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RELATIVITÀ a cura di Sandro Ronca Introduzione alla Teoria della ITIS Silvio De Pretto Settimana intensiva 21-25/01/13.

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2 RELATIVITÀ a cura di Sandro Ronca Introduzione alla Teoria della ITIS Silvio De Pretto Settimana intensiva 21-25/01/13

3 Albert Einstein Ulm, Princeton, 1955 Uno dei più grandi scienziati di tutti i tempi. Diede il maggior contributo individuale alla Fisica di ogni altro scienziato. Nel 1905 scrisse articoli sul moto browniano, sulleffetto fotoelettrico e sulla teoria della relatività ristretta ognuno dei quali valeva da solo un premio Nobel. La teoria della relatività ristretta e la nuova teoria della gravitazione nota come Relatività generale, hanno definitivamente cambiato il modo di vedere e rapportarsi alla realtà fisica. Fu insignito del premio Nobel nel 1921, ma per leffetto fotoelettrico e non per la teoria della Relatività

4 Ci occuperemo di: Lunghezze che si accorciano Orologi che rallentano Raggi luminosi che pesano Spazi che si incurvano Gemelli che non invecchiano Cioè di cose che accadono in uno strano universo: quello in cui viviamo

5 Che succede se mi muovo alla stessa velocità della luce? Un pensiero ricorrente assillava il giovane Albert

6 Potrò vedere la mia immagine riflessa allo specchio?

7 Oppure… Lo specchio resterà nero?

8 Beh, non era affatto una domanda banale!

9 Osservando le eclissi di Io Cette seconde inégalité paraît venir de ce que la lumière emploie quelques temps à venir du satellite jusqu'à nous, et qu'elle met environ dix à onze minutes à parcourir un espace égal au demi-diamètre de l'orbite terrestre la luce non si propaga istantaneamente Ole Rømer dedusse che:

10 Io è il più interno dei satelliti di Giove. Orbita ad una distanza di km dal centro del pianeta e il suo periodo orbitale è di 42,5 ore.

11 Rømer si accorse che il satellite di Giove, Io sembrava rallentare il suo moto di rivoluzione quando la terra si allontanava da Giove e accelerarlo quando si avvicinava Lunica spiegazione possibile era che la luce impiegasse un certo tempo a percorrere il diametro dellorbita terrestre. Io a cura di Sandro Ronca

12 Nel 1670 Cassini calcolò la distanza Terra-Sole ottenendo 140·10 6 km 280·10 6 km Quindi il diametro dellorbita terrestre doveva essere allora di circa 280 milioni di km Giovanni Domenico Cassini a cura di Sandro Ronca

13 Rømer valutò un ritardo di circa 22 minuti su 40 orbite di Io osservate tra il punto di maggiore e minore distanza della Terra da Giove La luce allora avrebbe dovuto percorrere 280 milioni di km in 22 minuti Con questi dati Rømer avrebbe calcolato: Con un errore del 30 % sul valore attualmente accettato a cura di Sandro Ronca

14 Rømer però introdusse unidea molto importante la luce si propaga con una velocità finita Ole Rømer a cura di Sandro Ronca

15 Poi cerano le questioni legate allelettromagnetismo a cura di Sandro Ronca

16 Ambra (elektron) Magnetite Per secoli i fenomeni elettrici e magnetici sono stati considerati come indipendenti ed estranei luno allaltro a cura di Sandro Ronca

17 ma nellanno 1820 a Copenaghen…

18 I I Il Prof. Hans Christian Øersted esegue un esperimento a cura di Sandro Ronca

19 Ne deduco che una corrente elettrica genera un effetto magnetico Hans Christian Ørsted ( )

20 I Qualcuno poi lo chiamerà campo magnetico a cura di Sandro Ronca

21 E un campo magnetico non potrebbe a sua volta generare una corrente? Michael Faraday ( ) a cura di Sandro Ronca

22 La pila di Volta genera una corrente continua E con gli avvolgimenti di molte spire pensavo di amplificare a sufficienza gli effetti a cura di Sandro Ronca

23 Ho provato in tutti i modi, ma… NIENTE! Michael Faraday ( ) a cura di Sandro Ronca

24 Ma nel 1831 Faraday scopre qualcosa di molto importante a cura di Sandro Ronca

25 Impulsi di corrente alla chiusura e apertura del circuito a cura di Sandro Ronca

26 Ci sono! Il campo magnetico deve variare nel tempo. Michael Faraday ( ) Ho giusto in mente una certa legge … a cura di Sandro Ronca

27 1 2 Penso che lenergia impieghi un certo tempo per passare dalla bobina 1 alla 2 a cura di Sandro Ronca

28 James Clerk Maxwell ( ) Nel 1864 J. C. Maxwell portò a termine lunificazione teorica di elettricità e magnetismo Equazioni di Maxwell a cura di Sandro Ronca

