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Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris.

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Presentazione sul tema: "Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris."— Transcript della presentazione:

1 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris

2 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 2 Guido Buzzi-Ferraris Minimo monodimensionale Guido Buzzi Ferraris Dipartimento di Chimica Materiali e Ingegneria Chimica Politecnico di Milano

3 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 3 Guido Buzzi-Ferraris In che cosa consiste il problema del minimo monodimensionale? Esempio Trovare il valore di t, t s, che renda minima la seguente funzione: Si supponga di avere una funzione F(t) che dipenda da una sola variabile, t. La ricerca del minimo della funzione F(t) viene chiamato problema di minimo monodimensionale in quanto la funzione F dipende da una sola variabile, t. nellintervallo t A = 0, t B = 4

4 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 4 Guido Buzzi-Ferraris Il problema della ricerca del minimo monodimensionale è importante perché: 1. Esistono problemi reali di minimo di funzioni monodimensionali. 2. Un problema di minimo multidimensionale viene spesso risolto con una sequenza di minimi monodimensionali.

5 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 5 Guido Buzzi-Ferraris Un problema di massimo di una funzione può sempre essere trasformato in un problema di minimo della stessa funzione con il segno cambiato. Wooka: Anche nella vita basta un segno per passare da una visione pessimistica ad una ottimistica e viceversa. Si osservi che:

6 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 6 Guido Buzzi-Ferraris Due categorie di metodi 1. Metodi basati sul confronto 2. Metodi che approssimano la funzione con una più semplice

7 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 7 Guido Buzzi-Ferraris Metodi di confronto I metodi di confronto sono lequivalente per il problema del minimo monodimensionale del metodo del dimezzamento per il problema di azzeramento di una funzione. Nel caso dellazzeramento di una funzione il metodo del dimezzamento richiede la conoscenza di un intervallo di incertezza ossia di un intervallo per cui la funzione assume valori di segno opposto agli estremi. Nel caso della ricerca del minimo monodimensionale con un metodo di confronto lintervallo di incertezza è un intervallo entro il quale la funzione obiettivo è unimodale.

8 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 8 Guido Buzzi-Ferraris Definizione: Funzione unimodale Una funzione viene detta unimodale in un intervallo t A t B se in tale intervallo esiste un solo punto di minimo, t M. Attenzione!!! Se una funzione ha dei tratti in cui è costante essa NON è unimodale.

9 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 9 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Quando si eseguono calcoli su calcolatore molte proprietà che sono vere in analisi classica (senza errori di arrotondamento) possono non essere più vere.

10 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 10 Guido Buzzi-Ferraris Può succedere che una funzione che per lanalisi classica è unimodale in un certo intervallo non lo sia più se si sta utilizzando un calcolatore. Intervallo di definizione La distanza minima al di sotto della quale la funzione cessa di essere numericamente unimodale viene detta intervallo di definizione e indicata con il simbolo. Ciò accade quando due punti sono troppo vicini fra loro e forniscono lo stesso valore della funzione a causa degli errori di arrotondamento.

11 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 11 Guido Buzzi-Ferraris Come si fa a stimare lintervallo di definizione? Si supponga che la funzione F(t) sia ben rappresentabile con una parabola nei pressi del minimo t M. Il termine diventa trascurabile rispetto a F se: ossia se: con dove si è indicato con la precisione con cui vengono eseguiti i calcoli.

12 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 12 Guido Buzzi-Ferraris Lordine di grandezza di è perciò proporzionale alla radice quadrata di. Mentre nel problema dellazzeramento di una funzione la precisione finale della soluzione è spesso proporzionale a nel caso del minimo di una funzione non si può andare oltre alla radice quadrata di. Se è uguale a (doppia precisione) la sua radice quadrata è uguale a

13 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 13 Guido Buzzi-Ferraris Sapendo che una funzione è unimodale entro un certo intervallo quanti punti sono necessari per ridurre lintervallo di incertezza nel caso dellottimo monodimensionale? Nel caso del metodo del dimezzamento nel problema dellazzeramento di una funzione basta un punto, quello centrale, per poter prendere la decisione che permette di dimezzare lintervallo di incertezza.

