invertendone la direzione del moto, ma non la fase perche' non vi sono componenti verticali della reazione RT

30 Fenomeni ondulatori 30 Fenomeni ondulatori I fenomeni ondulatori sono molto diffusi in natura ed hanno delle caratteristiche comuni. Le onde che si prestano a facili osservazioni sono quelle che si formano sulla superficie dellacqua Una perturbazione provoca progressivamente creste e valli che si propagano nelle due direzioni. Sasso gettato in uno stagno si ha la formazione di anelli concentrici che si allargano. Il profilo dellonda è la sinusoide disegnata per illustrare il moto del pendolo. Onda meccanica lungo una corda, una molla, sulla superficie di un liquido

31 Fenomeni ondulatori 31 Fenomeni ondulatori La distanza tra due creste (o tra due valli o in generale la più piccola distanza tra due punti in cui lampiezza dellonda è uguale) si chiama lunghezza donda. Un punto fisso dello spazio, ad esempio un sughero che galleggia sullacqua si muoverà su e giù nel tempo con lo stesso andamento sinusoidale. Tornerà alla sua posizione originale in un periodo. Frequenza: n. oscillazioni in un secondo f = 1/T (Hertz=1/s) Ampiezza di oscillazione Lunghezza donda Ampiezza

32 Fenomeni ondulatori 32 Tipi di onde Onde trasversali (onda lungo la corda, sulla superficie dacqua) Onde longitudinali (onda di percussione in un solido, molla si comprime o si dilata una tratto di molla) vibrazionepropagazione vibrazionepropagazione

33 Fenomeni ondulatori 33 Propagazione di unonda Le onde viaggiano: fotografando londa a due istanti diversi londa apparirà la stessa ma traslata, spostata, in una direzione. Ogni punto dello spazio ritorna alla sua posizione originaria in un periodo, in tale intervallo di tempo londa si sarà spostata in modo da apparire identica, il che avviene se londa ha viaggiato per una lunghezza donda (λ, lettera greca lambda). La velocità di propagazione dellonda sarà quindi (moto rettilineo uniforme): v = λ/T= λf Oscillazioni smorzate: energia dissipata per effetto di attriti -> graduale diminuzione dellampiezza Oscillazioni forzate: energia rifornita al sistema -> graduale aumento dellampiezza t S(t) o o t

34 Fenomeni ondulatori 34 Sovrapposizione di onde Cosa avviene quando due onde si incontrano nel loro moto? Quando due o più onde attraversano lo stesso mezzo, lo spostamento di una qualsiasi particella del mezzo è la somma degli spostamenti che le singole onde le imprimono. P.es.: Se arrivano due creste o due avvallamenti contemporaneamente, le ampiezze si sommano Se arrivano contemporaneamente una cresta ed un avvallamento, le ampiezze si compensano L interferenza è il segno distintivo del comportamento ondoso. Se due onde della stessa ampiezza e della stessa lunghezza donda si sovrappongono in modo tale che le creste delluna coincidano con le valli dellaltra il risultato sarà: nessuna onda! Risonanza: amplificazione dellampiezza delle oscillazioni per effetto di un impulso periodo della stessa frequenza. Le onde circolari il raggio diviene sempre più grande. A grande distanza, le creste acquistano il profilo quasi di una retta (fronte donda) perpendicolare alla direzione di propagazione.

35 Fenomeni ondulatori 35 Onde ed ostacoli Cosa avviene se le onde nel loro cammino incontrano un ostacolo che impedisce la propagazione (come una sponda)? Si può osservare, che se il fronte donda è piano e lostacolo anche, londa si riflette e dopo aver urtato contro lostacolo ripartendo in modo tale che langolo di incidenza è uguale allangolo di riflessione Angolo di incidenza Angolo di riflessione Sponda Propagazione delle fronti donda

36 Fenomeni ondulatori 36 o = ( )/2 Cosa succede se la corda ha una lunghezza finita? P. Es ha i due estremi fissi

37 Fenomeni ondulatori 37 Poniamo per semplicita' o = 0 y 1 = A sin (kx – t); y 2 = A sin (kx + t) y tot = y 1 + y 2 = 2Asin(kx)cos( t) la dipendenza dal tempo è fattorizzata Londa risultante NON si propaga: è stazionaria In un punto x si ha un'oscillazione armonica di pulsazione con un'ampiezza A' = 2Asin(kx) che dipende da x

38 Fenomeni ondulatori 38 Si hanno nodi (ampiezza nulla) per y tot = 2A sin(kx)cos( t) Si hanno nodi quando sin(kx) = 0 Si hanno antinodi (ventri o creste) quando sin(kx) = §1 (+creste, - nodi)

39 Fenomeni ondulatori 39 Onde stazionarie nelle corde Londa è sottoposta a condizioni al contorno: solo le onde che hanno nodi alle estremità sono permesse (quantizzazione) n/2 = L ovvero = 2L/n n=1 n=2 n=3

40 Fenomeni ondulatori 40

41 Fenomeni ondulatori 41 Serie armonica Una corda di lunghezza L vibra secondo i modi normali con = 2L/n La frequenza dei modi normali è pertanto: n=1 frequenza fondamentale, n>1 armoniche superiori Le frequenze dei modi normali sono frequenze di risonanza NB: le considerazioni svolte si applicano invariate alle onde longitudinali

42 Fenomeni ondulatori 42 Onde stazionarie ad estremi liberi Stesso meccanismo ma con estremità aperte antinodi (creste o ventri) con due estremità aperte λ è come nelle corde e n = n 1 = n (v/2L) n = 1, 2, 3, … con v velocità del suono nel mezzo I palazzi, per esempio, sottoposti a sollecitazioni trasversali "vibrano" come corde, alle frequenze naturali n e si possono aveere conseguenze disastrose in condizioni particolari

43 Fenomeni ondulatori 43 Leziome 15

44 Fenomeni ondulatori 44 Onde in mezzi diversi Se le onde durante il loro moto passano repentinamente da una zona in cui lacqua ha una certa profondità diversa cambia la loro velocità di propagazione e si ha il fenomeno della rifrazione V1V1 V2V2 La moneta che riappare

45 Fenomeni ondulatori 45 Attività sulle onde Osservazione di onde superficiali sullacqua facendo vibrare a mano una matita o un righello appena immersi nellacqua Osservazione di onde trasversali su corde legando una corda abbastanza pesante ad un estremo e scuotendo in senso verticale lestremo opposto di possono creare queste onde e osservare le riflessioni Osservazioni su onde longitudinali in lunghe molle elicoidali La chitarra Il flauto di Pan Registrazioni di suoni di frequenza variabile Le onde trasportano energia!

46 Fenomeni ondulatori 46 Fonti Halliday, Resnick, Fondamenti di Fisica, Masson, 1996 Sette, Lezioni di fisica


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