29 Le prime due equazioni: legge di Gauss elettrica e magnetica Legge di Gauss: le sorgenti del campo elettrico E sono le cariche elettriche. ρ è la densità di carica elettrica Q/Volume Non esiste la carica magnetica. Il campo magnetico B è solenoidale: le sue linee di campo sono sempre anelli chiusi. Il flusso attraverso unasuperficie chiusa è sempre nullo. È anche detta legge di Gauss Magnetica ma le più interessanti sono le altre due… a cura di Sandro Ronca

30 La legge di Faraday Un campo elettrico E può essere generato dalla variazione di un campo magnetico B Thank you, sir Linduzione elettromagnetica a cura di Sandro Ronca

31 Mais, non lavevo scritta comme ça, moi! La legge della circuitazione del Signor Ampère André-Marie Ampère ( ) a cura di Sandro Ronca

32 Ah, bon! Pardon Monsieur, mi sono permesso di aggiungere la corrente di spostamento La legge di Ampére: a cura di Sandro Ronca

33 Un campo magnetico B può essere creato da una (densità di) corrente J, ma anche dalla variazione di un campo elettrico E. La corrente di spostamento è un termine importante: ha a che fare con le onde elettromagnetiche a cura di Sandro Ronca

34 Maxwell trovò una soluzione di queste due equazioni che prevedeva la possibilità di propagazione nello spazio dei campi elettrici e magnetici sotto forma di onde con velocità: a cura di Sandro Ronca

35 Con i dati di allora (1865) trovò c = km/s così vicina alla velocità della luce che ho ragione di credere che la luce stessa sia unonda elettromagnetica a cura di Sandro Ronca

36 Aveva ragione! permettività dielettrica del vuoto permeabilità magnetica del vuoto a cura di Sandro Ronca

37 Heinrich Rudolf Hertz ( ) Nel 1887 verificò sperimentalmente lesistenza delle onde elettromagnetiche grazie ad un famoso esperimento a cura di Sandro Ronca

38 La velocità della luce è: c = ,458 km/s La luce è unonda elettromagnetica a cura di Sandro Ronca

39 Si pensava che la luce avesse bisogno di un mezzo per propagarsi: l etere, come le onde sonore, che si propagano nellaria. Una sostanza piuttosto strana … doveva essere trasparente per tutti i corpi, ma infinitamente rigida per consentire la propagazione della luce a cura di Sandro Ronca

40 1887. Michelson e Morley tentano di evidenziare gli effetti delletere sulla propagazione della luce. Usano un particolare interferometro. a cura di Sandro Ronca

41 A causa del moto dellapparecchiatura i raggi impiegano tempi diversi per completare i due percorsi di andata e ritorno. a cura di Sandro Ronca

42 La luce si muove con velocità c rispetto allipotetico etere v è la velocità della Terra nellorbita attorno al sole: circa 30 km/s km/h I bracci dellinterferometro hanno eguale lunghezza L Lungo la direzione e il verso della velocità v il raggio di luce, rispetto allapparato si muove con velocità c – v perché lo specchio A si allontana con velocità v. Per percorrere L impiega il tempo: A B S a cura di Sandro Ronca

43 La luce si muove con velocità c rispetto allipotetico etere v è la velocità della Terra nellorbita attorno al sole: circa 30 km/s km/h I bracci dellinterferometro hanno eguale lunghezza L Al ritorno, il raggio di luce, rispetto allapparato si muove con velocità c + v perché lo specchio S si avvicina con velocità v. Per percorrere L impiega il tempo: A B S a cura di Sandro Ronca

44 La luce si muove con velocità c rispetto allipotetico etere v è la velocità della Terra nellorbita attorno al sole: circa 30 km/s km/h I bracci dellinterferometro hanno eguale lunghezza L Il tempo totale del percorso longitudinale è A B S a cura di Sandro Ronca

45 Qualche passaggio algebrico: Il tempo totale del percorso longitudinale è A B S a cura di Sandro Ronca

46 Il raggio trasversale deve percorrere una distanza più lunga di L sia allandata che al ritorno, perché lo specchio B si sta spostando con velocità v. Il tempo totale del percorso trasversale è allora: A B S Se per andare da S a B il raggio impiega il tempo T 3, avrà percorso una distanza c T 3 tale che: v T 3 c T 3 L S B a cura di Sandro Ronca

47 Qual è il tempo maggiore? il raggio longitudinale impiega più tempo a cura di Sandro Ronca

48 Così si poteva prevedere quale fosse la figura di interferenza, ma… Non si rivelò mai alcun effetto sulla velocità della luce dovuto alla presenza delletere. a cura di Sandro Ronca

49 A questo punto si poteva anche rinunciare alletere, dato che non si poteva scoprirne gli effetti. Ma cera di più … a cura di Sandro Ronca

