La Géométrie di Descartes Le curve Paolo Freguglia Dept. of Engineering and Science of Information and Mathematics (DISIM) University of L’Aquila, Italy.

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1 La Géométrie di Descartes Le curve Paolo Freguglia Dept. of Engineering and Science of Information and Mathematics (DISIM) University of L’Aquila, Italy

2 Il fatto di associare ad una curva un’equazione e viceversa è l’aspetto cruciale della Géométrie. E ciò va inteso come criterio generale. Si inaugura così quella fase storica che può essere chiamata di algebrizzazione della geometria. Nel passato le curve venivano studiate in base alla loro costruzione geometrico-sintetica. Vediamo come si procedeva con qualche esempio, quando appunto le curve NON erano legate alle equazioni

3 Da un punto di vista sintetico, facendo riferimento soprattutto agli antichi, è molto significativo legare una curva ai metodi con cui questa viene generata. Le coniche (Apollonius di Perga) come sezioni di un piano con un cono, le cilindriche (Serenus di Antinouplis) come sezioni di un piano con un cilindro e le sferiche (Teodosio da Tripoli) come sezioni di un piano con una sfera. Oltre quanto poc'anzi detto, si ritiene (Morris Kline) che i greci, come illustra Pappo Alessandrino, classificassero le curve in luoghi (curve) piane se costruiti mediante rette e cerchi e curve lineari, come la quadratrice, la concoide, la cissoide e la spirale. Faremo vedere di seguito un esempio, poco noto al lettore non specialistico, di generazione di sezioni coniche mediante intersezione di un piano con un paraboloide.

4 Stando alle notizie che ci fornisce Roshdi Rashed, Ahmad ibn Muhammad ibn 'Abd al Jalil al-Sijzi fu un matematico persiano attivo fra gli anni sessanta del X secolo e gli inizi dell'XI secolo. Figlio di un matematico ebbe una cospicua produzione scientifica e per quel che ci riguarda studiò la geometria delle coniche dalla quale riportiamo un interessante teorema e cioè che le sezioni piane di un paraboloide possono dare o parabole o ellissi o cerchi. Seguiremo la ricostruzione di Rashed.

5 Consideriamo il caso della parabola, partendo dal paraboloide generato dalla rotazione della parabola CAD (vedi Figura). Si consideri il piano secante HEI parallelo all'asse della parabola CAD e perpendicolare al piano di CAD. Inoltre il piano HEI taglia il piano CAD lungo la retta ER e taglia altresì la base del paraboloide lungo IH. Avremo dunque ER//AB e IH ⊥ CD. Nella parabola si considerano le ordinate EQ, KGL e MXN tali che ER tagli KL in S e MN in D.

6 Inoltre i cerchi di diametri rispettivamente LK e MN giacciono su piani perpendicolari ad AB. A questo punto tracceremo SP ⊥ LK e OU ⊥ MN, essendo P e U punti intercettati sulla superficie del paraboloide. I punti P e U stanno altresì sul piano HEI. Da note proposizioni euclidee otteniamo:

7 e tenendo presente che XU = XN (raggi di una stessa circonferenza) e che OX = GS = EQ per costruzione, avremo :

8 Teniamo ora presente la Prop. I, 20 delle Coniche di Apollonio I, 20: Nella parabola i quadrati delle ordinate sono proporzionali alle ascisse. Cioè, se Q 1 e Q 2 sono due punti sulla parabola e le rispettive ordinate sono Q 1 V 1 e Q 2 V 2, allora: Q 1 V 1 2 : Q 2 V 2 2 = PV 1 : PV 2.

9 Ricavando XN² e GL² si ottiene dividendo e per la I, 20 delle Coniche di Apollonio: (1) D'altronde risulta KS ⋅ SL = GL² - EQ² per cui, essendo GQ = AG - AQ, avremo: (2)

10 Facendo il rapporto tra la (1) e la (2) e tenendo presente che XQ = OE e GQ = ES, si ottiene: Da cui discende che: (3) Quanto sopra ottenuto, cioè la (3), può essere ripetuto per ogni parallela a SP condotta da un punto di ER, così, ad esempio: Pertanto la sezione HEI è una parabola

11 Viene altresì dimostrato che la parabola HEI è uguale alla parabola CAD.

12 Richiamiamo ora di seguito alcuni aspetti dell’algebra prima di Descartes, di quella fase storica che potremmo definire di geometrizzazione dell’algebra