14 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 14 Guido Buzzi-Ferraris tAtA tBtB t1t1 Un punto NON basta per prendere una decisione t2t2 Si conosce un intervallo di incertezza t A t B Adesso con due punti POSSIAMO prendere una decisione Se la funzione è unimodale possiamo eliminare lintervallo t A t 1 perché, essendo F(t 2 ) < F(t 1 ), il minimo si deve trovare fra t 1 e t B Si sposta il punto t A e lo si posiziona su t 1 tAtA Nuovo intervallo di incertezza Come si può osservare il punto migliore rimane interno al nuovo intervallo di incertezza. NON è possibile sapere se il minimo si trova fra t A e t 1 o fra t 1 e t B

15 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 15 Guido Buzzi-Ferraris Perciò mentre per iniziare la ricerca servono due punti per prendere una decisione, nelle iterazioni successive ne basta uno solo dal momento che un punto si trova già allinterno dellintervallo di incertezza.

16 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 16 Guido Buzzi-Ferraris Nasce il seguente problema Come conviene piazzare i primi due punti e i successivi affinché dopo un assegnato numero di iterazioni risulti minimo il massimo intervallo finale di incertezza? Il problema è veramente arduo da risolvere. Provare per credere.

17 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 17 Guido Buzzi-Ferraris Breve parentesi su problemi di logica

18 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 18 Guido Buzzi-Ferraris Esiste una forma di ragionamento che utilizza un tipo di logica molto diffusa: quella che io chiamo logica da ingegnere. E una forma di logica di tutto rispetto che permette di costruire case, ponti, impianti chimici e così via. E una vera logica perché viene utilizzata per fare ragionamenti e non semplici deduzioni. La chiamo logica da ingegnere perché è tipica della mentalità dellingegnere: non far mai il passo più lungo della gamba; vai da una soluzione sicura ad unaltra poco diversa e anchessa sicura; costruisci una casa dalle fondamenta e non dal tetto. Chi di voi è mai andato in campeggio? Fino agli anni settanta le tende erano costruite con la mentalità degli ingegneri: il telo era sorretto dai pali e il tutto era tenuto insieme da picchetti. Un genio si è invece chiesto: perché non costruisco prima il tetto e ci attacco sotto la tenda? E così sono nate le moderne tende che si costruiscono in meno di un minuto, si possono spostare dove si vuole anche già costruite e possono essere montate anche sulla sabbia dove solo campeggiatori tedeschi (sicuramente ingegneri) potevano costruire le tende tradizionali usando picchetti lunghi un metro.

19 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 19 Guido Buzzi-Ferraris Ma per essere dei geni o semplicemente per creare qualcosa di nuovo la logica da ingegnere è poco efficiente se non addirittura impotente !

20 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 20 Guido Buzzi-Ferraris Quesito In un torneo di tennis ad eliminazione diretta partecipano 113 persone. Quante partite saranno state giocate alla fine del torneo?

21 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 21 Guido Buzzi-Ferraris Poiché 113 non è divisibile per 2 al primo turno un giocatore riposa e vengono fatte 112/2 = 56 partite. 56 Al secondo turno partecipano 57 giocatori. Poiché anche 57 non è divisibile per 2 al secondo turno un giocatore riposa e vengono fatte 56 / 2 = 28 partite. 28 Al terzo turno partecipano 29 giocatori. Poiché anche 29 non è divisibile per 2 al terzo turno un giocatore riposa e vengono fatte 28 / 2 = 14 partite. 14 Al quarto turno partecipano 15 giocatori. Poiché anche 15 non è divisibile per 2 al quarto turno un giocatore riposa e vengono fatte 14 / 2 = 7 partite. 7 Al quinto turno partecipano 8 giocatori e perciò verranno fatte 8 / 2 = 4 partite. 4 Al sesto turno partecipano 4 giocatori e perciò verranno fatte 4 / 2 = 2 partite. 2 Al settimo turno si gioca la finale ossia lultima partita. 1 Partite totali giocate = 112

