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17-Ott-131 Riassunto lezione precedente proprietà di SU(N), rappresentazioni fondamentale, regolare, coniugata; operatore di Casimir e classificazione.

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1 17-Ott-131 Riassunto lezione precedente proprietà di SU(N), rappresentazioni fondamentale, regolare, coniugata; operatore di Casimir e classificazione dei multipletti; esempi di SU(2) e di SU(3) rappresentazione fondamentale di SU(2) per sistemi di due o tre particelle; proprietà di simmetria degli stati estensione a SU(3) per sistemi di due o tre particelle; stati simmetrici, antisimmetrici, e a simmetria mista; notazione spettroscopica

2 17-Ott-132 SU(N) e i tableaux di Young SU(2): |χ 1 >, |χ 2 > |χ 1 >, |χ 2 >, |χ 3 > SU(3): |χ 1 >, |χ 2 > |χ 1 >, |χ 2 >, |χ 3 > SU(6): |χ 1 >, |χ 2 >, |χ 3 > (, ) identificazione rappresentazioni di SU(N) rappresentazione fondamentale N a dim.N = rappresentazione coniugata N* = N-1 quadrati …. cè una procedura automatica per calcolare le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili? I tableaux di Young

3 17-Ott-133 tableaux di Young: prodotto di rappresentazioni = N N = ? ? come calcolare le dimensioni delle rappresentazioni prodotto? dimensioni = numeratore denominatore numeratore = = prodotto dei numeri in tutte le caselle N N+1 N N N-1 N+2 N-2 N-3 N+1 N-1 denominatore = prodotto dei ganci di tutte le caselle gancio = = nr. di caselle attraversate =quindi dim. stato S A

4 = ( ) ? 17-Ott-134 continua no figure concave verso lalto no figure concave verso il basso a sinistra si combinano le caselle in tutti i modi purché = per strutture mesoniche, cioè quarkonio N-1 = N + N

5 17-Ott-135 spettro mesonico e simmetria degli stati mesone = {qq} con q = u,d,s nonetto quarkcaricastranezzastati ud10π + ρ + du0π - ρ - uu 00 π 0 ρ 0 ddη 0 ω 0 ss η 0 ϕ 0 us1 1 K + K* + ds0K 0 K* 0 us K - K* - ds0K 0 K* 0 come distinguere ? Ex: stati a C=0 S=0 come distinguere singoletto da ottetto ? iso-singoletto da iso-tripletto ? distinzione per G parità e carica C ogni |χ> si sdoppia in |χ> S e |χ> A

6 se quark avessero spin=0 allora avremmo spettro {q q} 17-Ott-136 spin dei quark: SU(3) f SU(6) = SU(3) f SU(2) L=0 J P =0 + scalari L=1 J P =1 - vettori L=2 J P =2 + tensori … … … invece spettro è 0 - pseudoscalari 1 - vettori … … compatibile con spin=½ : massa |χ> rappr. di SU(3) di sapore |φ> rappr. di SU(2) di spin rappr. di SU(6) per 0 -,1 - sono |χ> A |φ> S |χ> S |φ> A i= 0 (singoletto), 1…8 (ottetto) In totale 36 stati, cioè conseguenza di spin(q)=½ e

7 17-Ott-137 SU(6) e spettro dei mesoni quarkstati 1/2 (ud ± du)π + ρ + -1/2 (du ± ud)π - ρ - ½ [(dd-uu) ± (dd-uu)]π 0 ρ 0 1/6 [(uu+dd+ss) ± (uu+dd+ss)]η 1 ω 1 1/(23) [(uu+dd-2ss) ± (uu+dd-2ss)]η 8 ω 8 1/2 (us ± su)K + K* + 1/2 (ds ± sd)K 0 K* 0 -1/2 (su ± us)K - K* - -1/2 (sd ± ds)K 0 K* 0

