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Metodi di integrazione numerica (ODE+PDE) Jost von Hardenberg – ISAC-CNR.

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Presentazione sul tema: "Metodi di integrazione numerica (ODE+PDE) Jost von Hardenberg – ISAC-CNR."— Transcript della presentazione:

1 Metodi di integrazione numerica (ODE+PDE) Jost von Hardenberg – ISAC-CNR

2 Integrazione numerica di equazioni differenziali Cerchiamo una soluzione (unapprossimazione numerica) per unequazione differenziale ordinaria p.es Cerchiamo una soluzione (unapprossimazione numerica) per unequazione differenziale ordinaria p.es Oppure per equazioni alle derivate parziali, es: Oppure per equazioni alle derivate parziali, es: date opportune condizioni iniziali e/o al contorno date opportune condizioni iniziali e/o al contorno

3 Metodi a differenze finite Sostituiamo al problema continuo una sua rappresentazione su una griglia discretizzata (nello spazio e nel tempo): Sostituiamo al problema continuo una sua rappresentazione su una griglia discretizzata (nello spazio e nel tempo): - Problema ben posto - Consistenza

4 Rappresentazione a differenze finite delle derivate Ottenibile da: Definizione classica derivata prima di una funzione u(x,y) in un punto: Definizione classica derivata prima di una funzione u(x,y) in un punto: Espansione in serie di Taylor di u(x,y) attorno ad un punto Espansione in serie di Taylor di u(x,y) attorno ad un punto

5 Rappresentazione a differenze finite delle derivate Ottenibile da: Fit di un polinomio nellintorno di un punto: Fit di un polinomio nellintorno di un punto: x u i-1 uiui x- xx+ x u i+1

6 Integrazione numerica di eq. differenziali ordinarie NB: qualunque ODE di ordine > 1 può essere scritta come sistema di eq. 1. ordine. Es: NB: qualunque ODE di ordine > 1 può essere scritta come sistema di eq. 1. ordine. Es: Problema generico: Problema generico:

7 ODE: Il metodo di Eulero f(y) t ynyn y n+1 -Metodo accurato al 1. ordine - Poco stabile - Metodo esplicito - Metodo asimmetrico + Err.ore Troncamento

8 ODE: Runge-Kutta 2 k1k1 t ynyn y n+1 - Metodo accurato al 2. ordine - Buona stabilità - Metodo esplicito - più simmetrico di Eulero t+ t t+ t/2 k2k2 k2k2 y(t)

9 ODE: Runge-Kutta 4 k1k1 t ynyn - Metodo accurato al 4. ordine - Buona stabilità - Metodo esplicito t+ t t+ t/2 k3k3 k2k2 y(t) k2k2 k4k4

10 Altri metodi Leapfrog Leapfrog …. molti altri metodi espliciti …. molti altri metodi espliciti Predictor-corrector Predictor-corrector Metodi impliciti (maggiore stabilità, non necessariamente accuratezza) Metodi impliciti (maggiore stabilità, non necessariamente accuratezza)

11 PDE, esempi Avvezione di uno scalare Equazione del calore FT CS Non è stabile!

12 PDE: Condizioni al contorno Condizioni di Dirichlet eg. u=f su Condizioni di Dirichlet eg. u=f su Condizioni di von Neumann: eg: u/ n=f oppure u/ s=g su Condizioni di von Neumann: eg: u/ n=f oppure u/ s=g su Condizioni miste e.g: u/ n+ku=f Condizioni miste e.g: u/ n+ku=f n s

13 Analisi di stabilità D = soluzione discreta (infinita precisione) N = soluzione numerica (precisione finita) A = soluzione analitica Err. di discretizzazione = A - D Err. arrotondamento = N – D Come cresce lerrore di arrotondamento ?

14 Analisi di stabilità di von Neumann Seguiamo un piccolo errore : y=y+ nelle equazioni discrete Eq. lineari (linearizzate) per la crescita dellerrore Errori rappresentati come modi di Fourier: Sostituiamo e cerchiamo

15 Altri metodi: Griglie staggered Metodi spettrali Metodi impliciti Volumi finiti ….. Metodi per equazioni ellittiche (rilassamento, multigriglia ….)


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