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1 LE EQUAZIONI LINEARI Lezione multimediale a cura della prof.ssa Maria Sinagra.

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2 1 LE EQUAZIONI LINEARI Lezione multimediale a cura della prof.ssa Maria Sinagra

3 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 2 LE IDENTITA Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze?

4 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 3 Uguaglianza (1) È sempre vera qualunque siano i valori attribuiti alle lettere a e b Proviamo ad attribuire alcuni valori: ab …20…

5 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 4 Lo stesso vale per le uguaglianze (2) 2a = a + a (3) Prova a verificarlo! IDENTITA Si dice identità unuguaglianza tra due espressioni letterali verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere in esse contenute. A queste particolari uguaglianze diamo il nome di identità

6 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 5 LE EQUAZIONI Che cosè unequazione? Non tutte le uguaglianze sono identità. Consideriamo luguaglianza 2x + 1 = x + 3 esiste un solo valore che attribuito a x rende vera luguaglianza è x= 2 infatti 2 *2 + 1 = = 5 5 = 5 Questa uguaglianza viene detta equazione.

7 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 6 EQUAZIONE Unequazione è unuguaglianza tra due espressioni letterali, verificata per particolari valori attribuiti alle lettere che in essa compaiono. 2x + 1 = x + 3 I membro II membro incognita 2y + 5 = y – 1 è unequazione nellincognita y x+ 2y = 1 è unequazione in due incognite, x e y soluzione dellequazione x x = 2

8 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 7 LE SOLUZIONI DI UNEQUAZIONE SOLUZIONE Si dice soluzione di unequazione, ogni numero che sostituito al posto dellincognita, rende il I membro uguale al II membro, cioè verifica luguaglianza. Esempio 1: l equazione 3a – 1 = 8 ha come soluzione a = 3 Infatti 3*3 – 1 = 8 9 – 1 = 8 8 = 8 Esempio 2: l equazione ha due soluzioni: x = -3 e x = 3 Infatti Risolvere unequazione significa determinare le sue soluzioni

9 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 8 Non sempre unequazione ammette soluzioni. Esempio : non esiste nessun numero reale che verifica luguaglianza. Lequazione si dice impossibile in R. Risolvi, in R le seguenti equazioni: x– 5 = 3 ;

10 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 9 CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI Le equazioni possono essere classificate: 1) In base alla posizione dellincognita Lequazione è intera quando lincognita figura solo al numeratore Lequazione è fratta quando lincognita figura al denominatore di almeno uno dei due membri ESEMPI intera fratta

11 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 10 2) In base alla presenza o meno di altre lettere oltre lincognita: lequazione è numerica quando oltre lincognita non figurano altre lettere lequazione è letterale quando oltre lincognita figurano anche altre lettere ESEMPI numerica letterale

12 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 11 2) In base alle soluzioni che ammette: lequazione è determinata se ammette un numero finito di soluzioni lequazione è indeterminata se ammette infinite soluzioni lequazione è impossibile se non ammette alcuna soluzione ESEMPI determinata, perché ammette come unica soluzione x=2 indeterminata, perché tutti i numeri reali, tranne lo 0, rendono vera luguaglianza impossibile, perché non ammette alcuna soluzione

13 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 12 EQUAZIONI EQUIVALENTI Date le equazioni: e hanno entrambe la stessa soluzione, cioè x=3 Equazioni equivalenti Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni

14 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 13 Dire se le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti:

15 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 14 PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di unequazione uno stesso numero o una stessa espressione letterale che si possa calcolare per ogni valore delle lettere che vi compaiono, si ottiene unequazione equivalente a quella data. Esempio 2x = 8 ha come soluzione x = 4 Addizionando ad entrambi i membri il numero 2 2x + 2 = ha come soluzione x = 4 Le due equazioni sono equivalenti

16 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 15 Applicazioni del I principio Dal I principio derivano due regole utili nella risoluzione delle equazioni Esempio 1 2x + 1 = 3x sottraiamo ad entrambi i membri 1 2x + 1 –1 = 3x – 1 ma +1 – 1=0 quindi 2x = 3x – 1 otteniamo unequazione equivalente a quella iniziale Notiamo che il termine +1 che figurava al I membro è ricomparso al II membro con il segno cambiato Regola del trasporto Se in una data equazione si trasporta un termine da un membro allaltro, purché lo si cambi di segno, si ottiene unequazione equivalente a quella data.

17 Realizzazione prof.ssa Maria Sinagra 16 PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di unequazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione letterale ( che si possa calcolare per ogni valore delle lettere che vi compaiono e che non si annulli mai), si ottiene unequazione equivalente a quella data. Esempio ha come soluzione x = 10 Moltiplicando entrambi i membri per il numero 5 2x = 20 ha come soluzione x = 10 Le due equazioni sono equivalenti


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