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1Paola Suria Arnaldi OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO a x 2 + b x + c Risolvere lequazione Risolvere la disequazione Scomposizione del trinomio (se.

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1 1Paola Suria Arnaldi OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO a x 2 + b x + c Risolvere lequazione Risolvere la disequazione Scomposizione del trinomio (se possibile) Disegnare la parabola associata Completamento di un quadrato Servirsi della parabola per risolvere la disequazione

2 2Paola Suria Arnaldi Equazioni Equazioni di II°: Equazioni di II°: a x 2 + b x + c = 0 Se b è pari : formula ridotta (da sapere e da utilizzare !!)

3 3Paola Suria Arnaldi EQUAZIONI DI II° GRADO E possibile risolverla in modo intuitivo? 1.a x 2 + b x = 0 (c=0; manca il termine noto!) raccolgo x: x (a x + b) = 0; raccolgo x: x (a x + b) = 0; annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0; le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0; le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a 2.a x 2 + c = 0 (b=0; manca il termine di I°) X = 0 lequazione non ammette soluzioni reali; X = 0 x = ± 2 oppure |x| = 2 (attenzione non x = |2|) 3.a x 2 = 0 ( b = c = 0); x = 0 è lunica soluzione!!

4 4Paola Suria Arnaldi DISEQUAZIONI DI I° grado a x + b > 0 x > -b/a x 0 x > -b/a x < - b/a a x + b 0 x -b/a x - b/a a x + b - b/a a x + b 0 x -b/a x - b/a a > 0a < 0

5 5Paola Suria Arnaldi DISEQUAZIONI DI II ° GRADO (metodo algebrico) a Calcoliamo Δ = b a c x1x1 x2x2 a x1x1 x2x2 a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c 0 1 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c 0 2 1: x x 2 (-, x 1 ) U (x 2, + ) 2: x 1 < x < x 2 1: x 1 < x < x 2 2: x x 2

6 6Paola Suria Arnaldi DISEQUAZIONI DI II ° GRADO ( metodo algebrico-grafico ) 1: 2: a a x 1 = x 2 1: 2: 1: 2: 1: 2:

7 7Paola Suria Arnaldi DISEQUAZIONI FRATTE 1.Indipendentemente dal trovarsi nel caso 1 o 2, conviene (non è necessario, ma consigliabile) imporre : 2. Costruire una tabella che chiameremo di prodotto/rapporto oppure di segno oppure Scegliere gli intervalli utili a seconda che ci si trovi nel caso 1 oppure nel caso 2 Tecnica di lavoro

8 8Paola Suria Arnaldi La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). DISEQUAZIONI FRATTE

9 9Paola Suria Arnaldi La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) DISEQUAZIONI FRATTE

10 10Paola Suria Arnaldi La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il rapporto/prodotto nei singoli intervalli DISEQUAZIONI FRATTE

11 11Paola Suria Arnaldi La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il rapporto/prodotto nei singoli intervalli Individuo gli intervalli utili DISEQUAZIONI FRATTE

12 12Paola Suria Arnaldi ESEMPIO ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 1.Cerchiamo il dominio (linsieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio

13 13Paola Suria Arnaldi ESEMPIO ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 1.Cerchiamo il dominio (linsieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 0 |x| y x

14 14Paola Suria Arnaldi ESEMPIO ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 1.Cerchiamo il dominio (linsieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 0 |x| 2 1.domf: (-, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ) 2.Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0 (x 2 – 1 )/(x 2 – 4) = 0Cerchiamo gli zeri y x

15 15Paola Suria Arnaldi ESEMPIO ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 1.Cerchiamo il dominio (linsieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 0 |x| 2 1.domf: (-, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ) 2.Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0 (x 2 – 1 )/(x 2 – 4) = 0Cerchiamo gli zeri 3.Ma per la legge di annullamento di un rapporto x 2 – 1 = 0 |x| = y x

16 16Paola Suria Arnaldi ESEMPIO ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: 1.Cerchiamo il dominio (linsieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!!Cerchiamo il dominio 2.Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zeronumeri reali x 2 – 4 0 |x| 2 1.domf: (-, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ) 2.Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0 (x 2 – 1 )/(x 2 – 4) = 0Cerchiamo gli zeri 3.Ma per la legge di annullamento di un rapporto x 2 – 1 = 0 |x| = 1 4.Cerchiamo il segno della f(x): cerchiamo cioè dove f(x) >0 (+) e dove f(x) 0, e, per esclusione, sapendo dove f(x) =0 e dove f(x)>0 sappiamo anche dove f(x)>0Cerchiamo il segno della f(x): y x

17 17Paola Suria Arnaldi RICORDA 1.ESISTENZA DI UN RAPPORTO: possibile dividere due numeri reali (a / b) se e solo se il denominatore è diverso da zero (b 0) 1.ESISTENZA DI UN RAPPORTO: è possibile dividere due numeri reali (a / b) se e solo se il denominatore è diverso da zero (b 0) 2.ANNULLAMENTO DI UN RAPPPORTO: 2.ANNULLAMENTO DI UN RAPPPORTO: un rapporto è nullo se e solo se è nullo il numeratore (e contemporaneamnete il denominatore è diverso da zero): a / b = 0 se e solo se a = 0 3.ANNULLAMENTO DI UN PRODOTTO: 3.ANNULLAMENTO DI UN PRODOTTO: un prodotto di più fattori è nullo se e solo se è nullo almeno uno dei fattori a * b * c... = 0 se e solo se a = 0; oppure b=0; oppure....

