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Ricevimento: lunedì 11-12 c/o il laboratorio di Psicometria – I° Piano ex-Farmacia Esercitazioni sulla Probabilità

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Presentazione sul tema: "Ricevimento: lunedì 11-12 c/o il laboratorio di Psicometria – I° Piano ex-Farmacia Esercitazioni sulla Probabilità"— Transcript della presentazione:

1 Ricevimento: lunedì c/o il laboratorio di Psicometria – I° Piano ex-Farmacia Esercitazioni sulla Probabilità

2 Esercizio 1 Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta. Calcolare la probabilità di ottenere: Un asso Una carta di bastoni Una figura Evento indipendente con ununica estrazione

3 Svolgimento esercizio 1 PROBABILITA DI OTTENERE UN ASSO Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili? 4 40

4 Svolgimento esercizio 1 PROBABILITA DI OTTENERE UNA CARTA DI BASTONI Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili? 10 40

5 Svolgimento esercizio 1 PROBABILITA DI OTTENERE UNA FIGURA Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili? 12 40

6 Esercizio 2 Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta. Calcolare la probabilità di ottenere: Un fante o un re Una figura o una carta inferiore a sei Di non ottenere una figura Evento mutualmente escludentisi

7 Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA DI OTTENERE UN FANTE O UN RE Quale principio applichiamo? Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili? Qual è la probabilità dellevento A? Qual è la probabilità dellevento B? P(A) 40 Principio della somma P di ottenere un fante P di ottenere un re P(B)

8 Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA DI OTTENERE UN FANTE O UN RE Principio della somma

9 Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA DI OTTENERE UNA FIGURA O UNA CARTA INFERIORE A SEI Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili? Qual è la probabilità dellevento A? Qual è la probabilità dellevento B? 40 Principio della somma P di ottenere una figura P di ottenere una carta inferiore a sei P(B) P(A)

10 Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA DI OTTENERE UNA FIGURA O UNA CARTA INFERIORE A SEI Principio della somma

11 Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA DI NON OTTENERE UNA FIGURA Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili? Qual è la probabilità dellevento nonA? 40 P di NON ottenere una figura P(nonA)

12 Esercizio 3 Dato un mazzo di 40 carte calcolare la probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla seconda Un re ed un asso Eventi indipendenti in quanto con la reimmissione si lascia inalterata la probabilità dellevento successivo

13 Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla seconda - Quali sono gli eventi? P di ottenere una carta di coppe P di ottenere un re P(B) P(A) Principio del prodotto

14 Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla seconda Principio del prodotto

15 Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione un re e un asso Quali sono gli eventi? Non viene specificato lordine dellestrazione => gli eventi possono verificarsi in qualsiasi ordine Permutazioni P di ottenere un asso P di ottenere un re P(B) P(A) Prima A e poi B Prima B e poi A

16 Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione un re e un asso Permutazioni Prima A e poi B Prima B e poi A Principio del prodotto

17 Esercizio 4 Dato un mazzo di 40 carte calcolare la probabilità di ottenere in 3 estrazioni senza reimmissione: Un 4, un 3 ed un 5 nellordine indicato Due fanti ed un cavallo nellordine indicato Esattamente due re

18 PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE UN 4, UN 3 ED UN 5 NELL ORDINE INDICATO Q UALI SONO GLI EVENTI ? Estrarre un 4Estrarre un 5Estrarre un 3 P(B)P(A)P(C)

19 PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE DUE FANTI ED UN CAVALLO NELL ORDINE INDICATO Q UALI SONO GLI EVENTI ? Estrarre un fante Estrarre un cavallo Estrarre un fante P(B)P(A)P(C)

20 PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE ESATTAMENTE DUE RE Q UALI SONO GLI EVENTI ? Estrarre un re P(B)P(A) Estrarre una qualsiasi carta P(C) Non viene specificato lordine dellestrazione => gli eventi possono così verificarsi verificarsi Prima A, poi B e poi C Prima B, poi C e poi A Prima C, poi A e poi B

21 Prima A, poi B e poi C Estrarre un re P(B)P(A) Estrarre una qualsiasi carta P(C) Principio del prodotto

22 Prima B, poi C e poi A Estrarre un re P(B)P(A) Estrarre una qualsiasi carta P(C) Principio del prodotto

23 Estrarre un re P(B)P(A) Estrarre una qualsiasi carta P(C) Principio del prodotto Prima C, poi A e poi B

24 PROBABILITÀ DI OTTENERE IN 3 ESTRAZIONI SENZA REIMMISSIONE ESATTAMENTE DUE RE Prima A, poi B e poi C Prima B, poi C e poi A Prima C, poi A e poi B

25 Esercizio 5 In una scuola del nord ci sono 200 bambini, 40 dei quali sono figli di immigrati. Di questi, 10 hanno problemi di apprendimento, mentre la percentuale di bambini che ha problemi di apprendimento in tutta la scuola è del 25%. Sia A levento BAMBINO FIGLIO IMMIGRATO Sia B levento BAMBINO CON PROBLEMI DI APPRENDIMENTO Verificare se P(A) = P(A|B) Verificare se P(B) = P(B|A)

26 Mettiamo i dati in tabella Figli di immigrati SINOTOTALE Con problemi di apprendimento Senza problemi di apprendimento P(A) = 40/200 = 0,2P(A|B) = 10/50 = 0,2 P(B) = 50/200 = 0,25P(B|A) = 10/40 = 0,25

27 Esercizio 6 Un esame è costituito da 12 domande cui bisogna rispondere SI o NO. Ammettendo che uno studente non preparato risponda a caso, indicare qual è la probabilità che: 1) Risponda correttamente soltanto a 4 domande 2) Risponda correttamente solo alle prime 3 domande 3) Sbagli tutte le domande. Se per superare lesame sono sufficienti 10 risposte corrette, qual è la probabilità che uno studente non preparato superi lesame?

