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1 Fondamenti TLC QUANTIZZAZIONE E TRASMISSIONE DI SEGNALI NUMERICI SEZIONE 7.

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1 1 Fondamenti TLC QUANTIZZAZIONE E TRASMISSIONE DI SEGNALI NUMERICI SEZIONE 7

2 2 Fondamenti TLC Segnali numerici Si consideri il segnale x(t) campionato a intervalli T. t T Segnale originale x(t) Campioni del segnale x(nT) Ogni campione del segnale campionato x(nT) e un numero reale che puo assumere con continuita qualsiasi valore compreso tra uno minimo e uno massimo. Se si vuole rappresentare ogni campione x(nT) in forma numerica (ad es. per memorizzarlo in forma binaria su un PC) e necessario approssimare il numero reale con un numero finito K di livelli compresi tra il minimo e il massimo. Questa operazione viene detta QUANTIZZAZIONE.

3 3 Fondamenti TLC Schema a blocchi del convertitore A/D Campionatore QuantizzatoreCodificatore x(t) c(n) f c =1/T t K=256=2 8 …. u 10 -> u 11 -> u 12 -> c(n) nT b t R b [bit/s]= 1/T b =f c log 2 K T b =T/log 2 K x q (nT) x (nT) 1010

4 4 Fondamenti TLC La quantizzazione x(nT) x q (nT) -V V Quantizzatore x(nT) x q (nT) Il quantizzatore e un dispositivo che trasforma il campione reale x(nT) nel campione quantizzato con un numero K di livelli x q (nT). Ad esempio se il minimo e il massimo valore che puo assumere il campione x(nT) sono -V e V, la relazione tra il valore continuo x(nT) e quello quantizzato x q (nT), e rappresentata da una scalinata con K livelli. Lintervallo di quantizzazione e:

5 5 Fondamenti TLC Lerrore di quantizzazione Quantizzando si commette un errore tanto piu piccolo quanto piu elevato e il numero K di livelli. Lerrore di quantizzazione e definito come: x(nT) x q (nT) e(nT)

6 6 Fondamenti TLC -V/K V/K p(e(nT)) e(nT) K/2V Caratteristiche dell errore di quantizzazione 0 valore medio nullo densita di probabilita uniforme p(e)= K/2V valore qaudratico medio (valore efficace) =V/K 3 -1/2 campioni incorrelati (se K sufficientemente grande)

7 7 Fondamenti TLC Unespressione facile da ricordare Se il numero K di livelli e elevato, lerrore di quantizzazione di un campione e una variabile casuale con densita di probabilita uniforme tra - e + Dunque lerrore di quantizzazione e una variabile casuale a valor medio nullo e varianza uguale a: Se si vogliono utilizzare N cifre binarie per rappresentare i campioni avremo che: Se ora esprimiamo la varianza dellerrore in DECIBEL (dB), otteniamo: Con una cifra binaria in piu, la varianza dellerrore di quantizzazione si riduce di 6dB

8 8 Fondamenti TLC Codifica dei campioni quantizzati Codifica naturale v3v3 v2v2 v1v v5v5 v6v6 v7v7 v8v8 v4v4 Con N cifre binarie (bit) si ottengono K = 2 N livelli di quantizzazione. Ad ogni livello si puo dunque associare un codice di N bit. Ad esempio, se N=3, otteniamo K = 8 livelli di quantizzazione V m codificabili in vario modo con 3 bit.

9 9 Fondamenti TLC La BIT RATE di un segnale numerico La cadenza di bit al secondo di un segnale numerico viene chiamata bit rate. Per un segnale tempo continuo x(t) con frequenza massima di 3.6KHz (un segnale telefonico p.e.), il teorema del campionamento ne impone una frequenza di campionamento f c maggiore di 7.2KHz. Utilizziamo quindi f c =8KHz: 8000 campioni al secondo. Se quantizziamo il segnale con K=256 livelli servono N=8 bit. Il segnale telefonico numerico avra, dunque, una bit rate di:

