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I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.

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Presentazione sul tema: "I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita."— Transcript della presentazione:

1 I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita

2 Caratteristiche dei vettori Teoria Esercizio guidato Esercizi Prof. A. Sala

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4 Un vettore viene rappresentato mediante un segmento orientato come quello disegnato qui sotto coda testa o punta Tale segmento non può essere disegnato a caso ma deve rispettare le quattro caratteristiche del vettore che rappresenta: la coda del vettore viene fatta coincidere con il punto di applicazione; la lunghezza del segmento rappresenta, in scala, il modulo del vettore; linclinazione del segmento rappresenta la direzione; la freccia del segmento rappresenta il verso. A

5 La direzione ed il verso vengono definite contemporaneamente utilizzando un angolo, come nel disegno sottostante: A Questo è il vettore A rappresentato nella precedente diapositiva A Nota bene: – la linea rossa tratteggiata deve essere orizzontale iniziare dalla coda del vettore essere diretta verso destra – langolo è antiorario

6 Esercizio guidato Rappresentare i seguenti vettori: A A= 120 N angolo 90° B B = 120 N angolo 180° C C = 120 N angolo 0° D D = 120 N angolo 270° Fissiamo per prima cosa unopportuna scala di rappresentazione, in funzione delle dimensioni del foglio su cui dobbiamo disegnare i quattro vettori; evitiamo di utilizzare il quadretto come unità di scala poiché risulta difficile misurare in quadretti un segmento inclinato. Utilizzando un foglio di formato A4, quello del vostro quadernone, scegliamo la seguente scala: 20 N 1 cm Con la seguente proporzione ricaviamo la lunghezza del vettore che andiamo a rappresentare: 20 N : 1 cm = 120 N : da cui = = 6 cm

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8 Esercizi Rappresenta i seguenti vettori: AA = 20 Nangolo 30° BB = 40 Nangolo 45° CC = 30 Nangolo 60° EE = 50 Nangolo 120° FF = 65 Nangolo 135° GG = 72 Nangolo 150° HH = 32 Nangolo 210° I I = 36 Nangolo 240° L L = 25 Nangolo 315° M M = 30 Nangolo 330° Alle pagine successive troverai le soluzioni

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11 Operazioni con i vettori Prof.. A. Sala Somma di vettori Scomposizione di un vettore Moltiplicazione di un vettore per un numero Differenza di vettori Prodotto scalare di vettori

12 Somma di vettori Vogliamo eseguire la seguente operazione: A + B = R Poiché i due addendi A e B sono vettori, loperazione da eseguire deve tener conto di tutte le caratteristiche dei vettori e non solamente delle quantità numeriche che rappresentano il loro modulo. I metodi grafici utilizzati sono: metodo del parallelogramma metodo punta - coda Casi particolari

13 Metodo del parallelogramma Fase 1 : si rappresentano i due vettori da sommare con la medesima scala la coda in comune A B

14 Metodo del parallelogramma Fase 2 : dalla punta del vettore A si manda la parallela al vettore B A B

15 Metodo del parallelogramma Fase 3 : dalla punta del vettore B si manda la parallela al vettore A A B Si è costruito così un parallelogramma, ossia un quadrilatero avente i lati opposti paralleli ed uguali

16 Metodo del parallelogramma Fase 4 : il vettore somma R = A + B unisce i vertici O e K del paralle = logramma A B O K R

17 Metodo del parallelogramma Fase 5 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza in cm per il relativo fattore di scala A B R

18 Metodo del parallelogramma Fase 6 : utilizzando un goniometro si misura langolo che indica la direzione ed il verso del vettore R A B R Esercizio guidato

19 Sono dati i seguenti vettori: A A= 60 N angolo 0° B B= 42 N angolo 45° Determinare con il metodo del parallelogramma R = A + B Scegliamo la seguente scala di rappresentazione per entrambi i vettori: 10 N 1 cm Ricaviamo la lunghezza A del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 60 N : A da cui A = ( 60 N 1 cm ) : 10 N = 6 cm Ricaviamo la lunghezza B del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 42 N : B da cui B = ( 42 N 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm

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21 Metodo punta - coda Fase 1 : si rappresentano i vettori da sommare con la medesima scala la punta del primo vettore coincide con la coda del secondo vettore A B

22 Metodo punta - coda Fase 2 : il vettore R = A + B unisce la coda del primo vettore con la punta dellultimo vettore disegnato A B R

23 Metodo punta - coda Fase 3 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza in cm per il relativo fattore di scala A B R

24 Metodo punta - coda Fase 4 : utilizzando un goniometro si misura langolo che indica la direzione ed il verso del vettore R A B R Esercizio guidato

25 Sono dati i seguenti vettori: A A= 60 N angolo 0° B B= 42 N angolo 45° Determinare con il metodo punta - coda R = A + B Scegliamo la seguente scala di rappresentazione e per entrambi i vettori: 10 N 1 cm Ricaviamo la lunghezza A del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 60 N : A da cui A = ( 60 N 1 cm ) : 10 N = 6 cm Ricaviamo la lunghezza B del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione 10 N : 1 cm = 42 N : B da cui B = ( 42 N 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm

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27 Somma di più vettori Somma di vettori equiversi Somma di vettori di verso opposto Somma di vettori paralleli equiversi Somma di vettori paralleli di verso opposto Casi particolari

28 Somma di più vettori Se i vettori da sommare sono più di due viene utilizzato il metodo punta - coda. Si dispongono i vettori, tutti con la medesima scala di rappresentazione, uno di seguito allaltro: il vettore somma R unisce la coda del primo vettore con la punta dellultimo. A B C D R R = A + B + C + D

29 Somma di vettori equiversi con medesimo punto di applicazione Due vettori si dicono equiversi se hanno medesimo angolo. Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0° B B = 5 N angolo 0° ricaviamo il vettore R = A + B Utilizziamo il metodo punta - coda: AB N.B.: il vettore R è sovrapposto ai due vettori A e B 2 N R Si può quindi affermare che il vettore R ha per modulo la somma dei moduli, ossia R = A + B = 10 N + 5 N = 15 N lo stesso angolo dei due vettori A e B, cioè 0° A B

30 Somma di vettori di verso opposto e con medesimo punto di applicazione Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0° B B = 5 N angolo 180° ricaviamo il vettore R = A + B Utilizziamo il metodo punta - coda: A B N.B.: i vettori R e B sono sovrapposti ad A 1 N R Si può quindi affermare che il vettore R ha per modulo la differenza dei moduli, ossia R = |A - B| = 10 N - 5 N = 5 N langolo del vettore che ha modulo maggiore, cioè 0° A B

31 Somma di vettori paralleli equiversi Sono dati i seguenti vettori paralleli: AA = 10 Nangolo 270° BB = 20 Nangolo 270° posti a distanza:d = 60 cm determinare R = A + B Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo punta - coda. La risultante R ha le seguenti caratteristiche: modulo uguale alla somma dei moduli; cioè R = A + B = 30 N angolo uguale a quello dei vettori A e B, cioè 270° punto di applicazione

32 Il vettore R è posizionato tra i due vettori A e B ad una distanza inversamente proporzionale ai moduli dei vettori stessi 5 N d = 60 cm x d - x A R B B x = A ( d - x ) B x = A d - A x B x + A x = A d ( B + A ) x = A d ( 20 N + 10 N ) x = 10 N 60 cm 30 N x = 600 N cm x = 600 N cm : 30 N = 20 cm

33 Somma di vettori paralleli di verso opposto Sono dati i seguenti vettori paralleli: AA = 10 Nangolo 270° BB = 20 Nangolo 90° posti a distanza:d = 60 cm determinare R = A + B Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo punta - coda. La risultante R ha le seguenti caratteristiche: modulo uguale alla differenza dei moduli; cioè R = |A - B| = |10N - 20N| = 10N angolo uguale a quello del vettore di modulo maggiore, cioè 90° punto di applicazione