22 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 22 Guido Buzzi-Ferraris Il precedente ragionamento viene effettuato usando la logica tradizionale (logica da ingegnere) ossia un passo alla volta da una certezza ad unaltra certezza. ma E possibile utilizzare la logica laterale ossia cercare di saltare subito alla soluzione per una via più diretta. In un torneo di tennis a eliminazione diretta in cui ci sono 113 giocatori vi sarà un solo vincitore e 112 perdenti. Perciò si disputeranno 112 partite.

23 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 23 Guido Buzzi-Ferraris Ma professore è impossibile che in un torneo di tennis ci siano 113 partecipanti!! Ecco uno studente che aveva appreso a fondo la logica da ingegnere!

24 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 24 Guido Buzzi-Ferraris Come conviene piazzare i primi due punti e i successivi affinché dopo un assegnato numero di iterazioni risulti minimo il massimo intervallo finale di incertezza? Abbiamo visto che il problema di trovare la strategia di selezione dei punti tale da rendere minimo il massimo intervallo finale di incertezza non è di facile soluzione se si parte con la domanda apparentemente più logica: E invece relativamente facile risolvere tale problema utilizzando la logica laterale e cioè cercando di vedere quali saranno le condizioni finali della sequenza.

25 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 25 Guido Buzzi-Ferraris Affrontiamo perciò il precedente problema con la logica laterale! Quale sarà la situazione finale? Alla fine per poter prendere lultima decisione dovremo utilizzare due prove. Quale è la scelta ottimale che rende minimo il massimo intervallo finale di incertezza con due prove? Questo problema è facile da risolvere: le due prove devono essere simmetriche nellinterno dellintervallo (perché altrimenti non minimizzerebbero il massimo intervallo di incertezza finale) e il più possibile vicine fra loro.

26 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 26 Guido Buzzi-Ferraris L1L1 L2L2 L 2 risulta minore di L 1 perché i suoi punti sono più vicini. La minima distanza fra le due prove è, intervallo di definizione. Date le due seguenti situazioni finali:

27 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 27 Guido Buzzi-Ferraris Perciò se il numero totale di prove richiesto è N le due ultime prove dovranno trovarsi a distanza fra loro e essere centrate nel penultimo intervallo di ampiezza L N-1 in modo che lintervallo finale avrà ampiezza L N. E facile vedere che: Di queste due prove una, t *, deve provenire da uniterazione precedente e una sarà lultima prova t N. LNLN LNLN tNtN t*t* L N-1

28 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 28 Guido Buzzi-Ferraris Daltra parte lintervallo L N-1 è ricavato dallintervallo L N-2 in uno dei seguenti modi. Se la prova t N-1 è migliore della prova t N-2 si ha la situazione di destra e t N-1 è già pronto nella giusta posizione. Se la prova t N-2 è migliore della prova t N-1 si ha la situazione di sinistra e t N-2 è già pronto nella giusta posizione. In entrambi i casi: L N-2 = L N + L N-1 t N-2 tNtN LNLN LNLN L N-1 LNLN LNLN t N-1 tNtN L N-1 t N-1 L N-2

29 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 29 Guido Buzzi-Ferraris Mettendo insieme le due precedenti relazioni: si ottiene:

30 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 30 Guido Buzzi-Ferraris Daltra parte lintervallo L N-2 è ricavato dallintervallo L N-3 in uno di due possibili modi a seconda che sia migliore la prova di sinistra o di destra. Nel caso in cui la prova migliore sia quella di sinistra si ha la seguente situazione. E facile vedere che: e perciò: LNLN LNLN tNtN t N-2 L N-1 LNLN LNLN t N-1 tNtN L N-1 t N-1 t N-2 L N-2 L N-3 L N-1

