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THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS Relatore: Guido Boffetta UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TORINO Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Laurea.

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1 THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS Relatore: Guido Boffetta UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TORINO Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Laurea Triennale in Fisica Anno scolastico 2004/2005 Candidato: Isabella Rosso Ringraziamenti: Ferruccio Balestra Giovanni Maniscalco Correlatore: Antonello Provenzale

2 Jules-Henri Poincaré EFFETTO FARFALLA: piccole incertezze evolvono in maniera esponenziale Sistemi apparentemente semplici in realtà nascondono nature molto complesse ed irregolari La Teoria del Caos… Fondatore teoria qualitativa sistemi dinamici Descrizione del caos deterministico Edward Lorenz 1903:..Può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali.. Impredicibilità dello stato del sistema dopo un certo tempo caratteristico Anni 30: la scuola russa con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov.

3 A livello quantitativo… Fulcro della Teoria del Caos: studio sistemi dinamici dissipativi non lineari MAPPA (valori discreti) x(t+1)=g(x(t)) x = |x(0)- x(0)| Una piccola incertezza sulla condizione iniziale si amplifica molto velocemente Anche nel caso ipotetico di poter disporre di un modello perfetto rimane il grande problema delle condizioni iniziali positivo crescita esponenziale | x(t)| = |x(t)- x(t)| ~ | x exp( t) 0 x(t) x(0) x(t) x (0) x(t )

4 Cosè … | x(t)| = |x(t)- x(t)| ~ | x exp( t)

5 Dipende dal sistema Misura quantitativa della caoticità di un sistema: quanto si separano nel tempo le traiettorie Esponente di Lyapunov Se 0 il sistema non è caotico (lattrattore è un punto fisso o un ciclo limite) Cosè …

6 Indipendentemente dalla condizione iniziale, x(t) si avvicina indefinitamente ad esso (invariante per evoluzione temporale) Lattrattore… La presenza è determinata dal valore di un parametro di controllo Regione dello spazio delle fasi in cui le traiettorie sono attratte dopo un tempo abbastanza lungo Punto fisso: punto di equilibrio o stato stazionario Orbita circolare o attrattore ciclico Attrattore strano x(t+1)=g(x(t)) Soluzione dellequazione g(x(t))=x(t) Vari tipi:

7 Lesperimento… Rubinetto che gocciola Può presentare un comportamento caotico Sistema molto complicato con molti gradi di libertà Variando la portata regime di gocciolamento: inizialmente periodico transizione al caos

8 Lapparato sperimentale… Tanica Tubo diametro: 1 cm Rubinetto Tubicino diametro: 6 mm Regolatore Fotocellula

9 I valori ottenuti… q = (0,30 ± 0,03) ml/s

10 I valori ottenuti… Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn) q = (0,30 ± 0,03) ml/s

11 I valori ottenuti… q = (0,41 ± 0,04) ml/s

12 I valori ottenuti… Mappa dei Ritorni

13 I valori ottenuti… q = (0,79 ± 0,07) ml/s

14 Le gocce secondarie… Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)

15 Nuova configurazione… q = (0,15 ± 0,03 ) ml/s

16 q = (0,17 ± 0,02) ml/s Nuova configurazione…

17 q = (0,23 ± 0,02) ml/s Nuova configurazione…

18 q = (0,36 ± 0,04) ml/s

19 Nuova configurazione… Funzione non monotona stretching e folding

20 La mappa logistica… r=3.2 Attrattore di periodo 2 r=3.52 Attrattore di periodo 4

21 La mappa logistica… r=4 Attrattore caotico = ln2

22 I valori ottenuti a confronto… q = 0,15 ml/s q = 0,17 ml/s q = 0,23 ml/s q = 0,34 ml/s

23 Conclusioni… Comprensione delle caratteristiche proprie di un sistema caotico Lesperimento conferma la ricchezza di un comportamento dinamico in un sistema apparentemente semplice Presentato un esperimento in cui si è investigato il comportamento non lineare e un meccanismo di transizione al caos

24 Bibliografia… A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci (1994) Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996) H. N, Núñez-Yépez, A. L. Salas-Brito, C. A. Varga e L. Vicente, Chaos in a dripping faucet, Eur. J. Phys. (1989) D. R. Hofstadter, Metamagical Themas, Sci. Am November (1981) J. K. Hale, H. Koçak, Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag (1991)


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