50 Lesperimento sembrava indicare che la velocità della luce doveva essere sempre la stessa, indipendentemente dal moto della sorgente a cura di Sandro Ronca

51 c = ,458 km/s Una costante universale a cura di Sandro Ronca

52 c = ,458 km/s Ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

53 Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti a cura di Sandro Ronca

54 e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza a cura di Sandro Ronca

55 e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose a cura di Sandro Ronca

56 fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma a cura di Sandro Ronca

57 Codesta cosa la scrissi nel Dialogo. Sera nel 1624, ma si pubblicò nel1632 Galileo Galilei enunciò così il Principio dinerzia a cura di Sandro Ronca

58 fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma Non esiste alcun esperimento che permetta di decidere se un sistema di riferimento è in moto rettilineo uniforme o è fermo Le leggi della fisica, per esempio le forze, sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

59 Achtung! Questo è il nocciolo della questione. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

60 Se la pantera rosa lancia una palla verso lalto, questa le ritornerà in mano, e dal suo punto di vista seguirà una traiettoria rettilinea verso lalto e verso il basso. Le leggi della Fisica sono le stesse che in un riferimento fermo. Vista dal binario però la palla seguirà un percorso ad arco di parabola perché il treno imprime alla palla anche una componente orizzontale di velocità.

61 Un sistema di riferimento è un corpo rigido rispetto al quale prendiamo tutte le nostre misure, di lunghezza, di tempo, ecc. Cosè un sistema di riferimento? x y z S Un sistema di riferimento è inerziale se è fermo oppure si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro sistema a sua volta inerziale. Un sistema di riferimento può essere rappresentato da un sistema di assi cartesiani perpendicolari S (x,y,z) a cura di Sandro Ronca

62 y'y' x'x' V x y Le trasformazioni di Galileo delle coordinate y'y' x'x' V x y Vt P x'x' x a cura di Sandro Ronca

63 y'y' x'x' Le trasformazioni di Galileo delle coordinate y'y' x'x' V x y Vt P x'x' x Ovviamente vale la trasformazione inversa: a cura di Sandro Ronca x y V

64 Le trasformazioni di Galileo delle velocità y'y' x'x' V x y Vt P x'x' x Lungo lasse x a cura di Sandro Ronca

65 Le trasformazioni di Galileo delle velocità y'y' x'x' V x y Vt P x'x' x Lungo lasse x a cura di Sandro Ronca

66 Le trasformazioni di Galileo delle Forze (accelerazioni) y'y' x'x' V x y Vt P x'x' x Trasformiamo le velocità secondo Galilei F Nel sistema S esiste una forza F = ma a cura di Sandro Ronca

67 Riassumendo … a cura di Sandro Ronca

68 La luce è unonda elettromagnetica prodotta dalloscillazione di un campo elettrico e di un campo magnetico che si auto-sostengono propagandosi nello spazio con velocità finita (*) pari a: (*) lopposto di velocità infinita e quindi effetto istantaneo a cura di Sandro Ronca

69 Dallesperimento di Michelson e Morley ci si aspettava, almeno in qualche momento dellanno, di rilevare una differenza nei tempi di percorrenza del raggio parallelo alla velocità della Terra rispetto a quello trasversale a cura di Sandro Ronca

70 Infatti almeno in qualche momento la terra con linterferometro doveva avere una velocità rispetto alletere a cura di Sandro Ronca

71 In tal caso ci si aspettava che il raggio longitudinale impiegasse più tempo rispetto a quello trasversale alla velocità v è minore di 1 Quindi: a cura di Sandro Ronca

72 Non si trovò alcuna differenza. I due raggi impiegavano lo stesso tempo, come se la terra fosse sempre ferma rispetto alletere. a cura di Sandro Ronca

73 Michelson Morley Il risultato era decisamente sconcertante. Non sapevamo proprio come spiegarlo Sembrava che la luce non obbedisse alla trasformazione galileiana delle velocità a cura di Sandro Ronca

74 Ricordiamo y'y' x'x' V x y Vt P x'x' x V a cura di Sandro Ronca v

75 La mia conclusione: la velocità della luce deve essere la stessa in ogni sistema di riferimento a cura di Sandro Ronca

76 Le onde luminose si propagano secondo sfere concentriche a cura di Sandro Ronca

77 x y y'y' x'x' V P O O Fronte donda con centro in O Fronte donda con centro in O OP = distanza percorsa dal raggio di luce in S a cura di Sandro Ronca

78 Poiché la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento, nonostante il moto sarò sempre al centro della sfera costituita dal fronte donda y'y' x'x' V x y P ct O O a cura di Sandro Ronca

79 a) le leggi della fisica devono essere le stesse nei due sistemi di riferimento, b) la velocità della luce deve essere la stessa nei due sistemi di riferimento x y y'y' x'x' V P O O Spazio = velocità x tempo O P = ct I tempi nei due sistemi di riferimento potrebbero non essere gli stessi t a cura di Sandro Ronca