31 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 31 Guido Buzzi-Ferraris Proseguendo nello stesso modo si ottiene la seguente formula generale: dove F j è il j-esimo numero della serie di Fibonacci Si osservi che i numeri di Fibonacci sono legati dalla relazione:

32 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 32 Guido Buzzi-Ferraris Parentesi storica. Fibonacci (il cui vero nome era Leonardo Pisano essendo nato a Pisa nel 1175) ha trovato la famosa sequenza di numeri che prende il suo nome cercando di risolvere il seguente problema: Se una coppia di conigli mette al mondo ogni mese una coppia di piccoli che dopo un mese mettono al mondo a loro volta una coppia di conigli quante coppie di conigli avremo dopo un anno se tutti i conigli rimangono in vita? Si ottiene perciò la sequenza dei numeri di Fibonacci Febbraiox Marzox + Aprilex x + Maggiox x x + + Giugnox x x x x Gennaiox

33 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 33 Guido Buzzi-Ferraris Se nella precedente formula: si pone j = N – 1 si ottiene: Da cui: Questa formula ci permette di calcolare il valore ottimale L N per ogni valore di N se è noto e lampiezza dellintervallo iniziale L 1.

34 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 34 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Lintervallo di incertezza iniziale sia t A = 0 t B = 18. Quale sarà il minimo del massimo intervallo finale usando 4 prove sapendo che è uguale a 1? Utilizzando la formula precedente: Con N = 4 si ottiene:

35 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 35 Guido Buzzi-Ferraris Ma conoscendo L N si possono ricavare anche tutti gli altri intervalli intermedi usando la relazione generale: Con j = 2 si ottiene: Con j = 1 si ottiene: Perciò le prime due prove saranno poste a distanza 11 da entrambi gli estremi in modo da ottenere qualunque sia il risultato delle due prove un intervallo L 2 = 11. Le prove sono già disposte in modo che le successive decisioni porteranno sempre ad un intervallo finale L 4 = 4.

36 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 36 Guido Buzzi-Ferraris Il metodo basato sulle precedenti formule per trovare i punti in cui effettuare le prove viene chiamato: Metodo di Fibonacci perché nel metodo compaiono i numeri di Fibonacci (non perché lo ha proposto lu)i.

37 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 37 Guido Buzzi-Ferraris Vantaggi del metodo di Fibonacci Svantaggi del metodo di Fibonacci Ha sempre la stessa efficienza indipendentemente dalla funzione considerata. Mentre ciò è un pregio per funzioni molto complicate risulta viceversa uno svantaggio con funzioni molto semplici. In particolare quando lintervallo di incertezza è molto piccolo spesso la funzione può essere ragionevolmente approssimata con una parabola. Garantisce la convergenza ad un minimo relativo. Rende minimo il massimo intervallo finale di incertezza. Richiede la conoscenza di un intervallo di incertezza. Richiede la conoscenza dellintervallo di definizione. Se la ricerca viene interrotta non è più il metodo che rende minimo il massimo intervallo finale di incertezza.

38 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 38 Guido Buzzi-Ferraris Metodo della sezione aurea Il metodo della sezione aurea appartiene alla famiglia di metodi di confronto. Esso si basa sullidea di ridurre gli intervalli di incertezza con un rapporto di riduzione costante. Dal momento che deve essere anche valida la seguente relazione: è facile calcolare il valore del rapporto c. Da cui si ottiene:

39 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 39 Guido Buzzi-Ferraris Il rapporto viene chiamato rapporto aureo.

40 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 40 Guido Buzzi-Ferraris Il precedente rapporto viene chiamato aureo perché gli antichi gli attribuivano un potere quasi magico. Esso ha rivestito e riveste tuttora un ruolo importantissimo nei settori più disparati: geometria, fisica, nelle arti decorative, in pittura, in architettura, nella composizione musicale Per esempio in architettura: Tutti i templi Greci sono costruiti rispettando tale rapporto fra altezze e larghezze per ogni rettangolo rintracciabile nella struttura. Anche i palazzi moderni sfruttano spesso tale rapporto: il palazzo dellONU ne è un esempio.

