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Schemi di moltiplicazione … e qualche trucchetto per le tabelline A cura di Maria Giovanna Melis.

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1 Schemi di moltiplicazione … e qualche trucchetto per le tabelline A cura di Maria Giovanna Melis

2 Indice Schemi Schemi …con le ditale dita a gelosia a castelluccio Egizi del contadino russocontadino per scapezzo a crocetta NeperoNepero : Moltiplicazione ad una cifra Moltiplicazione a più cifre medioevale All indietro

3 Moltiplicazione con le dita dita Un vecchio sistema usato per le tabelline con numeri maggiori di 5 5 6 7 8 9 10 indice

4 Per moltiplicare 8 x 7 si procedeva in questo modo: 1- Si indicava con una mano l8 e con laltra il 7 2- Si sommavano le dita alzate che indicavano le decine: 3 da + 2 da = 5 da 3- Si moltiplicavano tra loro le dita chiuse: 2 x 3 = 6 4- Si sommavano i risultati: 50 + 6 = 56

5 Gli > di Nepero Nepero Cos ì scrive Nepero stesso: Eseguire dei calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva e la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica. Ho cercato sempre - usando tutti i mezzi che avevo a disposizione e con le forze che il mio intelletto mi ha dato - di rendere pi ù agevole e spedito questo processo. È con questo scopo ben fisso nella mente che ho elaborato il metodo dei logaritmi, a cui ho dedicato molti anni di studio... Nello stesso tempo, a beneficio di chi volesse far uso solo dei numeri naturali, ho predisposto altri tre brevi metodi di semplificazione dei calcoli. Il primo dei quali e stato battezzato Rabdologia e si basa sull'uso di alcune asticelle su cui sono scritti i numeri... Rabdologia, p. 1 http://www.sibiwin.it/matematica/mouseCALC2.htm indice

6 Luso dei regoli rinascimentali di Nepero sono dovuti a Lord John Napier barone di Murchiston (1550-1617), ricco proprietario terriero scozzese che si interessava di argomenti di varia natura. Per la matematica si applicò a questioni di calcolo e di trigonometria e fu linventore dei logaritmi. Nella sua Rhabdologia del 1617 presentò alcuni ingegnosi artefici per eseguire le moltiplicazioni e le estrazioni di radici quadrate (e cubiche) attraverso una tavola numerica formata da bastoncini mobili.regoli Queste strisce risultavano intestate ciascuna ad una cifra della numerazione decimale, da 1 a 9. Queste informazioni le ho tratte dal libro di Barbanera e De Luca, Progetto Pitagora, classe quinta, Giunti Lisciani Editori, 1993 torna

7 0 1 2 3 0 0 7 6 0 4 0 0 5 0 8 0 9 0 1 0 6 2 8 1 2 2 6 3 4 3 4 0 4 8 5 4 1 6 0 3 6 9 0 1 1 8 1 2 1 2 5 2 4 2 7 0 3 0 5 0 5 1 2 5 0 2 0 3 3 5 4 0 4 5 1 5 0 8 6 4 2 3 6 8 4 2 4 5 0 6 4 7 2 1 8 0 9 8 7 2 3 3 4 4 6 5 6 5 7 2 8 1 1 9 i bastoncini i bastoncini Index fisso 0 2 4 6 0 0 4 2 1 8 1 1 0 1 6 1 8 0 2 0 4 8 2 1 1 8 4 2 6 2 2 0 3 2 3 6 0 4 0 7 4 1 2 2 9 2 3 8 4 4 5 5 6 6 3 1 7 0 1 2 3 5 7 6 4 8 9 indice

8 Moltiplicazione ad una cifra : Es. 385 x 8 si avvicinano allindice fisso del moltiplicatore i regoli 3, 8, 5 Facendo scorrere il visore sulla riga 8, appariranno nelle finestrelle i numeri: 2 4+ 6 4 + 4 0 Sommiamo cominciando da destra La cifra delle unità è 0 (si guarda lunità del regolo 5) La seconda cifra, quella delle decine, è 8 (4+4) La terza cifra, quella delle centinaia, è 0 (4+6) col riporto di 1 La quarta cifra, delle unità di migliaia, è 3 (2+1 di riporto) Il prodotto è 3.080 0 3 6 9 0 1 1 8 1 2 1 2 5 2 4 2 7 0 3 0 5 0 5 1 2 5 0 2 0 3 3 5 4 0 4 5 1 5 0 8 6 4 2 3 6 8 4 2 4 5 0 6 4 7 2 1 8 0 1 2 3 5 7 6 4 8 9 indice