13 I principali algebristi nel XVI e XVII secolo prima di Descartes: - Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria […] (1494) - Scipione dal Ferro (1505 o 1515) - Anton Maria Fiore - Gerolamo Cardano, Ars Magna (1545) - Lodovico Ferrari (1544, 1545) - Niccolò Tartaglia, Quaesiti et inventioni diverse (1546) - Rafael Bombelli, L’Algebra (1572) - Simon Stevin, L’Arithmétique (1585) -François Viète, Isagoge in Artem analyticem, ecc. (1591, 1593) -Chr. Clavius, Algebra (1608) ======================= -Allievi di Viète (Vaulézard, Hume, Vasset, ecc. (1630)) -René Descartes, La Géométrie (1637)

14 “Teoria” geometrico sintetica delle equazioni algebriche (“Dimostrationi”) negli algebristi del Cinquecento Costruzione di un modello geometrico euclideo dell’uguagianza che alla base dell’equazione medesima (possibile dal 1° al 4° grado) Interpretazione geometrica della procedura risolutiva (possibile dal 1° al 3° grado) Determinazione con riga e compasso delle soluzioni (possibile solo per il 1° e 2° grado) se vale il principio di omogeneità dimensionale, altrimenti anche per il 3° grado (vedi succesivamente)

15 Se ci soffermiamo (vedi di seguito a proposito delle «dimostrazioni» (geometriche) degli algebristi del Cinquecento delle equazioni) sulle interpretazioni delle equazioni di primo, di secondo e di terzo grado (caso solido) si osserva che esse avvengono in conformità con un principio che associa ad ogni monomio dell'equazione una superficie, nel caso del primo e del secondo grado, un volume, nel caso del terzo grado. Per cui, come tradizionalmente si dice, questa interpretazione soddisfa al principio di omogeneità (dimensionale). Più precisamente, si tratta di interpretazioni che associano a x un lato, a x 2 un quadrato, a x 3 un cubo, ad un numero o una linea (segmento), o una figura piana, o una figura solida a seconda dei casi di omogeneità di cui si è detto poc’anzi.

16 François Viète (1540 – 1603) Isagoge ad artem analyticem (1593) Esplicitazione come legge (Assioma algebrico, nell’ambito della logistica speciosa ) del principio di omogeneità “Homogenea ad homogeneis comparari” Es.: A cubus + B plano in A, aequetur C solido

17 R.Bombelli (L’Algebra, 1572), Libro II Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a numero «E benchè questa scientia sia Aritmetica (come la chiamano Diofante Autore Greco e li Indiani) però non resta che il tutto non si possi provare per figure Geometriche (come fa Euclide [applicazione delle aree] nel secondo, sesto, decimo). Però volendo che il Lettore resti in tutto soddisfatto mi sono risoluto porre tutte le dimostrazioni dello agguagliare, cioè Capitolo per Capitolo, tanto in linea senza numero quanto in linea composto di numero e questa parte non è men bella che dilettevole: però senza altra circolutione di parole verrò alla dimostratione di questo primo Capitolo di tanti uguale a numero». «Questa dimostratione può essere in due modi, o in linea overo in superficie, e prima sia in superficie».

18 R.Bombelli (1572) : Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a numero: modello geometrico dell’uguaglianza alla base dell’equazione ax = b caso: 3x = 24 Th.: Rect (pfbe) = Rect (ehgd) Cioè: pf  fe = ed  eh Interpretazioni: x  fi = eh 1  fp = eb 24  fe = ih 3  ed = hg Il teorema interpreta la seguente espressione : 3  x = 1  24

19 R.Bombelli 1572: Interpretazione della procedura risolutiva ax = b, caso: 3x = 24 Th.: Triang(eda) è simile al Triang(efi) cioè: fi : ad = fe : ed Interpretando: x : 1 = 24 : 3 cioè: x = 8

20 R.Bombelli (1572): Determinazione con riga e compasso della soluzione dell’equazione: ax = b (case: 3x = 24) 1. Tracciamo fe = 24 2. Prolunghiamo fe con ed = 3 3. Tracciamo eb = fp = ad = 1 perpendicolari a fed 4. Prolunghiamo ae e fp 5. Determiniamo il punto i 6. Affermiamo che fi = x

21 “Dimostrazione” per l’equazione cubica quando si fa valere il principio di omogeneità dimensionale G.Cardano (1545), R.Bombelli (1572) Th.: Cubo(r,k) + 3Parall.(m,i) = = Cubo(c,k) – Cubo (b,s) = = Gnomonide (r, k) Caso: x 3 + 6x = 20 (x 3 + px = q) uv = p/3 e u 3 – v 3 = q Interpretazioni Interpretazioni: x  ab  x 3  ab 3 = Cubo (r,k)  6x = 3  2x = 3uvx  3ac  bc  ab= = 3 Parall(m, i) u 3 – v 3 = q  20 = u 3 – v 3 = q  ac 3 – bc 3 = = = Gnom(r, k)