10 10 Fondamenti TLC Applicazione: quantizzazione non uniforme Segnale Telefonico v(t) Microfono Banda Hz Frequenza di campionamento f c =8kHz Utilizziamo N=8 bit per campione Bit Rate: 64Kbit/s (8 Kcamp/s.*8 bit/campione) Nellipotesi di segnale con distribuzione dampiezza uniforme nellintervallo [-V,+V], la potenza di segnale e P 1 =V 2 /3. Se si utilizza una quantizzazione uniforme ( =2V/2 N ), P Q = 2 /12, dunque (P 1 / P Q ) | dB =SNR| dB =6N=6*8=48 dB Sufficiente per buona qualità segnale (>30dB). Fissato il passo di quantizzazione, se la potenza del segnale P S diminuisce di un fattore 100 (P s =P [dB]), cosa normalissima, SNR| dB 28dB < 30dB. Potenza del segnale fortemente dipendente dal parlatore

11 11 Fondamenti TLC Quantizzatori non uniformi v u Sono utilizzati quando 1)la statistica del segnale in ingresso non è uniforme per minimizzare l errore quadratico medio 2) la sensibilita percettiva dipende dall ampiezza del segnale s i+1 sisi uiui

12 12 Fondamenti TLC Quantizzatore non uniforme: implementazione N.L.Q. unif. vvcvc = |m| vqvq vcvc v sisi s i-1 vivi

13 13 Fondamenti TLC Companding (Compression-Expanding) P s /P 1 [dB] SNR [dB] 10dB Senza Companding Con Companding

14 14 Fondamenti TLC Come si trasmette un segnale numerico Abbiamo visto che un segnale numerico, a valle della codifica, e costituito da una sequenza di bit che si presentano con una certa cadenza (la bit rate) ….. A questo punto possiamo dimenticare lorigine della sequenza e che i bit vanno letti a gruppi di N, a partire da una certa posizione, per risalire ai campioni del segnale quantizzato x q (nT). Si deve trasmettere la sequenza, con la sua cadenza, attraverso un canale di trasmissione (satellite, ponte radio, cavo coassiale, fibra ottica …) che lascia passare solo segnali y(t) che hanno frequenze comprese nella banda B centrata attorno alla frequenza f o. Inoltre dovremo trasmettere dei segnali di sincronismo. f BB fofo -f o Banda del canale

15 15 Fondamenti TLC Filtro PB canale campionatore sm nTga soglia 0;1 Trasmissione antipodale in banda base -A 0 A a m Sistema di trasmissione non rumoroso y(t) = -A;+A x(t)=y(t)+n(t) n(t) m n =0 n 2 = kT B Soglia S 0;1 Gen. Segn. 0;1

16 16 Fondamenti TLC Filtro PBcanale campionatore sm nTga soglia 0;1 -A 0 A a m f B B fofo -f o N o : densita spettrale di potenza del rumore NoNo Trasmissione antipodale in banda traslata

17 17 Fondamenti TLC Uso delle costellazioni di segnali complessi Re Im A A 3A Abbiamo visto in precedenza che, utilizzando la modulazione in fase e quadratura, possiamo sovrapporre nella stessa banda di frequenze M segnali che, una volta demodulati e campionati producono M numeri complessi che formano la costellazione. E evidente che possiamo associare agli M punti della costellazione una qualsiasi configurazione di N=log 2 M bit che possono essere trasmessi contemporaneamente sullo stesso canale ….. Ad esempio, se usiamo una costellazione QAM con M=16 punti, possiamo trasmettere simboli di N=log 2 16=4 bit contemporaneamente sullo stesso canale. ATTENZIONE: il numero M di punti della costellazione non e necessariamente legato al numero K di livelli del segnale quantizzato. Simboli di 4 bit

18 18 Fondamenti TLC Schema del sistema di trasmissione 3A ….. Simbolo da 4 bit da trasmettere Im A A 3A Re Filtro PBcanale campionatore T s =NT e detto tempo di simbolo m=1 16

19 19 Fondamenti TLC Cadenza dei simboli (1) Supponiamo che il segnale g(t) utilizzato nello schema di trasmissione precedente, sia un seno cardinale con ampiezza massima unitaria in t=0 e zeri in t=n T s. La sua trasformata di Fourier e limitata tra le frequenze -1/(2 T s ) e +1/(2 T s ). 1 -Ts-Ts TsTs t -1/2 T s 1/2 T s TsTs f Trasformata di Fourier 1 - Affinche in ricezione, agli istanti di campionamento, non si sommino contributi di simboli successivi, e necessario che intercorra un tempo pari a T s secondi tra un simbolo e laltro. -2 T s - T s T s 2 T s t Agli istanti di campionamento t=n T s e presente il contributo di un solo simbolo. In questo caso si dice che linterferenza intersimbolica e nulla.

