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Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 9 1.

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1 Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 9 1

2 Memoria di un MA(1) Al tempo t linnovazione a t entra nel modello: Z t = a t - 1 a t-1 In t+1 si ha: Z t+1 = a t a t a t agisce anche su Z t+1 In t+2 si ha: Z t+2 = a t a t+1 a t non influisce su Z t+2 (né su Z t+3, Z t+4, ecc.) La memoria del modello MA(1) si limita ad un lag (cfr. acf).

3 MODELLO MA(q) Z t = ( B - … - q B q )a t a t WN(0, 2 a ) -Sempre stazionario -Invertibile se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= B - … - q B q sono in modulo maggiori di 1: |B i |>1 i=1, 2, …, q -La f.a.c. si tronca per k>q -La f.a.c.p. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 -Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte MA(q) AR( )

4 MODELLO AR(1) (B) = B Z t ( B ) = a t Z t = 1 Z t-1 + a t a t WN(0, 2 a ) Con la costante il modello diviene più generale: Z t = c+ 1 Z t-1 + a t QUALI CARATTERISTICHE HA UN MODELLO AR(1) ? è stazionario? è invertibile?

5 STAZIONARIETÀ La condizione di stazionarietà è soddisfatta solo quando | 1 | < 1 (non lo dimostriamo). Analogamente al caso delle condizioni di invertibilità dellMA(1), anche qui conviene esprimere la condizione di stazionarietà con la radice del polinomio caratteristico: |B| > 1. INVERTIBILITÀ Il modello AR(1) è invertibile per definizione.

6 MOMENTI DI UN AR(1) (ricavati sotto lipotesi di stazionarietà) MEDIA = E(Z t )= E(c+ 1 Z t-1 + a t ) = E(c) + 1 E(Z t-1 ) + E(a t ) = c + 1 E(Z t ) + 0 E(Z t )= c + 1 E(Z t ) E(Z t ) - 1 E(Z t ) = c (1- 1 ) E(Z t ) = c E(Z t ) = c/(1- 1 ) N.B.: E(Z t-1 )= E(Z t )= per la stazionarietà

7 VARIANZA Var(Z t ) = E(Z t - ) 2 Dato che = c/(1- 1 ) c= (1- 1 ) si ha Z t = c+ 1 Z t-1 + a t Z t = (1- 1 ) + 1 Z t-1 + a t da cui: Z t - = 1 (Z t-1 - ) + a t (Z t - ) 2 = 2 1 (Z t-1 - ) 2 + a 2 t (Z t-1 - )a t Di conseguenza: E (Z t - ) 2 = 2 1 E(Z t-1 - ) 2 + E(a 2 t )+ 2 1 E[(Z t-1 - ) a t ] ( ) E (Z t - ) 2 = 2 a + 0 var(Z t ) = 0 = 2 a / ( ) N.B.: E(Z t - ) 2 = E(Z t-1 - ) 2 = var(Z t ) per la stazionarietà

8 AUTOCOVARIANZA 1 = E(Z t - ) (Z t-1 - ) Per quanto visto prima Z t - = 1 (Z t-1 - ) + a t Di conseguenza, per k 0: 1 = E [ 1 (Z t-1 - ) + a t ] (Z t-1 - ) = = 1 E[(Z t-1 - ) (Z t-1 - )] + E[ (Z t-1 - ) a t ] = 1 E(Z t-1 - ) = = 1 2 / ( )

9 In generale: k = E(Z t - ) (Z t-k - ) = E [ 1 (Z t-1 - ) + a t ](Z t-k - ) = = E [ 1 (Z t-1 - )(Z t-k - )]+ E [a t (Z t-k - )] + = 1 E[(Z t-1 - )(Z t-k - )]+ 0 = 1 k-1 k = 1 k-1 = 1 ( 1 k-2 ) = … = 1 k 0

10 AUTOCORRELAZIONE ρ 1 = 1 / 0 = 1 0 / 0 = 1 ρ k = k / 0 = ( 1 k-1 )/ 0 = 1 ρ k-1 = 1 ( 1 ρ k-2 )=…= 1 k Dato che | 1 |<1 (per la stazionarietà) la funzione di autocorrelazione non si annulla mai, ma decade esponenzialmente a 0. Landamento del correlogramma di un AR(1) può presentare soltanto due tipi di andamento, a seconda del segno di 1. La f. di a.c. parziale si tronca per k >1.

11 0< 1 <1 -1 < 1 <0

12 Memoria di un AR(1) Al tempo t linnovazione a t entra nel modello: Z t = 1 Z t-1 + a t In t+1 si ha: Z t+1 = 1 Z t +a t+1 Z t+1 = 1 ( 1 Z t-1 + a t )+a t+1 = 1 2 Z t a t +a t+1 a t agisce anche su Z t+1 (con peso 1 ) In t+2 si ha: Z t+2 = 1 Z t+1 +a t+2 Z t+2 = 1 ( 1 2 Z t a t +a t+1 )+a t+2 = 1 3 Z t a t + 1 a t+1 +a t+2 a t influisce su Z t+2 (con peso 1 2 ) e anche su Z t+3, Z t+4, ecc. La memoria del modello AR(1) non si esaurisce mai, ma segue la struttura dellacf.

13 MODELLO AR(p) ( B - … - p B p ) Z t =a t a t WN(0, 2 a ) -Sempre invertibile -Stazionario se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= B - … - p B p sono in modulo maggiori di 1: |B i |>1 i=1, 2, …, p -La f.a.c. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 -La f.a.c. si tronca per k>p -Se le condizioni di stazionarietà sono soddisfatte AR(p) MA( )

14 MODELLO ARMA(p,q) (B) (B)/ (B) (B) = B - 2 B 2 - … q B q (B) = B - 2 B 2 - … p B p (p,q) = ordine del modello. Z t = [ (B)/ (B)] a t (B) Z t = (B) a t Z t - 1 Z t-1 - … p Z t-p = a t - 1 a t-1 - … q a t-q

15 MODELLO ARMA(p,q) -Invertibile se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= B - … - q B q sono in modulo maggiori di 1: |B i |>1 i=1, 2, …, q -Stazionario se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= B - … - p B p sono in modulo maggiori di 1: |B i |>1 i=1, 2, …, p -La f.a.c. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 -Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte ARMA(p,q) AR( ) -Se le condizioni di stazionarietà sono soddisfatte ARMA(p,q) MA( )

16 Allaumentare dellordine i possibili andamenti dei correlogrammi diventano numerosi. Per avere unidea delle varie tipologie di correlogrammi totali e parziali nei casi più semplici di modelli MA, AR e ARMA si consultino le prime pagine della dispensa dal titolo «Correlogrammi teorici di particolari modelli ARMA e ARIMA» disponibile alla pagina web SE1.htm

17 DUALITÀ MA/AR le condizioni di stazionarietà di un MA sono equivalenti a quelle di invertibilità di un AR le condizioni di invertibilità di un MA sono equivalenti a quelle di stazionarietà di un AR I coefficienti di acorr di un MA(r) si comportano come i coefficienti di accor parziale di un AR(r) I coefficienti di acorr parziale di un MA(r) si comportano come i coefficienti di accor di un AR(r) Un AR(p) stazionario può essere espresso come un MA( ) Un MA(q) invertibile può essere espresso come un AR( )


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