9 Moltiplicazione a pi ù cifre Moltiplicazione a pi ù cifre : Es. 742 x 463 0 2 4 6 0 0 4 2 1 8 1 1 0 1 6 1 8 0 2 0 4 8 2 1 1 8 4 2 6 2 2 0 3 2 3 6 0 4 0 7 4 1 2 2 9 2 3 8 4 4 5 5 6 6 3 1 7 0 1 2 3 5 7 6 4 8 9 1- Si inseriscono i bastoncini contrassegnati con i numeri 7, 4 e 2, vicino allIndex fisso del moltiplicatore 2- Facciamo scorrere prima il visore sulla riga quattro: appariranno nelle finestrelle i numeri: 2 8+1 6+0 8 Sommando come nellesempio precedente, si ottiene 2.968 3- Facciamo ora scorrere il visore sulla riga 6; appariranno nelle finestrelle: 4 2+2 4+1 2. Sommando, si ottiene 4.452 4- Infine, poniamo il visore sulla linea 3; appariranno: 2 1+1 2+0 6. Sommando si ottiene 2.226 5- Sommiamo i risultati ottenuti, aggiungendo uno zero al secondo numero, due zeri al terzo, e così via: 2.968 + 44.520 + 222.600= 270.088 indice

10 Schema a reticolo, >, > reticolo 324 x 43 3 2 4 4 3 3 2 4 4 3 Si scrive il moltiplicando e il moltiplicatore ai lati di un rettangolo o di un quadrato (quando i due fattori hanno un numero uguale di cifre) indice

11 Lo schema a reticolo era in uso nei paesi arabi; per questo veniva chiamato >.reticolo In Italia era conosciuto come > (gelosia, in questo caso, è sinonimo di persiane che, messe alla finestra, proteggevano da sguardi indiscreti)

12 3 2 4 4 3 1 6 0 8 1 2 3 2 4 4 3 1 6 0 8 1 2 2. Ricordando che 324 x 43= 324 x (40 +3), si applica la propriet à distributiva, si comincia a moltiplicare 324 x 4 decine e si scrivono i risultati come indicato negli schemi

13 3 2 4 4 3 1 6 0 8 1 2 1 2 6 0 0 9 3 2 4 4 3 1 6 0 8 1 2 2 1 6 0 0 9 3. Si moltiplica 324 x 3 e si scrivono i risultati, come indicato negli schemi

14 4. Si addiziona in diagonale a cominciare dalle unit à (2), tenendo conto di eventuali riporti 3 2 4 4 3 1 6 0 8 1 2 1 2 6 0 0 9 2 3 9 3 1 324 x 43= 13 932 3 2 4 4 3 1 6 0 8 1 2 2 1 6 0 0 9 2 3 9 3 1 (6+6+1) (9+8+1) + 1 di riporto (2+1 di riporto) indice A schema gelosia

15 Schema > 742 x 463 1- Si moltiplicava 7 x 463. 7 x 3=21. Si scriveva 1 sotto il 3 e si riportava 2. A destra dell1 si scrivevano due zeri in quanto si era moltiplicato per 7 centinaia. 742 X 463 _______ 100 2- Si moltiplicava 7 x 6= 42 più 2 di riporto=44. Si scriveva 4 e si riportava 4. Si moltiplicava 7 x 4= 28 più 4 di riporto: 32 742 X 463 _______ 324100 3- Si moltiplicavano le 4 decine per 463, mettendo uno zero per indicare che moltiplicavano le 4 decine. 742 X 463 _______ 324100 18520 4- Si moltiplicava 2 x 463 e si addizionavano i prodotti parziali 742 X 463 ________ 324100 18520 926 _________ 343.546 indice

16 Schema > La stessa moltiplicazione - 742 x 463 - eseguita con questo schema, simile al castelluccio. In questo caso, però, si cominciava a moltiplicare: 1- 742 x 400= 296.800 2- 742 x 60= 44.520 3- 742 x 3= 2.226 742 x 463 ___________ 296800 44520 2226 ____________ 343 546 indice