20 20 Fondamenti TLC Cadenza dei simboli (2) 2- Affiche il segnale g(t) passi attraverso la banda B del canale e necessario che la banda complessiva del seno cardinale 1/T s sia minore o uguale a B Dunque, data la banda B del canale, il piu breve tempo di simbolo T s che si puo utilizzare e uguale a 1/B e quindi la cadenza dei simboli R s e uguale alla banda B: R s =B La cadenza dei bit R (bit rate) e uguale alla banda B per il numero N di bit per simbolo. Esempio 1 - Dato un canale trasmissivo con 20MHz di banda e volendo utilizzare una costellazione MSK a M=16 punti, la massima bit rate che possiamo trasmettere e: Esempio 2 - Data una bit rate da trasmettere pari 100Mbit/sec. e volendo utilizzare una costellazione QAM a 64 punti, la minima banda del canale e: R=NR s = NB=Blog 2 M R=

21 21 Fondamenti TLC Effetto del rumore sommato al segnale ricevuto Si consideri la trasmissione di simboli da N=log 2 M bit utilizzando un segnale g(t) scalato con i coefficienti a m e b m come descritto nello schema del sistema di trasmissione. Adottiamo la notazione complessa c m = a m +j b m con m=1 16. Assumiamo che la trasmissione del segnale g(t) sia disturbata solamente dal rumore bianco w(t) introdotto dal canale, e cioe che al ricevitore, a valle della demodulazione complessa, arrivi il segnale: Il rumore w(t) introdotto dal canale modifica sia la componente in fase che quella in quadratura del segnale desiderato c m g(t) e quindi e complesso. Abbiamo gia visto che, campionando il segnale complesso ricevuto si ottengono i punti della costellazione c m in assenza di rumore in quanto si pone g(0)=1. Laggiunta del rumore cambia il valore complesso ricevuto c m + w(n T s ). Leffetto di tale cambiamento e uno spostamento nel piano complesso del valore ricevuto rispetto a c m.

22 22 Fondamenti TLC Effetto del rumore sulla costellazione ricevuta Il rumore w(t) introdotto dal canale ha valor medio nullo e una distribuzione delle ampiezze di tipo gaussiano sia sulla parte reale sia su quella immaginaria. I valori misurati in prove ripetute si distribuiscono circolarmente attorno ai valori nominali c m. I valori nominali c m della costellazione 16-QAM sono indicati con

23 23 Fondamenti TLC Il problema della stima dei punti della costellazione (1) Per semplicita di scrittura nel seguito indicheremo: il segnale ricevuto agli istanti di campionamento: x(n T)=x n il rumore introdotto dal canale agli istanti di campionamento: w(n T)=w n la forma donda reale trasmessa agli istanti di campionamento: g(n T)=g n Attenzione: utilizziamo un intervallo di campionamento T tale per cui il segnale e campionato correttamente ed il rumore e incorrelato da campione a campione. Gli elementi della costellazione c m vengono indicati genericamente con c sottintendo il pedice m. T TsTs

24 24 Fondamenti TLC Il problema della stima dei punti della costellazione (2) Il rumore w n introdotto dal canale e complesso a valor medio nullo con varianza (reale!) uguale alla densita spettrale di potenza N o costante dato che e un processo casuale bianco. f BB fofo -f o N o : densita spettrale di potenza del rumore

25 25 Fondamenti TLC Il problema della stima dei punti della costellazione (3) La stima lineare di ogni elemento della costellazione c (e quindi del simbolo trasmesso) si ottiene combinando L+1 dati ricevuti intorno a x 0, con coefficienti d i ottimizzati per minimizzare lerrore di stima (quadratico medio). Per ora, si trasmetta un simbolo per volta! T TsTs

