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Università della LiberEtàGiuseppina Trifiletti Che cosa sono?

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Presentazione sul tema: "Università della LiberEtàGiuseppina Trifiletti Che cosa sono?"— Transcript della presentazione:

1 Università della LiberEtàGiuseppina Trifiletti Che cosa sono?

2 Le equazioni incontrate nel problema cinese della lezione precedente, sono equazioni diofantee, 6 equazioni delle quali si dovevano trovare le soluzioni comuni. PROBLEMA 1 Al cinema ITRENI gli uomini entrano pagando 8, le donne con 4. Sapendo che lincasso è stato di 130 euro, quanti uomini e quante donne sono entrate? La seguente è lequazione DIOFANTEA del problema. Ha soluzioni?

3 PROBLEMA 2 Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4 e i bambini (B) 2. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che lincasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati? Ha soluzioni?

4 PROBLEMA 3 All'ultimo salone francese del rompicapo matematico, 100 giovani visitatori hanno speso 2000 franchi. Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente di scuola media ha speso 20 franchi e ogni scolaro di scuola elementare 5 franchi. Trova il numero degli scolari di scuola elementare, degli studenti delle medie e dei liceali. vedi soluzione problema 3

5 Da cui si ottiene lequazione diofantea x = num. scolari elementariY = num. studenti medieZ = num. studenti superiori Indichiamo con x, y, z il numero di studenti rispettivamente della scuola elementare, media, superiore. Le soluzioni devono essere numeri interi. Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3 al più uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5 soluzioni Soluzione problema 3

6 il caso più semplice lequazione può non avere soluzioni, può averne un numero finito o un numero infinito. Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b) lequazione di Diofanto Torna allinizio

7 Diofanto Diofanto di Alessandria è noto come il padre dellalgebra. Della sua vita si sa ben poco; non sappiamo neppure il secolo in cui è vissuto, probabilmente tra il 150 ed il 250 d.C. Alcuni ritengono che sia stato l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici. Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematico.numeri poligonaliArithmetica

8 ammette invece soluzioni intere, infatti a=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=160 è multiplo di 4 TEOREMA: data lequazione lequazione ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b) clicca qui se vuoi saltare la dimostrazione e andare alla conclusione Lequazione del problema 1: (D=x, U=y), non ammette soluzioni, infatti a=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=130 non è multiplo di 4

9 Se c=d. q, lequazione ax+by=c ammette Per lalgoritmo di Euclide, esistono due numeri interi, k e l, tali che la coppia (k,l) verifica la seguente uguaglianza c=d. q c è multiplo del MCD IPOTESI: si sa che c=d. q, cioè si sa che c è multiplo del MCD esiste almeno una soluzione intera TESI: allora esiste almeno una soluzione intera la soluzione particolare la soluzione particolare (x 0 =kq, y 0 =lq) PRIMA PARTE: data lequazione ottengo DIMOSTRAZIONE infatti se moltiplico per q da ambedue le parti come volevasi dimostrare cioè Ricorda che

10 IPOTESI: si sa che lequazione ax + by = c ammette una soluzione intera ( x 0,y 0 ) TESI: allora c deve essere multiplo di d dove q è un numero intero come volevasi dimostrare viceversa … scambio ipotesi e tesi SECONDA PARTE: viceversa … scambio ipotesi e tesi Ricorda! Quindi c = q. d cioè c è multiplo di d DIMOSTRAZIONE

11 se e soltanto sec è multiplo del MCD(a,b) lequazione (1) ammette una soluzione se e soltanto se c è multiplo del MCD(a,b). c è multiplo del MCD(a,b) Se c è multiplo del MCD(a,b) si può trovare inizialmente una soluzione particolare dellequazione (1) che chiamiamo ( x 0,y 0 ), r numero intero qualunque Perché? IN CONCLUSIONE(1) tutte le altre si trovano con le seguenti formule clicca qui se vuoi saltare il perché e fare solo gli esercizi

12 (1) 1. rb/d ed ra/d sono numeri interi 2. x e y soddisfano lequazione (1), infatti basta sostituire nellequazione a x e y le (2) Perché questo sistema rappresenta tutte le soluzioni ? (2) Le (2) soddisfano lequazione (1) dato che è vera luguaglianza ax 0 +by 0 =c Ma perché solo le (2) soddisfano lequazione (1)?

13 Risolvere la seguente equazione diofantea Soluzioni intere (anche negative quindi) Una soluzione particolare è (-29,-29), cioè x 0 =-29, y 0 =-29 Una soluzione generica è (-29-4r,-29-3r) con r numero intero qualsiasi Utilizzando le seguenti formule si ottengono le infinite soluzioni :

14 Risolvere la seguente equazione diofantea Soluzioni intere (anche negative quindi) Una soluzione particolare è (18,12) Una soluzione generica è (18-4r,12-3r)

15 PROBLEMA 2 Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano pagando 8 euro, le donne (D) con 4 e i bambini (B) 2. Sapendo che in tutto le persone sono 26 e che lincasso è stato di 144 euro, quanti uomini, quante donne e quanti bambini sono entrati?

16 non accettabile per il problema Soluzione particolare dellequazione del probl. 2 Soluzione generale dellequazione N.B. Ma per il problema…deve essere quindi

17 soluzioni del problema: numeri interi positivi 14/31020 r

18 da vari siti internet dal testo CHE COSA è LA MATEMATICA, di Courant e Robbins, Universale Scientifica Boringhieri da personali riflessioni SPUNTI TRATTI


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