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81 Il tempo è qualcosa che si misura con un orologio. a cura di Sandro Ronca

82 Beh, non necessariamente questo: Anche questo può andar bene: Qualsiasi cosa che riproduca ciclicamente e periodicamente una certa situazione O questo: a cura di Sandro Ronca nella molecola di ammoniaca latomo di azoto passa da una posizione alla sua simmetrica rispetto al piano individuato dagli atomi di idrogeno. Fu utilizzato in uno dei primi orologi atomici

83 eventi che avvengono nello stesso istante di tempo Sul treno il sistema di comando apre simultaneamente le porte Smile Se il vagone è fermo Smile giudicherà che gli eventi sono simultanei Eventi simultanei a cura di Sandro Ronca

84 Ma se la carrozza si muove … Smile Smile vedrà aprirsi prima la porta A e dopo la porta B, perché? A B V a cura di Sandro Ronca

85 Eventi simultanei in un sistema di riferimento non lo sono necessariamente in un altro, in moto relativo rispetto al primo Smile Più velocemente si muove il vagone più tardi si aprirà la porta B rispetto ad A A B V a cura di Sandro Ronca

86 Considero il caso particolare in cui P si trova sullasse x, x y'y' x'x' V x y P ct O O a cura di Sandro Ronca

87 y'y' x'x' V x y P ct O O Proviamo con la trasformazione di Galileo Qui abbiamo: dove supponiamo che t sia il tempo misurato nel sistema S ma comunque nella trasformazione di Galileo: a cura di Sandro Ronca

88 y'y' x'x' V x y P ct O O diviene: a cura di Sandro Ronca

89 y'y' x'x' V x y P ct O O moltiplichiamole membro a membro si ottiene lassurdo: La trasformazione di Galileo NON funziona a cura di Sandro Ronca

90 y'y' x'x' V x y P ct O O Proviamo con la trasformazione : Qui però immaginiamo che i tempi possano essere diversi La costante non può dipendere dal tempo né dalla coordinate x o x altrimenti la trasformazione non sarebbe lineare deve essere la stessa nelle due trasformazioni perché altrimenti, potrei decidere quale sistema si muove. a cura di Sandro Ronca

91 y'y' x'x' V x y P ct O O Come prima moltiplichiamo membro a membro a cura di Sandro Ronca

92 y'y' x'x' V x y P ct O O Così possiamo ricavare raccogliamo c 2 al denominatore: a cura di Sandro Ronca

93 y'y' x'x' V x y P ct O O Trasformazioni di Lorentz delle coordinate spaziali a cura di Sandro Ronca

94 y'y' x'x' V x y P ct O O Ora cerchiamo una trasformazione per il tempo: a cura di Sandro Ronca

95 y'y' x'x' V x y P ct O O a cura di Sandro Ronca

96 y'y' x'x' V x y P ct O O a cura di Sandro Ronca

97 y'y' x'x' V x y P ct O O Trasformazione del tempo a cura di Sandro Ronca

98 Le trasformazioni di Lorentz y'y' x'x' V x y Vt P x'x' x a cura di Sandro Ronca

99 Le trasformazioni di Lorentz Il rapporto: è quasi nullo per le normali velocità di cui abbiamo esperienza. Alla velocità della luce: Il fattore: la radice: è chiamata contrazione di Ftzgerald si annulla alla velocità della luce: è sempre >1 diviene infinito alla velocità della luce:

100 c = ,458 km/s La velocità della luce è una velocità limite in questo universo a cura di Sandro Ronca

101 Le lunghezze si contraggono x y z y'y' x'x' z'z' x'1x'1 x'2x'2 V x1x1 x2x2 L L x 1 e x 2 devono essere rilevate allo stesso tempo a cura di Sandro Ronca

102 Le lunghezze si contraggono x y z y'y' x'x' z'z' x'1x'1 x'2x'2 V x1x1 x2x2 L L Contrazione di Fitzgerald a cura di Sandro Ronca

103 I tempi si dilatano x y z y'y' x'x' z'z' V Un intervallo di tempo in S in cui lorologio è fermo Lintervallo di tempo in S: Lorologio è fermo in S quindi x 1 =x 2 a cura di Sandro Ronca

104 I tempi si dilatano x y z y'y' x'x' z'z' V Un intervallo di tempo in S in cui lorologio è fermo Lintervallo di tempo in S: a cura di Sandro Ronca

105 Comporre le velocità V u x=ut y S sistema di riferimento del treno x y V x=u t a cura di Sandro Ronca

106 Comporre le velocità V u x=ut y S sistema di riferimento del treno x y V x=u t a cura di Sandro Ronca

107 Trasformazione delle velocità V u x=ut y S sistema di riferimento del treno x y V x=u t Galileiana Relativistica a cura di Sandro Ronca

