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5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE Indice Generale. CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA Modello generale : equazione differenziale lineare.

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1 5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE Indice Generale

2 CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA Modello generale : equazione differenziale lineare a coeff. costanti q o,q i sono funzioni del tempo SOLUZIONE DI EQ. DIFFERENZIALE

3 Forma simbolica con operatore Funzione di trasferimento sinusoidale

4 Utilizzo della funzione di trasferimento operazionale: definizione di modelli dinamici di sistemi composti se si possono trascurare gli effetti di carico

5 SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFF. COSTANTI q 0g : soluzione dell equazione q 0p : integrale particolare che dipende dalla forma della funzione

6 q 0g ha n costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni iniziali, cioè dai valori di all istante t=0 q 0p non ha nessuna costante arbitraria per la determinazione di q og esiste un metodo generale che consiste nel risolvere l equazione algebrica associata

7 Per ogni radice reale singola s si somma nella soluzione q 0g un termine del tipo ce st Per ogni radice reale s n-pla si somma nella soluzione q 0g un termine del tipo (c 0 +c 1 t+c 2 t 2 + … +c n-1 t n-1 )e st Per ogni radice complessa a+ib singola si somma nella soluzione q 0g un termine del tipo c 1 e at sin(bt+c 2 ) Per ogni radice complessa a+ib, ripetuta n volte, nella soluzione q 0g si aggiunge un termine del tipo

8 La funzione di trasferimento sinusoidale è una funzione complessa che può essere espressa nella forma polare è estremamente importante

9 LA FASE di questa funzione è pari alla differenza di fase tra l uscita (sinusoidale) e l ingresso quando l ingresso è sinusoidale QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA COMPLETAMENTE STRUMENTI DI QUALSIASI ORDINE QUANDO L INGRESSO E DI TIPO SINUSOIDALE IL MODULO M di questa funzione è il rapporto tra le ampiezze dell uscita (sinusoidale) e dell ingresso quando l ingresso è sinusoidale

10 DIMOSTRAZIONE PROPRIETA DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso sinusoidale del tipo è un uscita del tipo cioè con la stessa frequenza dell ingresso, diversi ampiezza e fase.

11 Se rappresentiamo le quantità dinamiche q i e q o con esponenziali complessi per la relazione di Eulero si ha

12 cioè: Sostituendo nell equazione differenziale che descrive il modello dello strumento di misura alle quantità q i e q o le loro rappresentazioni con esponenziali complessi si ha questa eq. complessa sarà soddisfatta se le parti reali dei due termini saranno uguali e lo stesso vale per le parti immaginarie.

13 Dalla eq. precedente si ha inoltre e e quindi

14 STRUMENTO DI ORDINE ZERO Unico parametro che lo caratterizza : k=SENSIBILITA STATICA ESEMPIO: POTENZIOMETRO XiXi e0e0 L EbEb

15 Funzione di traferimento sinusoidale dello strumento di ordine zero M K 0 STRUMENTO PERFETTO

16 STRUMENTO DI ORDINE UNO Sensibilità statica Costante di tempo

17 ESEMPIO : Termometro

18 K=1 poiché abbiamo considerato sia come ingresso che come uscita delle temperature Se consideriamo come q o lo spostamento x o sia K V il coefficiente di espansione volumetrica del liquido del termometro

19 Risposta al gradino dello strumento del primo ordine

20 Integrale generale della integrale particolare soluzione completa condizioni iniziali: quindi

21 = Differenza percentuale per quindi è il tempo necessario perché luscita raggiunga il 63,2% del valore finale

22 Risposta ad una rampa dello strumento del primo ordine

23 Come per il caso precedente lintegrale generale è e lintegrale particolare è La soluzione risulta quindi Con le condizioni iniziali: si ottiene

24 Il grafico di questa risposta è il seguente

25 Risposta in frequenza dello strumento del I ordine

26 Risposta allimpulso dello strumento del I ordine Definizione di impulso Funzione picco p(t)

27 Funzione impulso Per lo strumento del I ordine con ingresso p(t) Come per il gradino, la soluzione è Valida però solo fino al tempo t = T

28 Allistante t = T sarà Per t > T leq. Differenziale da risolvere è Che ha per soluzione La costante iniziale C si determina con la condizione iniziale (I), si ottiene (I)

29 E quindi La risposta allimpulso si ottiene facendo il limite di questa espressione per T 0 e applicando la regola di LHopital per la forma indeterminata 0/0 ( il limite del rapporto tra le derivate) si ottiene

30 Che riportata in un grafico ha landamento seguente Proprietà dellimpulso

31 STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE Dividendo, al solito, per a o e posti Sensibilità statica frequenza naturale non smorzata rapporto di smorzamento

32 Si ottiene la funzione di trasferimento operazionale ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA

33 dove fifi xoxo

34 Risposta in frequenza ( Risposta ad un ingresso sinusoidale) In forma polare si ottiene : Modulo fase


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