17 Gli Egizi e la moltiplicazione Per eseguire la moltiplicazione, gli antichi Egizi non avevano bisogno delle tabelline. A loro bastava saper moltiplicare e dividere per 2 e saper sommare. Si conoscono due modi: Primo modo Secondo modo indice

18 papiro di Rhind Questo modo di eseguire la moltiplicazione è di origine antichissima e viene descritto nel papiro di Rhind Per moltiplicare 25 x 11 si scrivevano i due numeri in colonna Si calcolava la metà di 25 (1/2 di 25=12 r.1). Non si teneva conto del resto e si scriveva 12 Si calcolava la metà di 12 e si scriveva Si calcolava il doppio di 11e si scriveva. Si calcolava il doppio di 22 e si scriveva Si calcolava la metà di 6 e si scriveva Si calcolava il doppio di 44 e si scriveva Si calcolava la metà di 3 e,non tenendo conto del resto, si scriveva 1. Si calcolava il doppio di 88 e si scriveva 25 11 1222 6 44 3 88 1 176

19 25 11 1222 6 44 3 88 1 176 Dopo che si raggiungeva l1 (nella colonna dove si era diviso il numero di partenza a metà), si cancellavano le righe in cui la metà trovata era un numero pari. Si sommavano, infine, i raddoppi rimasti: 11 + 88 + 176 = 275 275 Torna

20 Per eseguire questa moltiplicazione 26 x 17 gli Egizi si comportavano in questo modo: Partendo da 26, si eseguivano i successivi raddoppiamenti Partendo da 1, si raddoppiava fino a trovare il 17. Si fermavano a 16 perché, fra i numeri scritti, ci sono 16 e 1 che, sommati tra loro, danno 17 26 1 522 104 4 208 8 16416 X 2 442 Si sommavano, infine,i numeri che nella colonna dei raddoppiamenti corrispondevano a 16 e a 1, cioè: 416 + 26 = 442

21 Moltiplicazione del > Cos ì denominato per il fatto che fino a poco tempo fa era ancora in uso presso i contadini russi. Questo metodo è simile a quello egiziano. 1- Si formano due colonne di numeri: nella prima colonna, ogni numero successivo al primo è il doppio del precedente; nella seconda colonna la met à (approssimata all unit à inferiore) del precedente. 2- Si prosegue in tal modo fino a che nella seconda colonna si ottiene 1. 5 2 4032 126 42 252 21 504 10 1008 2016 1 3- Si evidenziano i numeri dispari presenti nella seconda colonna e si addizionano i numeri che a essi corrispondono nella prima colonna. La somma è il prodotto richiesto. 4032 126 42 252 21 504 10 1008 5 2016 2 1 126 x 42= 252 + 1 008 + 4 032= 5 292 126 x 42 indice

22 Procedimento per > o per spezzato Si scompongono entrambi i fattori nella somma di due o pi ù addendi, a piacere. Es. 56 x 34 56= 30+20+6 34= 20+10+4 Il prodotto si ottiene applicando alla moltiplicazione (30+20+6) x (20+10+4) la proprietà distributiva rispetto alladdizione. Usare uno schema facilita: 30 20 6 10 4 600 400 300 200 120 80 24 60 120 56x34= 600+400+120+300+200+60+120+80+24= 1 904 indice

23 Lo schema > esposto da Fibonacci nel Liber abaci, e noto agli indiani come moltiplicazione fulminea, permette di risolvere la moltiplicazione senza eseguire i prodotti parziali. Es: 153 x 42 153 x 42= (100+50+3) x (40+2) 1- 40 x 100= 4.000 2- 4.000+ (40 x 50)= 6.000 3- 6.000+ (40 x 3)= 6.120 4- 6.120+ (2 x 100)= 6.320 5- 6.320+ (2 x 50)= 6.420 6- 6.420+ (2 x 3)= 6.426 100+50+3 40+2 indice

24 Lo schema Medioevale, Medioevale progenitore di quello attuale 9 3 4 4 1 3 6 3 7 3 4 3 9 2 0 8 2 2 9 3 2 7 6 larte de labbacho Questo schema è stato tratto da larte de labbacho, di autore ignoto, opera stampata a Treviso nel 1478. Op. cit. Barbanera, De Luca.


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