THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS

Presentazione sul tema: "THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS"— Transcript della presentazione:

1 THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Laurea Triennale in Fisica Anno scolastico 2004/2005 THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS Candidato: Isabella Rosso Relatore: Guido Boffetta Correlatore: Antonello Provenzale Ringraziamenti: Ferruccio Balestra Giovanni Maniscalco

2 Jules-Henri Poincaré
La Teoria del Caos… Jules-Henri Poincaré Fondatore teoria qualitativa sistemi dinamici Descrizione del caos deterministico 1903: “..Può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..” Anni ’30: la scuola russa con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov. Edward Lorenz EFFETTO FARFALLA: piccole incertezze evolvono in maniera esponenziale Impredicibilità dello stato del sistema dopo un certo tempo caratteristico Sistemi apparentemente semplici in realtà nascondono nature molto complesse ed irregolari

3  MAPPA (valori discreti)
A livello quantitativo… Fulcro della Teoria del Caos: studio sistemi dinamici dissipativi non lineari  MAPPA (valori discreti) x(t) x(t+1)=g(x(t)) dx(t) x(0) dx(0) x’(0) |dx(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |dx(0)| exp( l t) dx(0) = |x(0)- x’(0)| x’(t) l positivo  crescita esponenziale Una piccola incertezza sulla condizione iniziale si amplifica molto velocemente Anche nel caso ipotetico di poter disporre di un modello perfetto rimane il grande problema delle condizioni iniziali

4 Cos’è l… |dx(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |dx(0)| exp( l t)

5 Cos’è l… Esponente di Lyapunov Dipende dal sistema Misura quantitativa della caoticità di un sistema: quanto si separano nel tempo le traiettorie Se l≤0  il sistema non è caotico (l’attrattore è un punto fisso o un ciclo limite)

6 L’attrattore… x(t+1)=g(x(t)) Regione dello spazio delle fasi in cui le traiettorie sono attratte dopo un tempo abbastanza lungo Indipendentemente dalla condizione iniziale, x(t) si avvicina indefinitamente ad esso (invariante per evoluzione temporale) La presenza è determinata dal valore di un parametro di controllo Vari tipi: Punto fisso: punto di equilibrio o stato stazionario Soluzione dell’equazione g(x(t))=x(t) Orbita circolare o attrattore ciclico Attrattore strano

7 L’esperimento…  Rubinetto che gocciola  Sistema molto complicato con molti gradi di libertà  Può presentare un comportamento caotico Variando la portata  regime di gocciolamento: inizialmente periodico transizione al caos

8 L’apparato sperimentale…
Tanica Tubo  diametro: 1 cm Rubinetto Tubicino  diametro: 6 mm Regolatore Fotocellula

9 I valori ottenuti… q = (0,30 ± 0,03) ml/s

10  Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn)
I valori ottenuti…  Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn) q = (0,30 ± 0,03) ml/s

11 I valori ottenuti… q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s

12 I valori ottenuti…  Mappa dei Ritorni q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s

13 I valori ottenuti… q = (0 ,79 ± 0,07) ml/s

14 Le gocce secondarie… Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)

15 Nuova configurazione…
q = (0 ,15 ± 0,03) ml/s

16 Nuova configurazione…
q = (0 ,17 ± 0,02) ml/s

17 Nuova configurazione…
q = (0 ,23 ± 0,02) ml/s

18 Nuova configurazione…
q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s

19 Nuova configurazione…
q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s Funzione non monotona  “stretching e folding”

20 La mappa logistica… r=3.2 Attrattore di periodo 2 r=3.52 Attrattore di periodo 4

21 La mappa logistica… r=4 Attrattore caotico l = ln2

22 I valori ottenuti a confronto…
q = 0 ,15 ml/s q = 0 ,17 ml/s q = 0 ,23 ml/s q = 0 ,34 ml/s

23 Conclusioni…  Comprensione delle caratteristiche proprie di un sistema caotico  Presentato un esperimento in cui si è investigato il comportamento non lineare e un meccanismo di transizione al caos  L’esperimento conferma la ricchezza di un comportamento dinamico in un sistema apparentemente semplice

24 Bibliografia… A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci (1994) Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996) H. N, Núñez-Yépez, A. L. Salas-Brito, C. A. Varga e L. Vicente, Chaos in a dripping faucet, Eur. J. Phys. (1989) D. R. Hofstadter, Metamagical Themas, Sci. Am November (1981) J. K. Hale, H. Koçak, Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag (1991)