22 “Dimostrazione” per l’equazione cubica quando NON si fa valere il principio di omogeneità dimensionale R.Bombelli (1572) [applicazione del cd. 1° teor. di Euclide] Caso: x 3 + 6x = 20 Th.: hi 2 = mh  he = = bc  (hc + ce) Interpretazioni: mh = hn = bc hi 2  20 hc = nb  6 dc  1 bc  x (graficamente determinabile) = 2 Geometricamente cd : bc = bc : ce  1 : x = x : ce  ce  x 2

23 IL PROBLEMA DI PAPPO IN DESCARTES Il classico problema di Pappo (o di Apollonio), ripreso da Descartes nella Géométrie (1637), conduce ad un'importante generalizzazione del concetto di curva come luogo geometrico di punti. Si tratta appunto di introdurre un metodo generale per trattare le curve. Questo tema viene presentato da Descartes nel primo libro, dove vengono riportati alcuni passi in latino tratti dalla traduzione di Federico Commandino del 1588 delle Collectiones mathematicae (VII libro) di Pappo. Pappo a sua volta si riconduce ad Apollonio (III libro delle Coniche). Riportiamo quindi alcuni passi del brano riportato da Descartes.

24 «Ecco in che cosa consiste un luogo geometrico relativo a tre e quattro rette, a proposito del quale Apollonio fu il primo a scrivere. Se, assegnate tre rette secondo la loro rispettiva posizione, si conduce da uno stesso punto a queste tre rette altre tre rette secondo angoli assegnati e viene dato anche il valore del rapporto fra il rettangolo formato da due dei segmenti individuati dalle rette condotte [dal punto considerato all'intersezione con le rette date] ed il quadrato costruito sul terzo dei segmenti condotti, allora il punto considerato si troverà su un luogo solido dato per posizione [...]».

25 «Se su quattro rette assegnate per posizione si conducono da un punto quattro segmenti con angolazioni date in modo tale che sia dato anche il valore del rapporto tra il rettangolo formato da due dei segmenti condotti e il rettangolo formato dagli altri due segmenti condotti, allora il punto in questione si troverà su una sezione conica data per posizione. D'altra parte se le rette assegnate sono solamente due si può stabilire che il luogo determinato sia piano; però se sono assegnate più di quattro rette, il luogo descritto dal punto considerato non rientra tra quelli a noi noti. [...] Se sempre da un punto considerato si conducono segmenti con una certa angolatura a cinque rette assegnate per posizione, in modo che sia noto il rapporto tra il parallelepipedo rettangolo costituito da tre dei segmenti condotti ed il parallelepipedo rettangolo determinato dagli altri due segmenti condotti ed un segmento giacente sopra una delle cinque rette assegnate, allora il punto descriverà una certa linea data per posizione».

26 Dunque anche per sei rette assegnate è possibile far individuare al punto considerato una linea data per posizione non appena sia assegnato il valore del rapporto fra il parallelepipedo costituito da tre segmenti condotti ed il parallelepipedo formato dagli altri tre. Tuttavia se consideriamo più di sei rette dovremmo assegnare il valore del rapporto fra figure geometriche di dimensione maggiori di tre. Ciò non era compatibile con la mentalità di Pappo e degli antichi. Descartes è però in grado di superare la limitazione eliminando ai prodotti quell'interpretazione dipendente da quel principio di omogeneità dimensionale tanto caro (esplicitamente) a Viète e considerato (implicitamente) dagli altri algebristi (Cardano, Tartaglia, Bombelli, Stevin, ecc.) del Cinquecento. Il metodo delle coordinate, come vedremo tra poco con qualche esempio, deve molto a quanto prospettato dal problema di Pappo.

27 Per esempio: Posto AB = x e CB = y, assegnate le inclinazioni (angoli) e utilizzando per i triangoli il teorema dei seni, si determinano CD, CF, CH. Si possono così determinare per esempio i luoghi: e a conti fatti dalla prima delle precedenti si può ottenere:

28 In breve e nel caso più semplice (come afferma E.Giusti, 1987), per Descartes il problema di Pappo consiste nell’assegnare 2n rette e quindi di trovare il luogo dei punti tali che i prodotti delle distanze dalle prime n rette siano uguali ad un multiplo dei prodotti delle distanze dalle rimanenti. Sia C  (x, y), Descartes fa vedere che la distanza di C dalla retta i- esima è data da: dove i coefficienti a i, b i, e c i dipendono dalla retta considerata. Quindi il luogo dei punti cercato è:

