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Passo... battito cardiaco... traffico... condurre una vita... forma... gara... 1.

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Presentazione sul tema: "Passo... battito cardiaco... traffico... condurre una vita... forma... gara... 1."— Transcript della presentazione:

1 passo... battito cardiaco... traffico... condurre una vita... forma... gara... 1

2 uali di queste sensazioni ti ispira il termine ? Bello Ripetitivo Superficiale Piacevole Monotono Negativo Squadrato Positivo 2

3 Quotidianamente usiamo termini di cui non abbiamo MAI letto la ma sappiamo cosa significano ( o no? ) 3

4 Sai dare una definizione precisa dei seguenti TERMINI: brutto bello malvagio buono saggio 4

5 5 Nelle due diapositive seguenti

6 ? *?* ? * ? *? ! * B A C 6

7 E D F 7

8 veniamo alla Secondo te, quali figure tra quelle che seguono sono poligoni regolari? 8

9 9

10 10

11 Nella vita quotidiana usiamo tranquillamente, senza conoscerne la, molti termini! In matematica, purtroppo ( o per fortuna?) non è così! E difficile che si riesca a dimostrare che un poligono è regolare se non si conosce la definizione di poligono regolare! 11

12 Sei sicuro di ricordare la definizione corretta di poligono regolare ? Si No 12

13 DEFINIZIONE di un poligono piano con i lati e gli angoli uguali, ovvero sia equilatero sia equiangolo. ECCOLA!ECCOLA! 13

14 uguali Cosa significa che due lati sono uguali ? che se sovrapposti gli estremi coincidono che hanno la stessa lunghezza che sono paralleli che hanno gli stessi estremi uguali Cosa significa che due angoli sono uguali ? che sono simili che sono complementari che sono esattamente sovrapponibili che hanno la stessa ampiezza A B C D E F G H 14

15 ccidenti, sempre problemi di ! Comunque aver risposto che due lati (segmenti) o due angoli sono uguali se sono sovrapponibili è stata sicuramente unottima risposta Ma non lunica! 15

16 Tornando ai poligoni regolari: n n n esistono poligoni regolari di n lati, qualunque sia il numero naturale n, purché n sia 3. Infatti per ottenere n un poligono regolare con n lati è sufficiente suddividere una circonferenza in n archi uguali, e poi collegare gli estremi. 16

17 Ma come è possibile suddividere una circonferenza n in n parti uguali? 17

18 Con la riga e con il compasso? 1) Segna con una croce i poligoni regolari che ti ricordi di avere disegnato con riga e compasso durante la tua lunga carriera scolastica: quadrato 4 lati ettagono 7 lati esagono 6 lati ottagono 8 lati 2) Si possono costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari … o no? 18 A B C D

19 a P P Proposito: Secondo te * in una circonferenza * si possono inscrivere * solo poligoni regolari? NOSI 19

20 ?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?! Gli antichi Greci sapevano che una circonferenza può essere divisa con riga e compasso in 3, 5,15 archi uguali o in n archi uguali dove n è una potenza del 2 moltiplicata per 3, 5,15 come per esempio, 4=2 2 6=2 3 8=2 3 12= = = ?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!? 20

21 21

22 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!! Dopo poco più di 1500 anni GAUSS ( ) offre la risoluzione completa al problema. 22

23 Una circonferenza può essere divisa con riga e compasso: in 3, 5, 15, 257 … 4, 6, 8, … parti uguali MA NON in 7, 11, 13, 14, 19, parti uguali 23

24 Da dove arrivano tutti questi numeri? … Facciamo qualche conto: = = = = Fanne qualcuno tu! A: = ? B: = ? 24

25 La regola di Gauss Affinché un poligono regolare di n lati sia costruibile con riga e compasso occorre che n sia: o un numero primo della forma 2 2 h +1 (primi di Fermat)dove h è un numero naturale. Es =3, =5, =17, =257, … Non tutti i numeri del tipo 2 2 h +1 sono primi: … non è primo, è divisibile per 641 ! Non tutti i numeri primi sono del tipo 2 2 h +1: … 11 non va bene, 13 neppure. 25