108 Raggio di luce V c y S sistema di riferimento del treno x y V Galileiana Relativistica a cura di Sandro Ronca

109 Trasformazione delle velocità V c y S sistema di riferimento del treno x y V Galileiana Relativistica a cura di Sandro Ronca

110 Trasformazione delle velocità V c y S sistema di riferimento del treno x y V Conferma che la velocità della luce è la stressa in ogni sistema di riferimento. a cura di Sandro Ronca

111 Comporre le velocità dirette lungo y V u y y S sistema di riferimento del treno x y V a cura di Sandro Ronca

112 Comporre le velocità dirette lungo y V u y y S sistema di riferimento del treno x y V a cura di Sandro Ronca

113 Comporre le velocità dirette lungo y V u y y S sistema di riferimento del treno x y V e linversa: a cura di Sandro Ronca

114 Comporre le velocità dirette lungo y V u y y S sistema di riferimento del treno x y V Ma u x = 0 Proviene dalla dilatazione del tempo a cura di Sandro Ronca

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116 v A1 v B1 Siamo nel sistema di riferimento del laboratorio Le particelle hanno velocità uguali ed opposte m m La quantità di moto totale si conserva a cura di Sandro Ronca x y laboratorio Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte

117 Sir Isaac Newton ( ) Well, la quantità di moto è data dal prodotto della massa per la velocità: La mia 2 a legge dice che: Cioè che una forza F imprime ad una massa m unaccelerazione a a cura di Sandro Ronca

118 Sir Isaac Newton ( ) However, laccelerazione è una variazione di velocità in un dato intervallo di tempo So, my law diventa: O meglio: a cura di Sandro Ronca

119 Sir Isaac Newton ( ) Ma se la forza è nulla: La quantità di moto si conserva: a cura di Sandro Ronca

120 Sir Isaac Newton ( ) Per esempio la quantità di moto totale prima dellurto mv 1 sarà uguale a quella dopo lurto mv 2 a cura di Sandro Ronca

121 Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte v A1 v B1 Siamo nel sistema di riferimento del laboratorio Le particelle hanno velocità uguali ed opposte m m La quantità di moto totale si conserva v A2 v B2 a cura di Sandro Ronca x y laboratorio

122 v A1 v B1 Ma si devono conservare anche le singole componenti della quantità di moto m m v A2 v B2 v A1y v A1x v B1x v B1y v B2x v B2y v A2x v A2y a cura di Sandro Ronca x y laboratorio Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte

123 Quantità di moto iniziale e finale per componenti m m mv A1y mv A1x mv B1x mv B1y mv A2x mv A2y mv A1x mv B1x + = 0 mv A2x mv B2x + = 0 mv B2x mv B2y mv A2y + mv B2y = 0 mv B1y + mv A1y = 0 PRIMA DOPO La quantità di moto totale iniziale e finale sono nulle in questo caso a cura di Sandro Ronca x y laboratorio

124 Semplifichiamo le notazioni m m –v y –v x vxvx vyvy vyvy vxvx –v y a cura di Sandro Ronca x y laboratorio Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte Poiché le velocità sono uguali ed opposte tutte le componenti corrispondenti sono uguali in modulo. Le velocità sono positive se dirette nel verso positivo degli assi, altrimenti sono negative.

125 v1v1 w1w1 Consideriamo un sistema di riferimento S che si muove verso destra con velocità uguale alla componente x della velocità della particella B m m v2v2 w2w2 x y Osserviamo che nel sistema S di la particella B si muove solamente lungo lasse y a cura di Sandro Ronca x y laboratorio Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte

126 Lurto nel sistema S v1v1 w 1 = w y m m v2v2 w 2 = –w y x y a cura di Sandro Ronca V = v x

127 Lurto nel sistema S wywy m m – w y x y a cura di Sandro Ronca V = v x vxvx vyvy vxvx – v y La quantità di moto si conserva lungo lasse x perché le velocità iniziali e finali di A sono uguali mentre B non ha componenti della velocità lungo x La quantità di moto si conserva lungo x

128 Lurto nel sistema S wywy m m – w y x y a cura di Sandro Ronca vxvx vyvy vxvx – v y La quantità di moto NON si conserva lungo y V = v x

129 Lurto nel sistema S wywy m m – w y x y a cura di Sandro Ronca vxvx vyvy vxvx – v y La quantità di moto NON si conserva lungo y V = v x

130 Perché si conservi la quantità di moto anche lungo y le componenti di velocità lungo y dovrebbero essere uguali (ed opposte), ma: Noto che: Qual è la velocità maggiore? a cura di Sandro Ronca

131 Qual è la velocità maggiore in modulo? < 1: diminuisce v y < 1:aumenta v y > 1: diminuisce v y Quindi: La quantità di moto non si conserva a cura di Sandro Ronca

