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Si chiama trasformazione geometrica piana una corrispondenza biunivoca che associa punti di un piano a punti dello stesso piano. (endofunzione) Se in una.

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Presentazione sul tema: "Si chiama trasformazione geometrica piana una corrispondenza biunivoca che associa punti di un piano a punti dello stesso piano. (endofunzione) Se in una."— Transcript della presentazione:

1 Si chiama trasformazione geometrica piana una corrispondenza biunivoca che associa punti di un piano a punti dello stesso piano. (endofunzione) Se in una trasformazione limmagine di un punto P coincide con il punto P stesso esso è un punto unito L identità è la trasformazione che associa a ogni punto del piano se stesso.

2 In un isometria f, a una retta corrisponde una retta Lisometria conserva il parallelismo e lincidenza delle rette Lisometria conserva lampiezza dellangolo Una trasformazione geometrica si chiama isometria quando, comunque si scelgano due punti A e B del piano, se A e B sono i loro corrispondenti, il segmento AB risulta congruente al segmento AB. Proprietà

3 Fin dai tempi più antichi luomo ha osservato le caratteristiche della natura provando a comprenderne regole e segreti. Lo studio dellorganizzazione corporea degli animali e delle piante ha addirittura indotto qualche studioso a proporre una classificazione degli organismi in base alla simmetria, anche se oggi si è compreso che pur esistendo una correlazione fra forma, tipo di simmetria, movimento e modalità di vita, la simmetria non costituisce un parametro sufficiente per la classificazione degli organismi!

4 Nel 1872 il matematico Felix Klein ( ), divenuto professore ad Erlangen, descriveva la geometria euclidea del piano come lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate rispetto ad un certo gruppo di trasformazioni.

5 Traslazioni Simmetrie centrali Simmetrie assiali rotazioni

6 Siano A e B due punti del piano e dato un vettore v, siano A e B i rispettivi corrispondenti in Tr: Dimostriamo che i segmenti AB e AB sono congruenti Ipotesi: A= Tr (A); B= Tr (B) Tesi: AB= AB Osserviamo che è AA//BB perche entrambi paralleli a v. Uniamo B con A e consideriamo i triangoli ABA e ABB: essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza, avendo AA= BB, per ipotesi langolo AAB = ABB perche angoli alterni interni delle rette parallele AA e BB tagliate da BA, e hanno BA in comune. Perciò risulta AB=AB c.v.d. A A BBv

7 Si dice simmetria centrale la trasformazione che fa corrispondere a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un punto dato O, detto centro della simmetria Le simmetrie centrali sono isometrie perche sussiste il seguente teorema In una simmetria centrale sO a due punti corrispondono due punti aventi la stessa distanza Ipotesi: A= sO (A); B= sO (B) Tesi: AB = AB Sia sO la simmetria centrale di centro O che fa corrispondere ad A il punto A e a B il punto B. Si ha AO=OA e BO=OB, per definizione di simmetria, e langolo AOB=AOB, perche angoli opposti al vertice. I triangoli AOB e AOB sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza: ne deriva che AB e AB sono congruenti c.v.d. B O A A B

8 La simmetria assiale è la trasformazione che associa a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a una retta fissa,detta asse di simmetria. Dimostriamo che la simmetria assiale è unisometria. Siano A e B due punti del piano e A e B i rispettivi simmetrici rispetto alla retta a dimostriamo che AB=AB cioè la simmetria assiale conserva le distanze Ipotesi: A=sa(A); B=sa(B); Tesi: AB=AB; Supponiamo ora che né A e né B appartengono allasse; detti H e K i punti di intersezione con lasse di simmetria rispettivamente di AA e BB,i triangoli rettangoli AHK e AHK sono congruenti perché hanno due cateti congruenti e hanno quindi langolo AKH=HKA e AK=AK. I triangoli AKB e AKB sono anchessi congruenti per il primo criterio di congruenza avendo BK=KB,AK=AK e langolo AKB=AKB perché complementari di angoli congruenti si deduce così che AB=AB c.v.d. AHA BK a B

9 La rotazione di centro O e angolo α è la trasformazione che associa ad ogni punto A il punto A tale che OA=OA e langolo AOA è uguale a α Dimostriamo che la rotazione è unisometria Ipotesi: A=rO (A); B=rO(B); Tesi: AB= AB; Se A e B non sono allineati con P, possono presentarsi due casi: langolo AOB> α; (fig.1) langolo AOB< α; (fig.2) In entrambi i casi i triangoli AOB e AOB sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli avendo OA=OA, OB=OB e langolo AOB=AOB perché somma di angoli congruenti se è langolo AOB > α, oppure differenza di angoli congruenti se è langolo AOB< α. Perciò sarà AB=AB, il che ci assicura che questa rotazione è un isometria. c.v.d. α α O A BB A (fig.1) B α α A O A B (fig.2)

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11 Simmetria assiale rotazione traslazione Simmetria centrale

12 Con la partecipazione di: Gentile Marcovalerio Patanè Samuel


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