26 o una potenza di 2 eventualmente moltiplicata per numeri del tipo precedente non ripetuti. Es:4=2 2, 6=2·3, 8=2 3, 10=2·5, 12= 2 2 ·3, attenzione 18=2·3·3 non va bene PERCHÉ ? A : 18 non è primo B : 3 è ripetuto C : non è una potenza del 2 26

27 sappiamo già che se una circonferenza è divisa in n archi uguali (n>2), il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di suddivisione è regolare n=6 MA è anche regolare il poligono i cui lati sono tangenti alla circonferenza in quei punti n=6 27

28 I poligoni nello spazio diventano P OLIEDRI. E i poligoni regolari P OLIEDRI REGOLARI 28

29 SINO Un poliedro è qualcosa di questo tipo: Conoscete, per caso, dei poliedri regolari ? 29

30 alcuni ! Prendi il foglio A ed usa gli occhialini N.B: la lente verde deve essere appoggiata sullocchio destro. 30

31 I poliedri regolari che vedi sono: 31

32 Ma CoS è un P OLIEDRO R EGOLARE ? Sappiamo già che nel piano un poligono regolare è un poligono con i lati e gli angoli uguali. Potremmo allora pensare di formulare una definizione analoga nel seguente modo: un è un poliedro le cui facce sono poligoni regolari tutti uguali i cui angoli solidi sono anchessi tutti uguali. 32

33 Già, ma cosè un ? Lo sai?-No? Non importa, tanto non ci sogniamo di definirlo; già è difficile definire un angolo piano, figurati un angolo solido. 33

34 Un poligono regolare si può sovrapporre a se stesso mediante un movimento rigido (che non deforma la figura) in modo da portare … un vertice qualsiasi su un qualsiasi altro vertice, oppure … un lato qualsiasi su un qualsiasi altro lato 34

35 Sostanzialmente: in un poligono regolare ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato 35

36 Le proprietà 1-2 valgono solo per i poligoni regolari. Nota bene che devono valere entrambe le proprietà perché il poligono sia regolare. …Segna a fianco quali proprietà valgono per le seguenti figure geometriche piane: rettangolo rombo qua drato 36

37 … Dunque un poligono regolare è un poligono che soddisfa le due proprietà precedenti. Un poliedro regolare si può sovrapporre a se stesso, mediante un movimento rigido (che non deforma la figura), in modo tale da portare: 1) un vertice qualsiasi su un qualsiasi altro vertice, o 2) uno spigolo qualsiasi su un qualsiasi altro spigolo, o 3) una faccia qualsiasi su una qualsiasi altra faccia 37

38 Sostanzialmente: in un poliedro regolare ogni vertice è indistinguibile da ogni altro vertice ogni lato è indistinguibile da ogni altro lato ogni faccia è indistinguibile da ogni altra faccia 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 E 44 A B C D

45 .. È possibile definire gli iperpoliedri o polítopi regolari in uno spazio di dimensione qualsiasi!!! Ebbene nello spazio di dimensione 4 esistono 6 tipi di iperpoliedri regolari (tra questi il famoso ipercubo). Ma dalla dimensione 5 in poi esistono solo più 3 tipi! Si tratta dei tre iperpoliedri che corrispondono al tetraedro, al cubo ed allottaedro. In dimensione 4, come abbiamo già detto, esistono altri tre tipi di iperpoliedri che hanno rispettivamente 24, 120, 600 vertici ! 45

46 Lipertetraedro, lipercubo in dimensione 4 hanno rispettivamente 5, 16 vertici e 5, 8 facce tridimensionali. Cerchiamo di capire come sono fatti. 46

47 Per capire meglio, partiamo dal tetraedro e dal cubo di dimensione 3. Ecco le loro proiezioni sul piano: tetraedro cubo le facce sono rispettivamente 4 triangoli equilateri e 6 quadrati. Una delle facce la vedi colorata 47

48 Ecco le proiezioni sul piano dellipertetraedro e dell ipercubo di dimensione 4 48

49 Le facce tridimensionali dellipertetraedro sono 5 tetraedri, quelle dell ipercubo sono 8 cubi. Una delle facce la vedi colorata 49

50 Sai trovare le altre facce?


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