132 Questo era un problema veramente molto serio. Era inammissibile che, in qualche sistema di riferimento, fosse violata una fondamentale legge di conservazione della natura a cura di Sandro Ronca

133 Per far tornare i conti dovremo rinunciare allidea che la massa sia unentità indipendente dal moto, ma che dipenda a sua volta dalla velocità della particella a cura di Sandro Ronca

134 Trovai che una buona legge di variazione della massa era questa: a cura di Sandro Ronca

135 Per comprendere il senso di questa definizione osserviamo le velocità che avevamo trovato (sostituiamo V con v x ): differiscono solo per il segno della componente v x, altrimenti sarebbero identiche e la quantità di moto si conserverebbe. Cerchiamo allora una definizione della quantità di moto che la renda indipendente dalla velocità lungo x. La legge di variazione della massa a cura di Sandro Ronca

136 Una componente di velocità perpendicolare al moto del sistema (lungo x) è data: Infatti la componente di velocità lungo x compare a causa della trasformazione dellintervallo temporale Δt Δt Lintervallo di tempo proprio Δt 0 è quello misurato dagli orologi fermi in un dato sistema di riferimento: nel sistema S da: Tuttavia: a cura di Sandro Ronca

137 Tutti gli osservatori saranno in grado di calcolare correttamente Δt 0 e soprattutto otterranno lo stesso valore una volta che si sia misurato il tempo Δt e sia nota la velocità v con cui il sistema di riferimento S si sposta. Poiché: x z y x z y v tempo proprio in S Una velocità calcolata come: sarebbe la stessa in tutti i sistemi di riferimento Infatti : quindi: a cura di Sandro Ronca

138 Allora ha senso ridefinire la quantità di moto come: che garantirà la conservazione della quantità di moto in tutti i sistemi di riferimento. a cura di Sandro Ronca

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140 In matematica si dimostra che (sviluppo binomiale): a cura di Sandro Ronca

141 Trascurando i termini di ordine superiore: Moltiplico per c 2 : Energia Totale Energia Cinetica Energia a Riposo a cura di Sandro Ronca

142 Da notare che se v tende alla velocità della luce, la massa aumenta e tende a diventare infinita La massa aumenta con la velocità Gli oggetti dotati di massa non possono raggiungere la velocità della luce. Secondo la relatività ristretta sarebbe necessaria una energia infinitamente grande per portare una massa (che diviene infinita) a quella velocità La velocità della luce è un limite non raggiungibile dagli oggetti dotati di massa

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144 a cura di Sandro Ronca Spazio-tempo 2D Le linee inclinate rappresentano la velocità della luce. Ciò che si muove alla velocità della luce è rappresentato in ogni istante da un punto su quelle linee Lorigine degli assi rappresenta il presente: qui e ora La curva l è la linea duniverso. Rappresenta il percorso di un oggetto nello spazio-tempo. Per esempio la vita di un individuo linea t x velocità della luce >0 velocità della luce <0 spazio tempo PRESENTE FUTURO PASSATO duniverso Uno spazio tempo 2D è rappresentato da una sola coordinata spaziale x, e da una coordinata temporale t

145 a cura di Sandro Ronca Spazio-tempo 3D cono luce

146 a cura di Sandro Ronca Spazio-tempo 2D Le linee duniverso sono tutte contenute nei coni del futuro e del passato Le zone contrassegnate con ALTROVE sono posizioni spazio-temporali non raggiungibili. Lo sarebbero solo se si potesse viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce. linea t x velocità della luce >0 velocità della luce <0 PRESENTE FUTURO PASSATO duniverso ALTROVE Per tutti questi eventi vi è un nesso causale (principio di causa-effetto) ALTROVE

147 Misurare il tempo in metri Le trasformazioni di Lorentz mescolano le coordinate spaziali e temporali Nel tempo t la luce percorre uno spazio ct che chiamiamo τ (tau) Poiché la velocità della luce è identica in tutti i sistemi di riferimento, possiamo usare τ invece di t per misurare i tempi

148 Definire la velocità adimensionale La velocità è definita come: La velocità diventa il rapporto tra la velocità del corpo e la velocità della luce ed è un numero privo di dimensioni (rapporto tra due velocità) La velocità usando τ diviene è adimensionale

149 La velocità della luce unitaria Per la velocità della luce: La velocità della luce ha valore unitario

150 a cura di Sandro Ronca Spazio-tempo 2D e trasformazioni di Lorentz del tempo In un diagramma (x,ct) le linee che rappresentano la velocità della luce (linee di universo della luce) sono le bisettrici degli assi (45°, 135°) ct x diviene: posto:

151 a cura di Sandro Ronca Spazio-tempo 2D e trasformazioni di Lorentz dello spazio Per le coordinate spaziali: ct x posto:

152 a cura di Sandro Ronca Trasformazioni di Lorentz nel sistema (x,ct) con c = 1 Nel nuovo sistema abbiamo: ct x velocità della luce: coordinate temporali: velocità di S: Notare la simmetria rispetto a x e τ