41 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 41 Guido Buzzi-Ferraris Fino a non molto tempo fa anche le finestre delle case e i fogli di carta da lettera erano in un formato tale per cui il rapporto fra altezza e larghezza era aureo. Per quale motivo oggi ci appaiono allungati e ci danno quasi un senso di disagio, mentre fino a non molto tempo fa apparivano come la perfezione assoluta (tanto da meritare appunto il nome di rapporto aureo)?

42 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 42 Guido Buzzi-Ferraris Perché ci stiamo abituando al nuovo standard UNI nato per evitare gli scarti.

43 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 43 Guido Buzzi-Ferraris Il berlinese Wilhelm Ostwald (che secondo me era un fotografo stufo di dover scartare un sacco di carta per la stampa delle sue foto) ha proposto di utilizzare per la carta e per ogni forma rettangolare da utilizzare con diverse pezzature la seguente regola. Il rapporto fra altezza e larghezza deve restare costante anche tagliando il rettangolo a metà. Ciò si ottiene se altezza e larghezza stanno fra loro nel rapporto In questo modo da un foglio di un certo formato se ne possono ottenere due di formato la metà senza avere scarti cosa che invece si avrebbe usando un rapporto aureo!

44 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 44 Guido Buzzi-Ferraris Il metodo della sezione aurea è molto facile da applicare. Le prime due prove saranno messe a una distanzadagli estremi del primo intervallo. Esempio Lintervallo di incertezza iniziale sia t A = 0 t B = 18. Le prime due prove saranno poste a distanza 18/1.168 dagli estremi. Che è un poco peggiore di quello trovato con il metodo di Fibonacci che era 4. Attenzione! Se con Fibonacci previsto per funzionare con 4 prove ci si fermava a 3 prove lintervallo finale sarebbe stato 7 ossia peggiore di quello ottenuto con la sezione aurea!

45 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 45 Guido Buzzi-Ferraris Vantaggi del metodo della sezione aurea Svantaggi del metodo della sezione aurea Ha sempre la stessa efficienza indipendentemente dalla funzione considerata. Mentre ciò è un pregio per funzioni molto complicate risulta viceversa uno svantaggio con funzioni molto semplici. In particolare quando lintervallo di incertezza è molto piccolo spesso la funzione può essere ragionevolmente approssimata con una parabola. Garantisce la convergenza ad un minimo relativo. E sempre efficiente qualunque sia il momento in cui si interrompe la ricerca. Richiede la conoscenza di un intervallo di incertezza. Non richiede la conoscenza dellintervallo di definizione,.

46 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 46 Guido Buzzi-Ferraris Metodi che approssimano la funzione con una più semplice Questi metodi utilizzano alcuni punti della funzione già calcolati per effettuare uninterpolazione esatta. Viene poi usato il modello che interpola esattamente la funzione per stimare il valore di t per cui essa risulta minima.

47 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 47 Guido Buzzi-Ferraris Quando si effettua una interpolazione esatta il modello deve avere le seguenti caratteristiche Deve rappresentare al meglio la funzione che si desidera simulare. Deve essere facile risolvere il sistema che permette di determinare i parametri. Deve essere facile usare il modello per effettuare una previsione. In molti casi deve essere facile stimare con il modello le derivate prime e seconde.

48 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 48 Guido Buzzi-Ferraris Il modello utilizzato deve essere tale da permettere di stimare facilmente il valore t in cui il modello stesso risulta minimo. Nel caso specifico in cui il modello che interpola esattamente la funzione viene utilizzato per stimare il valore t in cui la funzione è minima il modello deve possedere anche unaltra caratteristica:

49 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 49 Guido Buzzi-Ferraris Il solo modello ragionevole è il seguente Polinomio di secondo grado: che prevede il minimo nel punto:

50 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 50 Guido Buzzi-Ferraris Vantaggi del metodo di approssimazione parabolica Svantaggi del metodo di approssimazione parabolica Non sempre la funzione è approssimabile con una parabola. La velocità di convergenza è molto buona (è quadratica). Il metodo può divergere.