8 17-Ott-138 SU(6) e spettro dei barioni SU(6) = SU(3) SU(2) |χ 1 > |χ 2 > |χ 3 >|φ 1 > |φ 2 > |φ 3 > simmetriastati S|χ> S |φ> S = (10,4) Δ 1/2 (χ MS φ MS +χ MA φ MA ) = (8,2) N M S M A χ S φ MS = (10,2)χ S φ MA = (10,2) χ MS φ S = (8,4)χ MA φ S = (8,4) 1/2 (-χ MS φ MS +χ MA φ MA ) = (8,2)1/2 (χ MS φ MA +χ MA φ MS ) = (8,2) χ A φ MA = (1,2) (1405) χ A φ MS = (1,2) Aχ A φ S = (1,4) 1/2 (χ MS φ MA -χ MA φ MS ) = (8,2) perché 56 ha energia più bassa e P=+ e gli altri stati si alternano con P=-,+,-,..?

9 17-Ott-139 moto orbitale dei quark: SU(6) O(3) s u d quark con nr. quantici: sapore u, d, s SU(3) f spin S=, SU(2) moto orbitale L O(3) adrone con nr. quantici L S=J SU(6) SU(6) O(3) regola generale : solo rappresentazioni simmetriche di SU(6) O(3) [SU(6) O(3)] S

10 17-Ott-1310 SU(6) O(3) : barioni stato fondamentale esempio più semplice: potenziale di oscillatore armonico, stati (nl) |0> O(3) = (1s)(1s)(1s) |O(3)> S con L P = 0 + [SU(6) O(3)] S |SU(6)> S 56 S P O(3) = + P SU(6) = + cioè (10, J P = 3/2 + ) e (8, J P = ½ + ) 1° stato eccitato |1> O(3) = (1s)(1s)(1p) |O(3)*> M con L P = 1 - [SU(6) O(3)] S |SU(6)*> M 70 M : (10,2) S 31 (1650), D 33 (1670) (8,2) S 11 (1535), D 13 (1520) (8,4) S 11 (1700), D 13 (1700), D 15 (1670) (1,2) S 01 (1405; Λ), D 03 (1520; Λ) … altri stati con stranezza …. X 2 I,2J

11 17-Ott-1311 SU(6) O(3) : barioni altri stati eccitati |2> O(3) ? (1s)(1s)(1d) degenere con (1s)(1s)(2s) e (1s)(1p)(1p) risulta |O(3)**> S = (1s)(1s)(2s) + (1s)(1p)(1p) con L P = 0 + [SU(6) O(3)] S |SU(6)**> S 56 S altri stati possibili: 56 S con L P = 2 + 5/2 + (1690), 3/2 + (1810) con S=½ ½ + (1910), 3/2 + (?), 5/2 + (1890), 7/2 + (1950) con S=3/2 70 M con L P = 0 +, 1 +, 2 + …. ma i primi stati eccitati (~ |1> O(3) ) sono 70 M con P=- o P=+ ? ipotesi diquark+quark alternanza di P=+ / - / + / … radial excitations (1s)(1s)(2s) degenerate with (1s)(1s)(1d) : P 11, P 33, …

12 17-Ott-1312 SU(6) O(3) : mesoni sistema {q q} ha parità P = (-) L+1 L sistema in stato |χ> S |φ> A ha C = (-) L+S |χ> A |φ> S quindi CP = - S=0 CP = + S=1 S=0 J L C = (-) J = - P J PC = 0 -+, 1 +-, 2 -+, … S=1 J = L+1 C = P J PC = 1 --, (0 ++, 1 ++, 2 ++ ), (1 --, 2 --, 3 -- ), … nonetto pseudoscalare e vettore J PC I = 1 I = 0 I = ½ 0 -+ π(140) …η(550) …η(960) …K(495) 1 -- ρ(770) …ω(780) … ϕ (1020) … K*(890) … 1 +- b 1 (1235)h 1 (1170)K 1 (1270) 0 ++ a 0 (980) …σ(600)f 0 (980) …K* 0 (1430) 1 ++ a 1 (1260)f 1 (1285)f 1 (1420)K 1 (1400) 2 ++ a 2 (1320)f 2 (1270) …f 2 (1525)K* 2 (1430) 2 -+ π 2 (1670) …η 2 (1645)K 2 (1770) … … …………


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