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ESISTE UN POLIEDRO CON 7 SPIGOLI? Scuola Media O. Tabacchi 1.

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Presentazione sul tema: "ESISTE UN POLIEDRO CON 7 SPIGOLI? Scuola Media O. Tabacchi 1."— Transcript della presentazione:

1 ESISTE UN POLIEDRO CON 7 SPIGOLI? Scuola Media O. Tabacchi 1

2 Ecco il problema: La ricercatrice è venuta a presentarci la seguente questione: Esiste un poliedro con sette spigoli? 2

3 Le facce sono i poligoni che delimitano il poliedro; I vertici di ogni poligono vengono detti vertici del poliedro; I lati di ogni poligono vengono detti spigoli del poliedro. Poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi, in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi Prima di rispondere bisogna aver chiari i seguenti termini: poliedro, facce, vertici e spigoli. 3

4 Quando esiste un poliedro? Per avere un poliedro occorrono come minimo 4 vertici: 3 giacciono in un piano a formare il poligono triangolare ( che è il poligono con il minimo numero di lati) e 1 sta fuori del piano; da esso partono gli altri spigoli che terminano nei vertici del poligono di base. 4

5 Costruzione dei poliedri Abbiamo provato a costruire vari poliedri in modi diversi: disegnandoli, ma era difficile vederli nello spazio, 5

6 utilizzando il Geo-mag, ma gli spigoli erano tutti uguali, 6

7 intagliando le patate, 7

8 utilizzando cannucce e stecchini 8

9 Abbiamo dunque disegnato, costruito ed esaminato tanti poliedri ed abbiamo raccolto i dati dei solidi analizzati in una tabella, ordinandoli a seconda del numero di vertici: 9

10 Poliedri costruiti ABC D E F HG G 10

11 POLIEDRIVERTICIFACCESPIGOLI A446 B558 C569 D659 E6610 F7712 G71015 H

12 SCOPRIAMO LA FORMULA! Abbiamo osservato la tabella dei poliedri per cercare una relazione matematica tra i numeri V di vertici, F di facce e S di spigoli, e, provando varie possibilità e facendo tante prove e molti calcoli, abbiamo scoperto la formula, che vale per tutti i poliedri da noi considerati: V+F=S+2 12

13 Verifica della validità della formula Se togliessimo un vertice ad un poliedro, come si modificano i numeri di vertici, facce, spigoli? Quanti ne aggiungiamo? 13

14 Prendiamo come esempio una piramide a base quadrata. Se togliamo il vertice in cui convergono 4 spigoli, cosa otteniamo ? 14

15 Dalla situazione iniziale si aggiungono vertici, facce e spigoli e si ottiene un poliedro finale con: verticifaccespigoli Iniziali558 Aggiunte314 Finali8612 Verifichiamo che V+F =S+2 V i +F i =S i +2 ossia 5+5 = 8+2 V f +F f =S f +2 ossia 8+6 =

16 Ora prendiamo come esempio unaltra figura,un cubo. Togliamo un vertice 16

17 Dalla situazione iniziale si aggiungono vertici, facce e spigoli e si ottiene un poliedro finale con: verticifaccespigoli Iniziali8612 Aggiunte213 Finali10715 Verifichiamo che V+F =S+2 V i +F i =S i +2 ossia 8+6 = 12+2 V f +F f =S f +2 ossia 10+7 = 15+2 Per cui la formula è valida 17

18 Torniamo alla questione posta inizialmente: esiste un poliedro con sette spigoli? Partendo dalla formula V + F = S + 2, se presupponiamo che gli spigoli siano 7, allora deve essere: S+2 = 7+2 = 9 per cui V + F = 9 18

19 Quali sono le coppie di numeri la cui somma è 9? Sono 10 coppie, associamole ai vertici e alle facce del poliedro: VerticiFacce Esiste il poliedro? 09 non è possibile perché i vertici devono essere almeno potrebbe essere possibile non è possibile perché le facce devono essere almeno

20 Tra queste coppie di numeri, solo due potrebbero corrispondere alla quantità di vertici e facce di un poliedro: sono (4; 5) e (5; 4) Esiste solo un poliedro con 4 vertici: la piramide a base triangolare che ha 6 spigoli e solo 4 facce, per cui escludiamo la coppia (4 V ; 5 F) 20

21 Con 5 vertici si possono costruire 2 poliedri uno con 8 spigoli e 5 facce un altro con 9 spigoli e 6 facce. Allora escludiamo entrambi 21

22 Quindi non esiste un poliedro con 7 spigoli!! 22

23 Ringraziamo: La ricercatrice Roberta Dusi per la collaborazione e laiuto, la professoressa Santolini per averci seguito e stimolato nella nostra ricerca, tutto il pubblico per averci ascoltato durante la presentazione 23

24 Abacan Aileen Cervi Pietro Cesaroni Lara Ferrara Marco Ferri Beatrice Ferri Sofia Jongbuth Nathalia Kitharatzis Elia Leoni Amato Pietro Loseto Sofia Montecorboli Edoardo Serto Francesca Taddia Margherita Tutucci Gaia Wu Min Wu Xiao Fei Zaccarelli Pietro gli alunni della Tabacchi: 24


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