153 a cura di Sandro Ronca Velocità nel sistema (x,ct) con c = 1 Nel nuovo sistema con : ct x Un oggetto con velocità: Ogni velocità è in realtà un rapporto tra leffettiva velocità definita in funzione del tempo e la velocità della luce Avrà velocità:

154 a cura di Sandro Ronca Lasse ct rappresenta lo scorrere del tempo τ (e quindi anche del tempo t) per qualcosa che è fermo allorigine x=0 e non cambia posizione. Lequazione di questo asse è: τ=ct x Il sistema (x,ct) ct = x ct = –x tutto ciò che si muove alla velocità della luce ciò che è fermo in x = 0 qualsiasi evento che avviene al tempo t=0 Lasse x rappresenta ogni possibile evento che avviene al tempo iniziale t = 0. Lequazione di questo asse è: oppure:

155 a cura di Sandro Ronca Gli eventi A, B, C e D sono simultanei nel sistema di riferimento S Eventi simultanei Gli eventi A e D non sono raggiungibili da O perché sono fuori dal cono-luce. Per presenziare agli eventi A o D, O dovrebbe potersi muovere con una velocità maggiore di quella della luce τ = ct x A B C D O

156 a cura di Sandro Ronca Gli eventi A, B, C e D avvengono nello stesso luogo, nel sistema di riferimento S Eventi nello stesso luogo Levento C (B è nel passato) non è raggiungibile da O perché si trova fuori dal cono-luce. Per presenziare allevento C, O dovrebbe potersi muovere con una velocità maggiore di quella della luce. Infatti C è troppo distante (nello spazio) da O per poter essere raggiunto nel tempo τ C senza superare la velocità della luce. τ = ct x A B C D O τCτC

157 a cura di Sandro Ronca Il sistema S si muove con velocità V e quindi con velocità adimensionale β = V/c nel verso positivo di x. Al tempo t = 0 le origini dei due sistemi S e S coincidono. τ x Come rappresentare il sistema (x,ct) Le equazioni degli assi di S sono: così dovrà essere per gli assi di S : e quindi: perché: O

158 a cura di Sandro Ronca ct x ma: oppure: Equazione dellasse ct ct = x è una retta di coefficiente angolare >1 infatti: 1/β = c/V ct = x/β quindi ha pendenza maggiore della linea di universo della luce. O

159 a cura di Sandro Ronca ct x x ma: oppure: Equazione dellasse x è una retta di coefficiente angolare <1 infatti: β = V/c quindi ha pendenza minore della linea di universo della luce. O

160 a cura di Sandro Ronca Assi del sistema S ct x x Il sistema S in moto rispetto a S nel verso delle x positive è rappresentato dagli assi inclinati x e ct O

161 a cura di Sandro Ronca Spazio-tempo 2D Mentre se la velocità è diretta nel verso delle x negative: ct x x O

162 a cura di Sandro Ronca Levento E in S ha coordinate E(x E, τ E ). Eventi in S e S ct x x E O τEτE xExE τ E xExE Levento E in S ha coordinate E(x E, τ E ). τ E < τ E è passato meno tempo in S di quanto ne sia passato in S. Gli orologi di S rallentano Ox E < Ox E Le lunghezze in S sono minore che in S Contrazione delle lunghezze

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164 Lequivalenza tra gravitazione e sistemi di riferimento accelerati fu il pensiero più felice della mia vita a cura di Sandro Ronca

165 Se mi trovassi in una cabina dascensore in caduta libera non sentirei alcun effetto della gravità. a=g Penserei di trovarmi in un sistema inerziale in quiete o in moto rettilineo uniforme. a cura di Sandro Ronca

166 a=g Ma se la cabina nello spazio fosse accelerata con unaccelerazione pari a quella di gravità, tutto, allinterno, si svolgerebbe come se mi trovassi in un campo gravitazionale simile a quello terrestre a cura di Sandro Ronca

167 Esattamente come sulla superficie della Terra, dove gli oggetti cadono in verticale o seguendo un arco di parabola, se hanno una componente di velocità orizzontale Image credits:Virtualtouring.it Dove portano questi ragionamenti? a cura di Sandro Ronca

168 Image credits:Virtualtouring.it Massa inerziale m I Massa gravitazionale m G Il principio di equivalenza a cura di Sandro Ronca

169 Il principio di equivalenza Nessun esperimento permette di capire se ci si trova in un sistema di riferimento uniformemente accelerato con accelerazione a oppure in un sistema non accelerato posto in un campo gravitazionale in cui laccelerazione sia g = –a La massa gravitazionale che compare nella legge di gravitazione universale e la massa inerziale che compare nella seconda legge della dinamica coincidono perfettamente: a cura di Sandro Ronca

