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Ottavio Serra PITAGORA: Numeri e figure - Il teorema di Pitagora. PITAGORA: Numeri e figure - Il teorema di Pitagora.

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1 Ottavio Serra PITAGORA: Numeri e figure - Il teorema di Pitagora. PITAGORA: Numeri e figure - Il teorema di Pitagora.

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4 4 Aristotele, nella Metafisica, I, 5, scrive: I cosiddetti pitagorici, avendo cominciato a occuparsi di ricerche matematiche ed essendo grandemente progrediti in esse, furono condotti da questi studi ad assumere come principi di tutte le cose esistenti quelli di cui fanno uso le scienze matematiche, cioè i numeri […]. Avendo poi riconosciuto che le proprietà delle armonie musicali corrispondono a rapporti numerici, e che in altri fenomeni naturali si riscontrano analoghe corrispondenze coi numeri, conclusero che tutto è numero e che il cielo sia proporzione ed armonia.

5 5 Il cosmo dei pitagorici

6 6 Lo gnomone ( ) è unasta di legno a squadra per conoscere lora dallombra del Sole. Indice dellorologio solare. E un oggetto, numero o una figura, che aggiunto a un oggetto lo lascia immutato in forma,simile a sé.

7 7 Queste proprietà aritmetiche convinsero i pitagorici che tutto è numero, il mondo, i cieli, la musica. In particolare, le linee sono somma di punti. Però laltro grande trionfo dei pitagorici, il Teorema di Pitagora, infranse questa grandiosa concezione, con la scoperta che esistono segmenti incommensurabili.

8 8 I numeri perfetti Sono i numeri uguali alla somma dei loro divisori, 1 incluso. Sono i numeri uguali alla somma dei loro divisori, 1 incluso. I pitagorici conoscevano 6 e 28, forse anche 496. I pitagorici conoscevano 6 e 28, forse anche 496. Euclide dimostrò una formula per generare numeri perfetti pari e trovò così (Elementi, Libro IX ).Nel 1700 Eulero dimostrò che la formula di Euclide genera tutti i numeri perfetti pari (è necessaria, non solo sufficiente). Euclide dimostrò una formula per generare numeri perfetti pari e trovò così (Elementi, Libro IX ).Nel 1700 Eulero dimostrò che la formula di Euclide genera tutti i numeri perfetti pari (è necessaria, non solo sufficiente). Senza computer è praticamente impossibile andare oltre Infatti il prossimo è , poi vengono e , poi un numero di 19 cifre, che non riporto, poi anche il mio pc si arrende. Senza computer è praticamente impossibile andare oltre Infatti il prossimo è , poi vengono e , poi un numero di 19 cifre, che non riporto, poi anche il mio pc si arrende. Prima del famoso teorema, accenniamo a unaltra conquista dei pitagorici, i numeri perfetti.

9 9 E ora il teorema di Pitagora In verità era conosciuto anche presso altri popoli e prima del V secolo, almeno in casi particolari. Per esempio, i cinesi conoscevano il caso 3,4,5 come risulta dalla successiva diapositiva, già dal 1100 a.C. Forse gli egizi anche da prima. In verità era conosciuto anche presso altri popoli e prima del V secolo, almeno in casi particolari. Per esempio, i cinesi conoscevano il caso 3,4,5 come risulta dalla successiva diapositiva, già dal 1100 a.C. Forse gli egizi anche da prima. Il merito dei pitagorici è stato di averne tentato una giustificazione e di aver aperto la via alla scienza dimostrativa. Il merito dei pitagorici è stato di averne tentato una giustificazione e di aver aperto la via alla scienza dimostrativa.

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11 11 Basta unocchiata per capire la dimostrazione di Chou

12 12 Una dimostrazione del teorema dovuta a Pappo

13 13 Menone Il disegno eseguito da Socrate (Platone) nelMenone per la duplicazione del quadrato. Da esso si ricava il Teorema di Pitagora nel caso particolare del triangolo rettangolo isoscele (AOB).