51 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 51 Guido Buzzi-Ferraris Un buon programma per la ricerca del minimo monodimensionale di una funzione deve contenere sempre diversi algoritmi. La scelta del metodo efficiente è ovvia perché non esistono alternative. Il metodo robusto verrà scelto fra il metodo di Fibonacci, quello della sezione aurea o un metodo ad hoc.

52 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 52 Guido Buzzi-Ferraris Un programma di ottimizzazione monodimensionale deve essere 1. Robusto: 2. Accurato: Deve riuscire a trovare con buona probabilità il minimo assoluto in una funzione con più minimi relativi Deve riuscire a risolvere problemi in cui la funzione e/o le sue derivate abbiano discontinuità Deve riuscire a trovare la soluzione in modo preciso 3. Efficiente: Deve avere convergenza quadratica con funzioni che siano ben approssimabili con una parabola e buona velocità di convergenza in caso contrario. Deve riuscire a risolvere problemi in cui la funzione non è mai approssimabile ad una parabola con derivata seconda positiva. Deve riuscire a risolvere problemi in cui la funzione non è definita in qualche intervallo.

53 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 53 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Shacham ha proposto una serie di problemi particolarmente difficili. Per esempio il problema indicato con la sigla Oneeq21b ha delle discontinuità nella funzione che non risulta definita per valori negativi di t. Esso viene risolto con un programma particolarmente robusto della libreria BzzMath e ha il seguente grafico in cui appaiono quattro minimi relativi.

54 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 54 Guido Buzzi-Ferraris

55 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 55 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Come ulteriore esempio particolarmente difficile si consideri la seguente funzione double BzzMinimumMonoTest4a(double t) { double f,g; g = ( t * ( t * ( t * ( t * ( t))))) + exp(-t); if(g < 0.) { bzzUnfeasible = 1; return 0.; } f = sqrt(g); f += 10. * fabs(t - 6.); return f; } La funzione ha 6 minimi relativi, è discontinua per t = 6 e non è definita se g è negativa

56 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 56 Guido Buzzi-Ferraris

57 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 57 Guido Buzzi-Ferraris Breve parentesi sullargomento La logica da ingegnere è efficiente?

58 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 58 Guido Buzzi-Ferraris Quesito Due ciclisti partono contemporaneamente da due città che distano fra loro 120 km di percorso stradale. La strada può essere assunta come un tratto di circonferenza avente raggio 150 km Il primo ciclista viaggia ad una velocità costante di 35 km/h, mentre il secondo ciclista viaggia ad una velocità costante di 25 km/h. Una mosca parte contemporaneamente ai ciclisti dal naso del primo e vola verso il secondo ad una velocità di 70 km/h. Non appena toccato il naso del secondo ciclista inverte immediatamente la rotta, torna verso il primo ciclista, tocca il suo naso e così via da un ciclista allaltro. La mosca non segue il percorso stradale, ma taglia direttamente da un ciclista allaltro in modo da evitare la curva della strada. Quanti chilometri ha percorso in totale la mosca quando i due ciclisti si incontrano? Si supponga che il tempo di inversione di marcia sia trascurabile.

59 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 59 Guido Buzzi-Ferraris La risposta è invece banale se si usa la logica laterale. I ciclisti in unora percorrono = 60 km e perciò si incontrano dopo due ore dal momento che la distanza totale è di 120 km. La mosca viaggia a 70 km/h e perciò dopo due ore essa ha percorso un totale di 140 km. Viva la logica laterale! Si sarebbe tentati di calcolare i vari percorsi della mosca che si muove avanti e indietro da un ciclista allaltro. Cosa possibile, ma poco furba!

60 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 60 Guido Buzzi-Ferraris


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