29 Per Descartes le curve sono solo quelle che possono essere espresse da equazioni algebriche (escludendo ad esempio le equazioni trascendenti). Così la contrapposizione tra curve geometriche e curve meccaniche (come la spirale e la quadratrice) consisteva nel fatto che quest’ultime non potevano essere messe in equazione. Agli inizi del secondo libro della Géométrie viene discusso il tema della generazione costruttiva delle curve. Qual’ è la costruttività che interessa Descartes? Egli sostiene che "non c'è bisogno, per le linee che vengono introdotte [nella Géométrie], di supporre niente altro che due o più linee possono essere mosse l'una su l'altra e che le loro intersezioni determinino altre curve".

30 E' questa una posizione che conduce ad una certa generalizzazione della nozione di luogo geometrico e che porterà Descartes a progettare uno strumento ideale-concreto, un nuovo produttore di curve piane accettabile quanto la riga e il compasso. Questo strumento (vedi Figura) è il mesolabum o compasso a squadre scorrevoli proposto nelle Cogitationes privatae (1620) e mai da lui costruito. Ma ciò che interessa è il suo funzionamento concettuale.

31 Si consideri il punto O intorno al quale può ruotare in un senso determinato un braccio OX, che nella posizione di partenza è sovrapposto al braccio OZ. Sui due bracci OX e OZ sono predisposte a scorrere un certo numero di squadre rettangolari in modo tale che nella posizione iniziale (OX sovrapposto a OZ) queste squadre sono tra loro sovrapposte e i punti B, C, D, E, F, G e H sono riuniti nel punto A. Facendo ruotare OX le righe scorrono l'una rispetto all'altra in base al grado di libertà che ad esse rimane ed è così che i punti D, F e H tracciano curve tra loro diverse di grado maggiore di due. Il punto B invece traccia un cerchio di raggio OB.

32 Per renderci conto di come funzioni questo metodo costruttivo proposto da Descartes e la metodologia scaturita dalla soluzione del problema di Pappo, faremo vedere esempi tratti dalla Géométrie. Riportiamo dapprima di seguito un esempio, ripreso appunto dal secondo libro della Géométrie, che illustra come Descartes costruisce una curva di secondo grado e come dalla costruzione risale alla relativa equazione.

33 Tenendo presente la Figura, la curva in questione sarà individuata dai punti C intersezione della retta (riga) GL con la retta (riga) KN, allorquando al ruotare in senso antiorario intorno a G della retta GL il punto K scorre lungo l'asse AB di modo che restino sempre costanti i segmenti GA = a, LN = c e KL = b.

34 Posti allora CB = y e AB = x (sono questi infatti i segmenti che, individuando il punto C, variano nel "movimento" del sistema che genera la curva), dalla similitudine dei triangoli KLN e KCB (LN è costruito parallelo a GA) si ha: Si ha pure che:

35 Dalla similitudine dei triangoli LGA e LCB (CB è preso parallelo a GA) abbiamo che: Sostituendo in base alle posizioni fatte si ha: e a conti fatti si ha a conica: dove A, B, C, D sono numeri reali.

36 Nel secondo libro della Géométrie troviamo anche un interessante esempio in cui Descartes applica da un lato l'impostazione relativa al problema di Pappo, per il caso di cinque rette assegnate, e dall'altro una tecnica costruttiva del tipo poc'anzi visto. In questo modo egli fa così vedere che si può determinare una medesima equazione di una curva procedendo separatamente secondo le due impostazioni da lui presentate per l'individuazione di luoghi geometrici. Procediamo secondo il problema di Pappo.

37 Con riferimento alla Figura sia AI = AE = GE = a, le rette r, s, t, v siano tra loro parallele e la retta r sia perpendicolare alle precedenti che interseca rispettivamente nei punti G, E, A, I. Si ponga quindi CB = y e CM = x, avremo allora:

38 Da cui ponendo: CF ⋅ CD ⋅ CH = CB ⋅ CM ⋅ DB e sostituendo in base alla precedente si ha: (2a - y)(a - y)(a + y) = yxa facendo i conti si ottiene:

39 Ma Descartes fa vedere che si arriva alla precedente equazione se consideriamo il luogo geometrico generato dal seguente "movimento". Partiamo dalla parabola CKM (vedi Figura) in cui sia KL = a, essendo K il vertice ed L il fuoco. Il luogo verrà generato dai punti intersezione della parabola con la retta GL, allorché la parabola scorre lungo l'asse t, avendo solidale con la retta GL il punto L e G fissato e centro della rotazione di GL, subordinata allo scorrimento della parabola lungo t.