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Teorema dellunicità del limite Se per x tendente a x 0 la funzione f(x) ammette limite, questo è unico.

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Presentazione sul tema: "Teorema dellunicità del limite Se per x tendente a x 0 la funzione f(x) ammette limite, questo è unico."— Transcript della presentazione:

1 Teorema dellunicità del limite Se per x tendente a x 0 la funzione f(x) ammette limite, questo è unico.

2 Dimostrazione

3 Ragioniamo per assurdo: Supponiamo che esistano due limiti finiti diversi l 1 e l 2 ; cioè lim f(x) = l 1 xx0x0 lim f(x) = l 2 xx0x0 e Allora per la definizione di limite data precedentemente:

4 Prefissato un qualunque numero > 0 si può determinare un primo intorno di x 0 tale che per ogni x di tale intorno sia: l 1 - < f(x) < l 1 + si può determinare un secondo intorno di x 0 tale che per ogni x di tale intorno sia: l 2 - < f(x) < l 2 +

5 Supponiamo l 2 > l 1 Prendiamo Nella parte comune ai due intorni varranno le due disuguaglianze precedentemente scritte. In tale parte comune sarà certamente: l 2 - < f(x) < l 1 +

6 e quindi: l 2 - < l 1 + ed anche: > Disuguaglianza assurda. Quindi è assurdo che esistano due limiti diversi.

7 Teorema della permanenza del segno Se per x tendente a x 0 la funzione f(x) ha per limite il numero finito l diverso da zero, esiste un intorno del punto x 0 tale che per ogni x di tale intorno la funzione f(x) assume valori dello stesso segno di l.

8 Teorema del confronto Se f(x) e g(x) e h(x) sono tre funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x 0, se per ogni x di detto intorno risulta: f(x) g(x) h(x) e se è inoltre lim f(x)=lim h(x) =l allora lim g(x)=l

9 Teorema della somma Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x 0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x 0, allora anche la somma f(x)+g(x) ha limite finito per x tendente a x 0 e questo limite è uguale alla somma dei limiti. Cioè se è lim f(x)=l 1 lim g(x)=l 2 allora è pure lim[f(x)+g(x)]=l 1 +l 2

10 Nulla si può dire se i limiti sono uno + infinito e laltro - infinito

11 Teorema della differenza Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x 0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x 0, allora anche la differenza f(x)-g(x) ha limite finito per x tendente a x 0 e questo limite è uguale alla differenza dei limiti. Cioè se è lim f(x)=l 1 lim g(x)=l 2 allora è pure lim[f(x)-g(x)]=l 1 - l 2

12 Nulla si può dire se entrambi i limiti sono + infinito Nulla si può dire se entrambi i limiti sono - infinito

13 Teorema del prodotto Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x 0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x 0, allora anche il prodotto f(x)*g(x) ha limite finito per x tendente a x 0 e questo limite è uguale al prodotto dei limiti. Cioè se è lim f(x)=l 1 lim g(x)=l 2 allora è pure limf(x)*g(x)=l 1 * l 2

14 Nulla si può dire nel caso in cui un limite è infinito e laltro è uguale a zero.

15 Teorema della funzione reciproca Se la funzione f(x) per x tendente a x 0 ha limite finito l diverso da zero, allora la funzione reciproca ha per limite Se lim f(x)= allora lim=0

16 Teorema del quoziente Dai teoremi precedenti si deduce il limite del quoziente

17 Nulla si può dire se lim f(x)=lim g(x)=0 oppure se lim f(x)=lim g(x)=


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