34 Il vettore R non si trova tra i due vettori A e B ma è posizionato dalla parte del vettore di modulo maggiore, ad una distanza inversamente proporzionale ai moduli dei vettori stessi 5 N d = 60 cm x d + x A B B x = A ( d + x ) B x = A d + A x B x - A x = A d ( B - A ) x = A d ( 20 N - 10 N ) x = 10 N 60 cm 10 N x = 600 N cm x = 600 N cm : 10 N = 60 cm R

35 Scomposizione di un vettore secondo due direzioni Fase 1 : si rappresenta in scala il vettore A da scomporre e si tracciano, par = tendo dalla sua coda, le due semirette di direzione assegnata A 1 2

36 Scomposizione di un vettore Fase 2 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 1 A 1 2

37 Scomposizione di un vettore Fase 3 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 2 A 1 2

38 Scomposizione di un vettore Fase 4 : si è costruito così un parallelogramma di vertici O H K L. A 1 2 O H K L

39 Scomposizione di un vettore Fase 5 : la componente del vettore A secondo la direzione 1, ossia A 1, unisce i vertici O L; la componente del vettore A secondo la direzione 2, ossia A 2, unisce i vertici O H. A 1 2 O H K L A1A1 A = A 1 + A 2 A2A2

40 Scomposizione di un vettore Fase 6 : si determina il modulo A 1 del vettore A 1 moltiplicando la sua lunghezza 1 in cm per il relativo fattore di scala; si determina il modulo A 2 del vettore A 2 moltiplicando la sua lunghezza 2 in cm per il relativo fattore di scala. A A1A1 A2A2 1 Esercizio guidato 2

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42 Moltiplicazione di un vettore per un numero Dato il vettore A di modulo A=20 N e angolo 0°, determinare : B = 2 A e C = ( -2 ) A Numero positivo Numero negativo 5 N AA B C Modulo B = 2 A = 2 20N = 40N C = | -2 | A = | - 2 | 20N = 40N Angolo Medesimo angolo del vettore A Stessa direzione del vettore A ma cioè 0° verso opposto, angolo di 180°

43 Differenza di vettori La differenza tra due vettori si esegue sommando al primo vettore lopposto del secondo, ossia: A - B = A + ( - B) Dati i vettori : A A = 10N angolo 0° e B B = 5N angolo 90° determinare D = A - B Dato che il vettore - B = ( - 1 ) B, esso avrà le seguenti caratteristiche: - B modulo - B = 5N angolo 270° Applicando il metodo punta - coda si determina il vettore D : 1N A - B D

44 Prodotto scalare di vettori Il prodotto scalare di due vettori A x B ( si legge A scalar B ) da come risultato una grandezza scalare : A x B = C Il valore di C si ricava applicando la seguente formula C = A B B dove A B è il modulo della componente del vettore A secondo la direzione di B. A B si considera positivo se il verso di A B coincide con il verso di B A B si considera negativo se il verso di A B è opposto al verso di B Esercizi guidati

45 1) Dati i vettori: A A = 5N angolo 0°, B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi A B = A; il verso del vettore A B coincide con quello del vettore B, quindi A B = 5N C = A B x B = 5N 3 m = 15 N m 2) Dati i vettori: A A = 5N angolo 180°, B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi A B = A; il verso del vettore A B è opposto a quello del vettore B, quindi A B = - 5N C = A B x B = ( - 5N ) 3 m = - 15 N m

46 Esercizi guidati 3) Dati i vettori: A A = 5N angolo 90°, B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B La componente del vettore A lungo il vettore B è nulla, quindi A B = 0 C = A B x B = 0 3 m = 0 4) Dati i vettori: A A = 5N angolo 45°, B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B Si scompone il vettore A secondo due componenti: la prima parallela al vettore B, la seconda perpendicolare a B. 1 N A ABAB A | 3,5 cm A B = 3,5 cm 1 N = 3,5 N 1 cm Il verso del vettore A B coincide con quello del vettore B, quindi A B = 3,5N C = A B x B = 3,5N 3 m = 10,5 N m


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