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Giuseppina Trifiletti. IL CASO PIÙ SEMPLICE lequazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito. Ammette almeno una soluzione.

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Presentazione sul tema: "Giuseppina Trifiletti. IL CASO PIÙ SEMPLICE lequazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito. Ammette almeno una soluzione."— Transcript della presentazione:

1 Giuseppina Trifiletti

2 IL CASO PIÙ SEMPLICE lequazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito. Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)

3 PROBLEMA 3 All'ultimo salone francese del rompicapo matematico, 100 giovani visitatori hanno speso 2000 franchi. Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente di scuola media ha speso 20 franchi e ogni scolaro di scuola elementare 5 franchi. Trova il numero degli scolari di scuola elementare, degli studenti delle medie e dei liceali.

4 da cui si ottiene lequazione diofantea Indichiamo con x, y, z il numero di studenti rispettivamente della scuola elementare, media, superiore.

5 x = num. scolari elementariY = num. studenti medieZ = num. studenti superiori Le soluzioni devono essere numeri interi positivi (si suppone che alla mostra erano presenti allievi dalle elementari alle superiori, escludiamo quindi lo 0. Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3 minore o uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5 soluzioni

6 Come possiamo trovare le stesse soluzioni utilizzando il teorema sulle equazioni diofantee? non accettabile Soluzione particolare dellequazione

7 Soluzione generale dellequazione N.B. Ma per il problema x, y, z devono essere interi e positivi

8 soluzioni del problema r 1800/19 94

9 * Perché siamo certi che le formule * sono le soluzioni di unequazione diofantea di primo grado nelle due variabili x,y (N.B. x 0,y 0 è una soluzione particolare dellequazione)? Per accertarsi di questo basta sostituire le formule nellequazione ax+by=c e si ottiene unuguaglianza vera. Perché siamo certi che non ce ne sono altre? r numero intero qualunque *

10 k è una costante e può anche non essere un numero intero, ma deve essere k = r/MCD(a,b ), dato che ka e kb devono essere numeri interi e anche (x, y) soluzione generica e ( x 0 y 0 ) soluzione particolare, quindi è vero che segue

11 k è una costante e può anche non essere un numero intero, nellesempio, anche x e y possono non essere numeri interi, ma, nel nostro caso, le soluzioni ( x,y ) devono essere interi, quindi deve essere k = r/MCD(a,b ) - dove r è un numero intero qualunque - dato che ka e kb devono essere numeri interi. Esempio, se x e y possono essere

12 * Le formule * si possono semplificare, se nellequazione iniziale ax+by=c si divide a, b e c per il MCD(a,b). In questo caso lequazione e le formule, dopo la semplificazione, diventano r numero intero qualunque * le formule delle soluzioni si possono semplificare

13 Se a e b NON sono CONTEMPORANEAMENTE NULLI lequazione ammette INFINITE SOLUZIONI che sono coppie di numeri reali, ma non sono tutte le coppie di numeri reali (graficamente, sul piano, le soluzioni dellequazione sono tutti i punti di una retta) Se a e b sono CONTEMPORANEAMENTE NULLI allora, se anche c vale 0, e cioè si ottiene 0=0, le soluzioni sono tutte le coppie di numeri reali (graficamente sono tutti i punti del piano). Se invece c non è 0 allora lequazione non ammette soluzioni, perché si ottiene luguaglianza falsa c=0 (graficamente neanche un punto del piano). SOLUZIONI IN R


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