18 18Paola Suria Arnaldi RICORDA (esempio) 1.Il rapporto esiste (dominio della funzione) se e solo se x+2 0 x -2 2.Il rapporto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x-1=0 x= -1 1.Il prodotto esiste (dominio della funzione) sempre, per ogni valore reale di x 2.Il prodotto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x - 1=0 oppure x – 2 = 0 x = 1 oppure x = 2

19 19Paola Suria Arnaldi ESEMPIO ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 2 f(x)>0: x 2 – 1 > 0 |x| > 1 oppure x 1 x 2 – 4 > 0 |x| >2 oppure x f(x) lultima riga fornisce informazioni sul segno della funzione: per tutte le x < -2 la funzione è positiva; per le x comprese tra -2 e -1 la funzione è negativa....

20 20Paola Suria Arnaldi Continua segno funzione f(x) = 0 x = - 1 e x = 1 f(x) > 0 (-, -2) U (-1, 1) U (2, + ) f(x) < 0 (-2, -1) U (1, 2) y x

21 21Paola Suria Arnaldi QUANDO PIU CONDIZIONI DEVONO ESSERE VERIFICATE CONTEMPORANEAMENTE I SISTEMI Tecnica di lavoro 1.Si risolvono tutte le disequazioni date 2.Si costruisce una tabella (non di segno!!!!) dove: la linea continua significa che la condizione è soddisfatta La linea tratteggiata significa che la condizione non è soddisfatta 3.La soluzione sarà linsieme di tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le condizioni contemporaneamente

22 22Paola Suria Arnaldi ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI SISTEMI Tecnica di soluzione La legge della funzione presenta tre radici, due di indice pari e una di indice dispari. Le operazioni tra numeri reali ci impongono che gli argomenti delle radici di indice pari siano, contemporaneamente, non negativi, cioè maggiori o uguali a zero! Le condizioni sono verificate contemporaneamente nellintervallo tra 1 e 3 Dom f [1, 3] 1 3

23 23Paola Suria Arnaldi Dalla ricerca dei risultati alla loro rappresentazione grafica Non ci poniamo il problema di trovare zeri e segno della funzione, perché lespressione algebrica non è facile da manipolare!

24 24Paola Suria Arnaldi Ancora un esempio...con radici Confrontiamo dominio, zeri e segno di due funzioni, con una legge apparentemente molto simile!!! Constatiamo, con valori numerici semplici, che le due funzioni sono diverse Per alcuni valori della variabile indipendente si ottengono gli stessi risultati, per altri invece....

25 25Paola Suria Arnaldi RICERCA DEL DOMINIO: funzione 1 Lalgebra dei numeri reali impone che largomento della radice di indice pari sia non negativa e il denominatore sia diverso da zero. E un sistema! Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente. La prima disequazione è una frazione, lalgebra delle disequazioni fratte consiglia di cercare dove i singoli fattori sono positivi e poi leggere i risultati su una tabella di segno f(x) Risolvendo il sistema si vede che la II condizione è già compresa nella prima Domf (-, -2) U [1, + )

26 26Paola Suria Arnaldi....Continuiamo a cercare le prime informazioni per lo studio di funzione e, poi, a mettere tali condizioni su un grafico (funzione 1) Zeri della funzione: f(x)=0; la legge di annullamento di una radice, prima, e di un rapporto poi, ci consente di scrivere f(x)=0 x = 1. Segno della funzione: f(x) >0; per lalgebra delle radici di indice pari, una radice di indice pari, dove consente di ottenere un risultato, produce sempre un risultato positivo Riassumiamo: f(x) = 0 x = 1 f(x) > 0 qualunque x appartenente al domf f(x) < 0 per nessuna x appartenente al dominio

27 27Paola Suria Arnaldi Dai calcoli al grafico... funzione y x

28 28Paola Suria Arnaldi RICERCA DEL DOMINIO: funzione 2 Lalgebra dei numeri reali impone che i due radicandi siano, contemporaneamente, positivi. Lavverbio contemporaneamente ci ricorda che siamo in presenza di un sistema! Ma siamo anche in presenza di una frazione e quindi il denominatore deve essere diverso da zero. Imporremo questa condizione automaticamente, perché non accetteremo lannullamneto del denominatore dom f: x 1 oppure [1, + ) Zeri della funzione: x =1 f(x) > 0 : qualunque x appartenente al dominio f(x) < 0 : nessuna x appartenente al dominio

29 29Paola Suria Arnaldi Dai calcoli al grafico... funzione 2 1 y x


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