14 14 Dal disegno riportato nel Menone si ricava lirrazionalità della radice quadrata di 2. La via aritmetica, congeniale ai pitagorici, sembra però troppo astratta e ardua per quei tempi. Tuttavia Aristotele negli ANALITICI PRIMI Libro I, Cap. 23, 41 a, dice che i pitagorici dimostrarono lincommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, mostrando che lipotesi opposta avrebbe condotto allassurdo che un numero fosse pari e dispari nello stesso tempo. (Euclide, spaventato dai numeri irrazionali, indicibili, seguirà, con Eudosso, dimostrazioni geometriche).

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16 16 Spirale pitagorica delle radici quadrate A partire dal triangolo rettangolo isoscele (in rosso )

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18 18 Similitudine di un triangolo rettangolo con le due parti in cui laltezza lo divide (Euclide VI 8), da cui discendono i teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora. Questa via più semplice dovette aspettare la teoria dei rapporti incommensurabili(V libro).

19 19 Secondo Odifreddi lirrazionalità comparve dapprima dallo studio del pentagono e perciò il primo numero irrazionale conosciuto dai pitagorici fu la radice quadrata di 5, legata alla sezione aurea. (Il lato del pentagono regolare è uguale alla sezione aurea della diagonale). La sezione aurea, scoperta dai pitagorici, serviva anche per la costruzione dei poliedri regolari. La Sezione aurea di un segmento è la parte MEDIA PROPORZIONALE tra il segmento e la parte restante ESTREMA RAGIONE. Vedi le due diapositive seguenti.

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21 21 Il Pentagramma, Stella a 5 punte, era il segno di riconoscimento dei pitagorici

22 22 La dimostrazione geometrica di Euclide dellirrazionalità della radice quadrata di 2. Non si troverà mai un sottomultiplo comune ad AC ed AB.

23 23 Garfield, ( ) Maggior generale nordista nella guerra civile, ( ), fu presidente Usa per pochi mesi, assassinato il 7 luglio Per finire, Il teorema di Pitagora dimostrato da Garfield. Questa chicca è riportata da Piergiorgio Odifreddi su Le Scienze, luglio 2005.

24 24 Pitagora e la musica. Studiando i suoni emessi da corde tese, i pitagorici notarono che i suoni erano tanto più acuti quanto più le corde, a parità di spessore e di tensione, erano corte. Essi, pur non introducendo il concetto assoluto di frequenza, ebbero idea della frequenza relativa in base al rapporto tra le lunghezze delle corde. Si accorsero così che alcuni accordi erano particolarmente gradevoli: quello di quarta, rapporto di 4/3 con una frequenza di riferimento, di quinta, rapporto di 3/2 e di ottava o unisono, rapporto 2.

25 25 Secondo altri, e secondo me è più probabile, i pitagorici trovarono le leggi dellarmomia musicale percuotendo vasi di uguale altezza riempiti dacqua a livelli diversi, in modo che fosse diversa la colonna daria vibrante. In tal modo la frequenza dipende solo dalla colonna daria h. Per chi vuol sapere: h n c/ n+1)c/4h. (Si formano onde stazionarie se h contiene un numero intero di mezzi fusi) Per n=0 si ha larmonica fondamentale, la nota.

26 26 Essi introdussero perciò una Scala musicale di 7 note separate da intervalli di quinta: 2/3, 1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32. Per farle entrare in unottava, la prima si moltiplica per 2, la quarta e la quinta nota si dividono per 2, la sesta e la settima si dividono per 4. Ordinandole per frequenze crescenti, si ha: 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128. Si noti la corrispondenza parziale con la scala naturale di Aristòsseno (III secolo a.C.), ripresa da Zarlino (1500, Venezia):

27 27 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128 (Pitagora) Do Re Mi Fa Sol La Si Do 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2. (Zarlino). Infine con Bach (1700) si passa dalla scala naturale alla scala temperata, inserendo altre 5 note dette diesis, #, della nota precedente o bemolle, b, della nota successiva, in modo che lintervallo tra una nota e la seguente fosse costante, pari a Così anche nella musica si estende attraverso i millenni il genio di Pitagora.

28 28 Pitagora Bach


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