170 a=g Anche la luce sembra incurvarsi in un sistema accelerato, anche se leffetto, a causa della velocità della luce, è quasi impercettibile su scala locale. Per il principio di equivalenza la stessa cosa succede in un campo gravitazionale. a cura di Sandro Ronca

171 a=g Se la cabina si muovesse con moto rettilineo a velocità costante, la contrazione delle lunghezze lungo la direzione del moto ci farebbe apparire il raggio ancora rettilineo. Ma nel sistema accelerato la velocità, e quindi la contrazione, non è costante. Il raggio di luce appare incurvato. a cura di Sandro Ronca

172 Effetti gravitazionali sulla luce I calcoli di Einstein basati sulla sua teoria della relatività generale indicarono che I raggi della luce di una stella radente il Sole dovrebbero essere deflessi di un angolo di 1.75 secondi di arco. Ciò fu misurato durante leclisse di sole totale del 1919 e durante quasi tutte quelle successive. fonte INFN

173 Relatività in giostra a cura di Sandro Ronca

174 Nella giostra la forza centrifuga spinge gli oggetti verso lesterno Chi sta sulla giostra può pensare di essere in quiete, ma in presenza di un campo gravitazionale, la cui intensità aumenta man mano che ci si allontana dal centro a cura di Sandro Ronca

175 R V accelerazione centrifuga Il sistema ruota quindi vi sarà una forza centrifuga a cura di Sandro Ronca Alice

176 accelerazione di gravità Mi sento pesante. E chiaro che mi trovo in un campo gravitazionale a cura di Sandro Ronca V Per forza! Non vede che il suo sistema sta ruotando. Alice Mary

177 Il metro si accorcia: Tim misurerà una circonferenza maggiore Il metro è lungo come quello di Alice. Bob misura il raggio e trova lo stesso valore di Alice Alice Bob Tim Non troveranno il valore corretto di π Lo spazio giostra potrebbe non essere è euclideo Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità deformi lo spazio a cura di Sandro Ronca

178 Lorologio di Bob è più veloce perché lì la gravità è meno intensa Lorologio di Tim rallenta perché la gravità è più intensa dove lui si trova. Alice Bob Tim Lorologio di Tim è più lento per effetto della rotazione Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità rallenta il tempo a cura di Sandro Ronca

179 Furono considerazioni simili a condurmi allidea che una massa non dava origine ad una forza, ma ad una curvatura dello spazio-tempo a cura di Sandro Ronca

180 Pianeti, stelle, comete … si muovono in linea retta. Ma in uno spazio curvo le rette non sono più tali. a cura di Sandro Ronca

181 Attorno ad una stella massiccia le traiettorie dei pianeti possono essere incurvate dallo spazio fino a formare orbite chiuse. a cura di Sandro Ronca

182 I buchi neri sono previsti dalla teoria della relatività generale. Sono ciò che resta dopo la morte di una stella di massa sufficientemente grande a cura di Sandro Ronca

183 Centaurus A, si trova a 11 milioni di anni-luce dalla terra. È una galassia attiva che contiene al centro un buco nero super massivo a cura di Sandro Ronca

184 Centaurus A (NGC 5128) Credit: X-ray: NASA/CXC/CfA/R.Kraft et al.; Submillimeter: MPIfR/ESO/APEX/A.Weiss et al.; Optical: ESO/WFI

185 Simili oggetti incurvano lo spazio-tempo a tal punto che nemmeno la luce può uscirne a cura di Sandro Ronca E rallentano il tempo, fin quasi a fermarlo

186 immagine:http://astrocultura.uai.it Una massa incurva lo spazio-tempo La forza di gravità non esiste. È la deformazione dello spazio-tempo che costringe gli oggetti a seguire traiettorie non rettilinee. La curvatura dello spazio-tempo obbliga anche i raggi luminosi a seguire percorsi non rettilinei

187 La nebulosa del Granchio dista 6500 anni-luce dalla Terra è il residuo dellesplosione di una stella, la supernova osservata nel 1054 d.C. Al suo interno vi è una stella di neutroni: diametro 20 km, massa circa 1,5 masse solari. È lo stadio terminale di una stella non sufficientemente massiccia per divenire un buco nero Anche questi oggetti incurvano fortemente lo spazio dando origine a campi gravitazionali estremamente intensi

188 Ma la prova più spettacolare della curvatura dello spazio sono le lenti gravitazionali a cura di Sandro Ronca

189 Il cluster Abell 2218 è un ammasso di circa galassie a circa 2,3 miliardi di anni luce dalla Terra La sua enorme massa distorce lo spazio creando un effetto lente Così sono ingrandite e distorte le immagini di galassie 5-10 volte più lontane Credits: NASA, Andrew Fruchter and the ERO Team [Sylvia Baggett (STScI), Richard Hook (ST- ECF), Zoltan Levay (STScI)]

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191 Princeton, 18 aprile 1955

192 Grazie


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