26 26 Fondamenti TLC Il problema della stima dei punti della costellazione (4) Lerrore di stima degli elementi della costellazione e: Per trovare i coefficienti d i, minimizziamo il valore quadratico medio di : Troviamo L+1 equazioni in L+1 incognite d i che, al solito, stabiliscono che lerrore di stima sia incorrelato con i dati x n. A meno di un fattore di scala verificheremo che la soluzione e: 2/ 2/ xd L Li ii c con

27 27 Fondamenti TLC Il problema della stima dei punti della costellazione Nellesempio riportato nelle figure precedenti abbiamo: Se ora trasmettiamo piu simboli (punti della costellazione) a passo T s =2T, utilizziamo gli stessi coefficienti d i per combinare linearmente i campioni del segnale ricevuto x n centrati attorno allistante di tempo m T s corrispondente a c m (attenzione m ora e l indice temporale!!) Si noti che loperazione che stiamo eseguendo puo essere interpretata come una convoluzione tra il segnale ricevuto x n e il filtro con risposta allimpulso h n = d -n seguito da una selezione dei campioni delluscita y n : c m = y 2m (nel caso generale in cui il tempo di simbolo T s =MT avremmo c m = y Mm ).

28 28 Fondamenti TLC Il filtro adattato Il filtro con risposta allimpulso h n = d -n che ottimizza la ricezione dei simboli trasmessi viene detto FILTRO ADATTATO in quanto adattato al segnale trasmesso g n infatti, a parte un fattore di scala, è h n = g -n.

29 29 Fondamenti TLC Esempio per L+1=2 Stimiamo lelemento della costellazione c 0 combinando linearmente i dati ricevuti x 0 e x 1.

30 30 Fondamenti TLC Esempio per L+1=2

31 31 Fondamenti TLC Esempio per L+1=2

32 32 Fondamenti TLC Il filtro adattato Riscalando (cioè normalizzando al valore di c) il risultato in modo che, in assenza di rumore, si ritrovi il valore trasmesso c, otteniamo: La somma deve essere fatta su tutti i campioni del segnale trasmesso, per massimizzare lefficienza. Si commette errore se il termine di rumore rende il valore complesso stimato piu prossimo ad un punto della costellazione diverso da quello trasmesso. La probabilita di questo evento dipende dal valore quadratico medio di.

33 33 Fondamenti TLC Il filtro adattato Si noti che ha valor medio nullo. Infatti: Il valore quadratico medio di dipende dal rapporto tra la densita spettrale di potenza del rumore N o allingresso del ricevitore e lenergia E g del segnale ricevuto e filtrato in modo ottimale (filtro adattato). Nel calcolo si pone la banda del canale uguale a 1/T e il numero di campioni L sufficientemente elevato da ricoprire lintera forma donda ricevuta g(t).

34 34 Fondamenti TLC Il rapporto segnale-rumore che si ottiene con un filtro adattato dipende solamente dal rapporto tra lenergia del segnale E g e la densita spettrale di potenza N 0 del rumore allingresso del filtro (dimensionalmente un energia). Per valutare lefficacia con cui un filtro adattato combatte leffetto del rumore additivo introdotto dal canale, tutte le forme donda g(t) che hanno la stessa energia sono equivalenti, indipendentemente dalla loro forma (ad es. seno cardinale, rettangolo, triangolo …). Il rapporto E g / N 0 e adimensionale ([J ]=[W]/[Hz]). Per trasmissioni binarie, E g = E b (energia spesa per la trasmissione di un bit). Il filtro adattato (conclusioni)

35 35 Fondamenti TLC Il filtro adattato (un esempio) Due segnali c 1 g(t) e c 2 g(t) senza rumore. Gli stessi segnali c 1 g(t) e c 2 g(t) con laggiunta del rumore. I valori allistante di lettura t=0 sono quasi uguali. Leffetto del filtro adattato. I valori allistante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti.