28 N = 12 P = prob. di dare una risposta corretta = ½ = 0,5 Q = prob. di dare una risposta errata = ½ = 0,5 Evento x = rispondere correttamente solo a 4 domande

29 N = 12 P = prob. di dare una risposta corretta = ½ = 0,5 Q = prob. di dare una risposta errata = ½ = 0,5 Evento x = rispondere correttamente solo alle prime 3 domande Visto che la sequenza è fissata (le prime 3 domande) non serve calcolare tutti i possibili ordini

30 N = 12 P = prob. di dare una risposta corretta = ½ = 0,5 Q = prob. di dare una risposta errata = ½ = 0,5 Evento x = sbagliare tutte le domande

31 Se per superare lesame sono sufficienti 10 risposte corrette, qual è la probabilità che uno studente non preparato superi lesame? Calcolare la probabilità che lo studente superi 10 e 11 e 12 domande P(x=11)P(x=10)P(x=12)

32 P(x=10) P(x=11) P(x=12)

33 Esercizio 7 La distribuzione dei voti di statistica degli studenti di ununiversità è normale con media = 24 e deviazione standard = 2. calcolare: La probabilità di estrarre a caso un voto compreso tra la media e x=27; La probabilità di estrarre a caso uno studente con voto uguale o superiore a 28; La percentuale di studenti il cui voto sia compreso tra 18 e 23,5; Il rango percentile del voto 20.

34 La probabilità di estrarre a caso un voto compreso tra la media e x=27 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x=27 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa

35

36 La probabilità di estrarre a caso uno studente con voto uguale o superiore a 28 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x=28 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa

37 Per conoscere la percentuale: 0,5 – 0,4772 = 0,0228

38 La percentuale di studenti il cui voto sia compreso tra 18 e 23,5 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x 1 =18 e x 2 =23,5 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa

39 Area compresa tra la media e z 1 = 0,4987 Area compresa tra la media e z 2 = 0,0987 Area compresa z 1 e z 2 = 0,4987-0,0987=

40 Il rango percentile del voto 20 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x=20 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa

41 Per conoscere la percentuale: 0,5 – 0,4772 = 0,0228 Rango percentile = 2,28

42 Esercizio 8 Data una distribuzione normale con media = 98 e deviazione standard =7 calcolare: La probabilità di estrarre a caso un punteggio X ugiale o inferiore a 90 La percentuale di punteggi superiori a 88; La probabilità di estrarre a caso un punteggio X compreso tra 96 e 100; Il punteggio X corrispondente al 64° percentile La probabilità di estrarre punteggi minori di 84 o maggiori di 110

43 La probabilità di estrarre a caso un punteggio X uguale o inferiore a 90 μ = 98 σ = 7 Standardizziamo il voto x=20 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa

44 0,500 – 0,3729 = 0,1271

45 La percentuale di punteggi superiori a 88 μ = 98 σ = 7 Standardizziamo il voto x=20 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa

46 0, ,4236 = 0,9236

47 La probabilità di estrarre a caso un punteggio X compreso tra 96 e 100 μ = 98 σ = 7 Standardizziamo il voto x 1 =18 e x 2 =23,5 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa

48 0, ,1141 = 0,2282

49 Il punteggio X corrispondente al 64° percentile È necessario individuare larea della curva formata dalla metà sinistra della curva e dellarea compresa tra lo 0 e lo z incognito. Larea tra lo 0 e lo z incognito è pari a: 0,64 – 0,50 = 0,14

50 Questarea è relativa a z=0,36

51 Il punteggio X corrispondente al 64° percentile È necessario individuare larea della curva formata dalla metà sinistra della curva e dellarea compresa tra lo 0 e lo z incognito. Z incognito = 0,36 μ = 98 σ = 7

52 La probabilità di ottenere punteggi minori di 84 o maggiori di 110 Standardizziamo il voto x 1 =84 e x 2 =110 Andiamo a consultare la tavola per individuare larea compresa μ = 98 σ = 7

53 Area compresa tra 0 e z 1 = 0,4772 Area compresa tra 0 e z 2 = 0,4554

54 Area compresa tra 0 e z 1 = 0,4772 Area compresa tra 0 e z 2 = 0,4554 P di ottenere un z minore o uguale a z 1 = 0,500 – 0,4772 = 0,0228 P di ottenere un z maggiore o uguale a z 2 = 0, ,4554=0,0446

55 La probabilità di ottenere punteggi minori di 84 o maggiori di 110 P(z 1 ) + P (z 2 ) = 0, ,0446 = 0,0674 μ = 98 σ = 7 P(z 1 ) =0,0228 P (z 2 ) =0,0446


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