36 36 Fondamenti TLC Il filtro adattato (lo stesso esempio visto sulla costellazione) Due segnali c 1 g(t) e c 2 g(t) senza rumore. Gli stessi segnali c 1 g(t) e c 2 g(t) con laggiunta del rumore. I valori allistante di lettura t=0 sono quasi uguali. Leffetto del filtro adattato. I valori allistante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti. Re Im Re Im Re Im

37 37 Fondamenti TLC (y I +jy Q ) (A+jB) nInI nQnQ d min Re Im Prestazioni delle costellazioni QAM e il rumore complesso normalizzato dallenergia E g della forma donda g(t). Dunque, a parita di rumore, piu lenergia di g(t) e piccola piu e grande in modulo. La probabilita di commettere unerrore di decisione sul valore trasmesso coincide con la probabilita che un qualsiasi valore della costellazione si sposti, a causa di al di fuori del quadrato di lato d min (almeno per i punti interni della costellazione), centrato sul valore corretto. Dunque tale probabilita dipende sia dalla deviazione standard di sia dalla distanza minima tra i punti della costellazione d min

38 38 Fondamenti TLC La probabilita di errore di simbolo P(e s ) d min Re Im d min Re Im Simbolo sbagliato Simbolo giusto Supponendo che parte reale e immaginaria di abbiano densita di probabilita gaussiane indipendenti, la probabilita che esca dal quadratino giallo (cioe la probabilita di sbagliare simbolo) e data da: dove la funzione Q e stata definita in precedenza a B mXmX C=B PUNTI INTERNI DELLA COSTELAZIONE M-QAM

39 39 Fondamenti TLC La probabilita di errore di simbolo P(e s ) d min /2 Re Im d min La probabilita che esca dalla zona gialla (cioe la probabilita di sbagliare un simbolo sullo spigolo) e data da: PUNTI DI SPIGOLO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM La probabilita che esca dalla zona gialla (cioe la probabilita di sbagliare un simbolo sul bordo) e data da: PUNTI DI BORDO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM Re Im

40 40 Fondamenti TLC Energia di simbolo ed energia di bit Lenergia associata ad ogni simbolo E s e data dallenergia E g della forma donda g(t), moltiplicata per il quadrato del modulo del punto della costellazione: (C 1 = A+jA) d min (C 3 = -A-jA) (C 4 = A-jA) (C 2 = -A+jA) d min Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM lenergia associata ad ogni simbolo vale: Se il simbolo e formato da N bit, si puo dire che lenergia E b associata al singolo bit e uguale a quella di simbolo E s divisa per N. Re Im Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM lenergia associata ad ogni simbolo vale:

41 41 Fondamenti TLC Probabilita di errore nel caso 4-QAM (A+jA) d min (-A-jA)(A-jA) (-A+jA) d min Nel caso della costellazione 4-QAM La probabilita di errore di simbolo assume la semplice espressione: Si noti che se si sbaglia un simbolo con uno vicino si commette errore su uno solo dei 2 bit che compongono il simbolo: la probabilita di errore del bit e la meta di quella del simbolo. Si ricorda l equivalenza: E s / N 0 = P s T s /N 0 = P s /N 0 B=P s / n 2 in quanto con il filtro adattato B=1/T s e N 0 B= n 2

42 42 Fondamenti TLC II sistemi di trasmissione numerici presentano diverse caratteristiche per quanto riguarda lutilizzazione della banda di canale B e la potenza di trasmissione richiesta. Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e alla sua trasmissione su un canale di banda B. Definiamo come parametro di efficienza nellutilizzazione della banda il rapporto R/B [bit/s/Hz] detto efficienza di canale. Confronto tra costellazioni Abbiamo visto in precedenza che: 1- per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica a passo di lettura T, e necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del canale) sia almeno pari a 1/T. 2 -La cadenza di bit al secondo R e uguale a 1/T 3 - Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log 2 M bit. Dunque, l efficienza al massimo è:

43 43 Fondamenti TLC Confronto tra costellazioni M-QAM e M-PSK 8 M-PSK M-QAM Limite di Shannon R/B Si vedra piu avanti che i valori riportati su questo grafico sono decisamente peggiori di quelli ottenibili in pratica utilizzando sistemi piu complessi per codificare i segnali da trasmettere. In pratica si vedra che nei moderni sistemi di trasmissione numerica le prestazioni si avvicinano molto al limite di Shannon. Per un dato valore di probabilita di errore di bit, e interessante riportare su un grafico, lefficienza di canale R/B ottenibile per diversi tipi di costellazione e il valore di E b /N o che consente di ottenere la probabilita di errore fissata.


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